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【金识源】高中数学 1.2.2 函数的表示法导学案 新人教A版必修1


1.2.2 函数的表示法
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课前预习 · 预习案 【温馨寄语】 你想获得优异成果的话,请谨慎地珍惜和支配自己的时间。你爱惜你的生命,从不浪费 时间,因为你知道:时间就是塑造生命的材料。 【学习目标】 1.了解函数的三种表示法,会根据题目条件不同的表示法表示函数. 2.会

求简单函数的解析式及画简单函数的图象. 3.理解分段函数的意义,并能简单应用. 4.了解映射的概念及表示法. 5.理解映射与函数的区别与联系. 【学习重点】 1.函数的三种表示方法 2.分段函数的概念 【学习难点】 1.根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”? 2.分段函数的表示及其图象 【自主学习】 1.函数的三种表示法

1

2.映射

3.分段函数

在函数定义域内,对于自变量 的不同取值范围,函数有着不同 的 【预习评价】 .

1.已知函数

由下表给出,则

1 2

2 3

3 4

4 1

A.1 D.4

B.2

C.3

2.已知反比例函数 为

满足 .



的解析式

3.下列对应是从集合 A 到集合 B 映射的是









2







.

A. ①②

B.①③

C.③④

D.②④

4.已知



.

5.已知 与

在映射 的作用下与 对应.

对应,则

在映射 的作用下

知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1.函数的表示法——列表法与图象法 在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位:m). 第1次 运动员甲 运动员乙 运动员丙 平均成绩 20.61 18.10 19.77 19.49 第2次 21.31 18.25 19.33 19.63 第3次 20.47 19.05 20.17 19.90 第4次 20.78 19.15 20.54 20.16 第5次 21.36 19.70 19.75 20.27

请根据上表探究下面的问题: (1).上表反映了 4 个函数关系,这些函数的自变量是什么?定义域是什么? (2).上述函数能用解析式表示吗? (3).若想分析三名运动员的成绩变化情况,采用哪种方法恰当? (4).在同一坐标系内画出上述函数的图象并完成下面的填空:

3

①从图形中分析甲运动员的成绩 ②从图形中分析乙运动员的成绩 2.根据下面的提示,完成下面的问题:

. .

(1)一次函数的解析式可设为 ;反比例函数可设 为 ;二次函数的一般式可设为 (2)设出解析式后,如何求解析式?

.

3.若函数 然成立? 4.分段函数

满足对任意



,此式子中的 换为 是否仍

若某分段函数的解析式为

,据其探究下列问题:

(1)此分段函数由几部分组成,它表示几个函数? (2)根据有关的提示填空,明确分段函数具有的性质. ①由分段函数的概念知,此函数的定义域为 .

②若给定

,则当 .

时,

;当

时,

4

5.映射的判断

(1)观察上面的四组对应,思考下面的问题: ①四组对应中,集合 A 中元素在集合 B 中是否都有元素与之对应? ②对应(1)与其余三组对应有何不同?

③四组对应中哪些能构成从集合 到集合 的映射?

(2)从这几组对应中,你能发现映射有什么特点? 【教师点拨】 1.求函数解析式的三个关注点 (1)换元法求函数的解析式时,要注意换元后自变量的取值范围. (2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.

(3)函数式中若含有自变量的对称形式,如: 造对称方程求解. 2.对解析法的说明





可通过构

利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确, 并不是所有的函数都可以用解析 式表示,同时利用解析法表示函数要注明函数的定义域. 3.对列表法与图像法的说明
5

(1)列表法:采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的自变量要有代表性. (2)图象法:图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点. 4.映射的四个特征

(1)确定性:集合 、集合 与对应关系是确定的一个整体.

(2)非空性:集合 、集合 都必须是非空集合.

(3)方向性: 从集合 到集合 的映射 不同的映射.

与从集合 到集合 的映射



(4)多样性:映射的对应方式可以是多对一,也可以是一对一. 5.处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点 (1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式,然后求值. (2)分段函数的图象是由几段曲线构成,作图时要注意衔接点的虚实. 【交流展示】

1.已知

,则

A.

B.

C.

D.

2.已知

,求

.

3.作出函数

的图象,并说明该函数的图象与

的图象之间的关系.

4.某公司试销一种成本单价为 500 元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价, 又不高于 800 元,经试销调查发现,销售量 (件)与销售单价 (元)之间的关系可近似看 作一次函数 ,其图象如图所示,求此函数的解析式.

6

5.设



的值为

A.10

B.11

C.12

D.13

6.若函数



.

7.已知集合 合 到集合 的映射的是

,集合

,按照下列对应法则能构成集

A.

B.

C.

D.

8.下列各个对应中,构成映射的是

A.

B.

C.

D.

【学习小结】

1.判断一个对应

是否为映射的两点主要依据

7

(1)任意性:集合 中每一个元素,在集合 中是否都有元素与之对应.

(2)唯一性:集合 中任一元素在集合 中是否都有唯一的元素与之对应.

2.分段函数图象的特点及画法 (1)特点:分段函数的图象可以是光滑的曲线段,也可以是一些孤立的点或几条线段. (2)画法:画分段函数的图象要分段画,当函数式中含有绝对值符号时,首先要根据绝 对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后再画图象. 3.分段函数求函数值的步骤及注意点 (1)步骤: ①确定要求值的自变量属于哪一段区间; ②代入该段的解析式求值,直到求出值为止.

(2)注意点:当出现

的形式时,应从内到外依次求值.

4.列表法表示函数的使用范围及生活中的实例 (1)适用范围:列表法主要适用于自变量个数较少,且为有限个,并且自变量的取值为 孤立的实数,同时当变量间的关系无规律时,也常采用列表法表示两变量之间的关系. (2)生活中的实例:生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都 是采用列表法. 5.图象平移变换的一般原则

(1)左右平移:

的图象

的图象.

(2)上下平移:

的图象

的图象.

6.作函数图象的三个步骤

8

7.求函数解析式的常见类型及解法 (1)已知类型:函数类型已知,一般用待定系数法,但对于二次函数问题要注意一般式: ,顶点式: 的选择. ,两根式:

(2)已知 法.

型:解答已知



型问题可采用配凑法,也可采用换元

(3)函数方程问题,需建立关于

的方程组,若函数方程中同时出现



则一般 用 代之;若同时出现

,一般用

代替 ,构造另一个方程.

提醒:求函数解析式时要严格考虑函数的定义域. 【当堂检测】

1.设函数



,则实数

A.-4 或-2

B.-4 或 2

C.一 2 或 4

D.-2 或 2

2.在给定映射



的条件下,与 中元素

对应的 中元素是

9

A.

B.



C.

D.



3.函数

的图象为

A.

B.

C.

D.

4.判断下面的对应是否为集合 到集合 的映射

(1)

.对应关系

.

(2)

,对应关系

.

5.已知 求

,若

到 的映射满足



满足

的所有映射.

10

答案 课前预习 · 预习案 【自主学习】 1.数学表达式 图象 表格 2.非空 非空 对应关系 f 任意一个 唯一确定 3.对应关系 【预习评价】 1.C

f:A→B

2.

3.C 4.2 5.(7,12) 知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1.(1)自变量为投掷的次数;定义域为{1,2,3,4,5}. (2)不能,因为自变量依次取值时,函数值的变化趋势不确定. (3)采用图象法较好,因为图象比较直观形象. (4)在同一坐标系内画出函数的图象如下,

①高于平均成绩②低于平均成绩,但成绩每次都有提升

2.(1)y=kx+b,k≠0

,k≠0 y=ax2+bx+c,a≠0

(2)①可将已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组;②解方程或方程组,求 出待定系数的值; ③将所求待定系数的值代回到原式,即得函数的解析式.

3.因为对任意的 x≠0 有 立.

,而

,所以将上式中的 x 换为 仍然成

4.(1)此分段函数由两部分组成,它表示一个函数. (2)①D1∪D2 ②f(x0) g(x0)

5.(1)①对于四组对应,集合 A 中的任何一个元素,按照某种对应关系,在集合 B 中都有元 素和它对应. ②对应(1)中 A 中的元素在 B 中的对应元素不唯一, 而对应(2)(3)(4)中 A 中的任何一个元素, 通过对应关系,在 B 中都有唯一的元素和它对应. ③根据映射的概念,(2)(3)(4)组的对应可以构成从集合 A 到集合 B 的映射. (2)(1)映射可以是一对一, 也可以是多对一, 但不能是一对多.(2)集合 B 中可以有多余的元 素,但集合 A 中不能有多余的元素. 【交流展示】 1.A

2.设

,则

,t≠1.则 .所以 f(x)=x -x
2

+1(x≠1). 3. ,

作图过程:将

的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位,得到函数

的图象,再将函数

的图象向上平移 2 个单位,即可得到函数

的图象,如图.

4.由图象知,当 x=600 时,y=400;当 x=700 时,y=300,代入 y=kx+b(k≠0)中,得 解得

所以 y=-x+1000(500≤x≤800). 5.B 6.2 7.B 8.D 【当堂检测】 1.B 2.B

3.C 4.(1)集合 A 中元素 6 在对应关系 f 作用下为 3,而 3?B,故对应关系 f 不是集合 A 到集合 B 的映射. (2)在对应关系 f 作用下,集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应,故 对应关系 f 是集合 A 到集合 B 的映射. 5.将式子 f(a)-f(b)=f(c)改为 f(a)=f(b)+f(c),由 0+0=0,-1+0=-1,0+(- 1)=-1,1+0=1,0+1=1,-1+1=0,1+(-1)=0 知,满足条件的映射有:


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