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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1


1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件

3.充分条件与必要条件 (1)如果p?q,则p是q的 充分条件,q是p的 必要条件 ;

(2)如果p?q,q?p,则p是q的 充要条件 .
4.反证法与证命题的逆否命题 反证法首先 否定结论,即假定结论不成立 .由此出发直至推出 与题设、定义 、 定理相矛盾 ;

证命题的逆否命题,即由 结论 的否定推出 题设 的 否定 .

1. 已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q

是s的必要条件.
现有下列命题:

①s是q的充要条件;②p是q的充分条件,而不是必要条件;③r是q的必要条
件, 而不是充分条件;④綈p是綈s的必要条件, 而不是充分条件;⑤r是s的 充分条件,而不是必要条件. 则正确命题的序号是( A.①④⑤ ) C.②③⑤ ,则s?q;p D.②④⑤ q;又p s,

B.①②④

解析:由已知条件可知:

则綈s

綈p,因此①②④为正确命题.

答案:B

2.若集合P={1,2,3,4},Q={ x|0<x<5, x∈R},则(

)

A.“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈P”是“x∈Q”的充分必要条件 D.“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件 答案:A

3.(2009·重庆)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案:B

)

4.“ω=2”是“函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:本题考查充分必要条件;由于y=sin(ωx+φ)的最小正周期为
T= ,故其最小正周期若为π,则ω=±2,故ω=2是其最小周期为

π的充分但不必要条件.
答案:A

5.①一个整数的平方是偶数,则这个整数是偶数;②是无理数;③经过平面 内一点和平面外一点的直线一定不在平面内;④若向量a、b是平面向量的 一组基底,则a+b与a-b也是平面向量的一组基底. 其中正确命题的代号是______________. 解析:可用反证法证明,①②③④都为正确命题. 答案:①②③④

【例2】 若ab≠0,试证a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充要条件是a+b=1. 证明:先证必要性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,

∴(a+b)·(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0, ∴a2-ab+b2= ≠0,因此a+b-1=0,即a+b=1.

再证充分性:∵a+b=1,即a+b-1=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 即a3+b3+ab-a2-b2=0.

变式2.已知a、b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1.该条件
是否为必要条件?试证明你的结论. 证明:∵a2-b2=1,∴a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2= a2-b2=1. 即a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1. 另一方面又a4-b4-2b2=1,即为a4-(b4+2b2+1)=0.a4-(b2+1)2=0, (a2-b2-1)(a2+b2+1)=0,又a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0,即a2-b2=1. 因此a2-b2=1既是a4-b4-2b2=1的充分条件,也是a4-b4-2b2=1的必要条件.

“正难则反”是常见的数学思想方法,比如证明一个数是无理数、一个函数不 是周期函数等问题时,可考虑使用反证法,反证法在立体几何定理的推导过程 中也有着较为广泛的应用.

【例3】已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0, 则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

解答:(1)逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0为真命题.

用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),

∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设相矛盾,所以逆命题为真.
(2)逆否命题:若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0为真命题. 因为原命题?它的逆否命题,所以证明原命题为真命题即可. ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).所以逆否命题为真.

变式3. 设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? 解答:(1)证明:证法一:(反证法)若{Sn}是等比数列, 则 =S1S3,即

∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0与q≠0矛盾,故{Sn}不是等比数列

证法二:只需证明SnSn+2≠ ∴SnSn+2-

,∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,

=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1≠0.

故{Sn}不是等比数列.
(2)当q=1时,{Sn}是等差数列.当q≠1时,{Sn}不是等差数列, 否则S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3.∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2). ∵a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2,∵q≠1,∴q=0与q≠0矛盾.

【方法规律】
1.对命题正误的判断,正确的命题要加以论证;不一定正确的命题要举出反例, 这是最基本的数学思维方式.在判断命题正误的过程中,要注意简单 命题与复合命题之间的真假关系;要注意命题四种形式之间的真假关系. 2.在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中,可利用图示这种数形结合的 思想方法;在证明充要条件时,首先要弄清充分性和必要性. 3.特殊情况下如果命题以p:x∈A,q:x∈B的形式出现,则有:(1)若A?B,则p 是q的充分条件;(2)若B?A,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条 件.

1.3

逻辑联结词全称量词与存在量词

(了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的 意义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定 )

1.命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词. 2.用来判断复合命题的真假的真值表

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

p∨q 真 真 真 假

p∧q 真 . 假 . 假 .

綈p




假 .

3. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“ 至少 有一个”、“有些”、“有一 个”、“某个”、“有的”等. (3)全称量词用符号“ ? ”表示;存在量词用符号“?”表示.

4.全称命题与特称命题
(1)含有 全称 量词的命题叫全称命题. (2)含有 存在 量词的命题叫特称命题.

5.命题的否定
(1)全称命题的否定是 特称 命题;特称命题的否定是 全称 命题. (2)p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为:非p或非q.

1.已知命题p:?x∈R,sin x≤1,则( A.綈p:?x∈R,sin x≥1 C.綈p:?x∈R,sin x>1

) B.綈p:?x∈R,sin x≥1 D.綈p:?x∈R,sin x>1

解析:命题p是全称命题,全称命题的否定是特称命题. 答案:C

2.设p、q是两个命题,则复合命题“p∨q为真,p∧q为假”的充要条件是(
A.p、q中至少有一个为真 C.p、q中有且只有一个为真 答案:C B.p、q中至少有一个为假 D.p为真、q为假

)

3.下列命题: ①有的实数是无限不循环小数;②有些三角形不是等腰三角形;③有的菱 形是正方形;④2x+1(x∈R)是整数;⑤对所有的x∈R,x>3;⑥对任意

一个x∈Z,2x2+1为奇数.
其中假命题的个数为( A.1 答案:B B.2 ) C.3 D.5

4.下列命题的否定错误的是(

)

A.p:能被3整除的数是奇数;綈p:存在一个能被3整除的数不是奇数
B.p:任意四边形的四个顶点共圆;綈p:存在一个四边形的四个顶点不共圆 C.p:有的三角形是正三角形;綈p:所有的三角形都不是正三角形 D.p:?x∈R,x2+2x+2≤0,綈p:当x2+2x+2>0时,x∈R 答案:D

判断命题真假的一般步骤:

(1)首先确定新命题的构成形式;
(2)判断出用逻辑联结词联结的每个命题的真假; (3)根据真值表判断这个复合命题的真假. 【例1】 判断下列命题的真假.

(1)

属于集合Q,也属于集合R;

(2)矩形的对角线互相垂直或相等; (3)不等式|x+2|≤0没有实数解.

思路点拨:先确定组成复合命题的每个简单命题的真假,再根据真值表判断复合 命题的真假. 解答:(1)此命题为“p∧q”的形式,其中p: ∈Q,q: ∈R,因命题p为假命题, 命题q为真命题,所以命题“p∧q”为假命题.故原命题为假命题. (2)此命题为“p∨q”的形式,其中p:矩形的对角线互相垂直,q:矩形的对角线 相等,因命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题,故原命题为真命

题.
(3)此命题是“綈p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.因为x=-2是该 不等式的一个解,所以命题p为真命题,即綈p为假命题.所以原命题为假命题.

1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)
成立;但要判断全称命题为假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0, 使得p(x0)不成立即可. 2.要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个 x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.

【例2】 判断以下命题的真假: (1)?x∈R,x2+x+1>0; (2)?x∈Q, 是有理数;

(3)?α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ;

(4)?x,y∈Z,使3x-2y=10;
(5)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解. 思维点拨:(1)(2)(5)中含全称量词,使每一个x都成立才为真;(3)(4)中含 特称量词,存在一个x0成立即为真.

解答:(1)∵x2+x+1=

,∴命题为真命题.

(2)真命题.
(3)∵α=β=0时,sin(α+β)=0,sin α+sin β=0, ∴sin(α+β)=sin α+sinβ,∴命题为真命题. (4)∵x=y=10时,3x-2y=10,∴命题为真命题. (5)∵a=0,b=1时,ax+b=1≠0,∴a=0,b=1时,ax+b=0无解, ∴命题为假命题.

变式2. (2009·辽宁)下列4个命题 p1:?x∈(0,+∞), p3:?x∈(0,+∞), 其中的真命题是( A.p1,p3 ) C.p2,p3 D.p2,p4 ;p2:?x∈(0,1), ;p4:?x∈ ,

B.p1,p4

解析:对于p1,当x∈(0,+∞)时,总有 p2,当x= 时,1=

成立,故是假命题;对于 成立,故

是真命题;对于p3,结合指数函数y=

与对数函数

在(0,+∞)
与对数函数

上的图象可以判断其是假命题;对于p4,结合指数函数y= y= 答案:D 在 上的图象可以判断其是真命题.

对一个命题的否定是全部否定,而不是部分否定:(1)全(特)称命题的否定与一般

命题的否定有着一定的区别,全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词
(或存在量词改为全称量词),并把结论否定;而命题的否定,则直接否定结论即 可.(2)要判断“綈p”的真假,可以直接判断,也可以判断p的真假,利用p与 “綈p”的真假相反判断.

【例3】 写出下列命题的“否定”,并判断其真假.

(1)p:?x∈R,x2-x+

≥0;

(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 思维点拨:解决这类问题一定要抓住决定命题性质的量词,从量词的 否定入手,书写命题的否定.

解答:(1)綈p:?x∈R,x2-x+ <0,是假命题,
这是因为?x∈R, 恒成立.

(2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于?x∈R,x2+2x+2= (x+1)2+1≥1>0成立. (4)綈s:?x∈R,x3+1≠0,假命题.这是由于x=-1时,x3+1=0.

【方法规律】
1.一个命题的否定与否命题的区别 否命题与命题的否定不是同一概念,否命题是对原命题“若p则q”既否定其 条件,又否定其结论;而命题p的否定即非p,只是否定命题的结论. 命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假;而否命题与原命题

的真假无必然联系.
另外,在写“非p”形式时常用以下表格中的否定词语:

正面词语

大于(>)



都是

所有的?

任意一 个?

至少一 个?

?

反面词语

不大于 (≤)

不是

不都是

至少一个 不?

某个 不?

一个也 没有?

?

2. 逻辑联结词与集合间的关系 逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着相近的关系, 要注 意类比.其中对逻辑联结词“或”的理解是难点(“或”有三层含义,以“p或q 为真”

(2009·宁夏、海南)有四个关于三角函数的命题: p1:?x∈R, p3:?x∈[0,π], 其中的假命题是( A.p1,p4 ) B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 ;p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; =sin x;p4:sin x=cos y?x+y= .

【答题模板】
解析:(1)由命题p1:?x∈R, 于 表示特称命题,由 ,所以命题p1是假命题;(2)因为命题p2:?x、

y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y表示特称命题,而sin(0-0)=sin0-sin 0,所以命

题p2是真命题;(3)因为命题p3:?x∈[0,π],
而对于x∈[0,π]时,都有

=sin x表示全称命题,

成立,所以命题p3是真命题;(4)由命题p4:sin x=cos y?x+y= 当sin x=cos y时,x+y=kπ+ 答案:A

表示全称命题,

(k∈Z),所以命题p4是假命题.故选A.


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