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2013年普通高等学校招生全国统一考试(重庆数学(文))


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(文史卷)
一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求
(1)已知全集 ? {1 2,4}, 集合A ? {1 2}, B ? {2, 则 CU ( A ? B) ? U ,3, , 3},

( A) {1

,3,4}

(B ) {3,4}

(C ) {3}

(D) {4}

(2) 命题“对任意 ? R, 都有x 2 ≥ 0”的否定为 x

( A) 存在x0 ? R, 使得x0 ? 0
2

(B ) 对任意x ? R, 使得x 2 ? 0 (D) 不存在x ? R, 使得x 2 ? 0

(C ) 存在x0 ? R, 使得x0 ≥ 0
2

(3) 函数y ?

1 的定义域是 log2 ( x ? 2)
(B ) (2,??) (C ) (2,3) ? (3,??) (D) (2,4) ? (4,??)

( A) (??,2)

(4) 设P是圆( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4上的动点, 是直线x ? ?3上的动点,则 PQ 的最小值为 Q

( A) 6

(B ) 4

(C ) 3

(D) 2

开始

(5)执行如题(5)图所示的程序框图,则输出的 k 的值是

( A) 3

(B ) 4

(C ) 5

(D) 6

k ? 1, s ? 1

(6)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台) 的茎叶图,则数据落在区间[22,30 ) 内的频率为

s ? s ? (k ? 1) 2
否 s>15? 是

k=k+1

1 2 3

8 9 1 2 2 7 9 0 0 3

( A) 0.2

(B )
2

0.4
2

(C ) 0.5

(D) 0.6

输出 k

(7)关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0(a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) 则a ?

结束 题(5)图

5 ( A) 2

7 (B ) 2

15 (C ) 4

15 (D) 2

2013 年重庆高考文科数学试题第 4 页 共 5 页

(8)某几何体的三视图如题(8)图所示,则该几何体 的表面积为

4

( A) 180 (C ) 220

(B ) 200 (D) 240
3 2

10

8

正(主)视图

侧(左)视图

(9)已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R)

f (lg(lg10)) ? 5 ,则 f (lg(lg2)) ?

俯视图

( A) ? 5

(B ) ? 1

(C ) 3

(D) 4

题(8)图
?

(10)设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相交于点 O ,所成的角为 60 的直线 A1 B1 和 A2 B2 ,使

A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 , B1 , 和 A2 , B2 , 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范
围是

( A) (

2 3 ,2] 3

(B ) [

2 3 ,2) 3

(C ) (

2 3 ,??) 3

(D) [

2 3 ,??) 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题下面相应的位置上
(11) 设复数 z ? 1 ? 2i(i是复数单位),则z ? ________ . (12) 若2, a, b, c,9成等差数列,则 ? a ? _________ c . (13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为___________. (14) 在OA为边,OB为对角线的矩形中, ? (?3, OB ? (?2,k ),则实数k ? _________ . QA 1),

? (15) 设0 ≤ ? ≤ ? , 不等式 x ? (8 sin ? ) x ? cos2? ≥ 0对x ? R恒成立,则 的取值范围为 8
2

____________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤
(16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an , n ? N ? . (Ⅰ)设数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 S n ; (Ⅱ)已知 {bn } 是等差数列, Tn 为其前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 , 求 T20 .

2013 年重庆高考文科数学试题第 4 页 共 5 页

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)(Ⅲ)小问各 2 分) 、 从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的的月收入 x i (单位:千元)与月储蓄 yi (单位: 千元)的数据资料,算得

?x
i ?1

10

i

? 80, ? yi ? 20, ? xi yi ? 184, ? xi2 ? 720.
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄。 附:线性回归方程 y ? bx ? a 中,

b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , a ? y ? b x, ? nx
2

?x
i ?1

2 i

其中, x, y 为样本平均值,线性回归方程也可以写成 y ? b x ? a

?

?

?

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 9 分)

在?ABC中,内角 、B、C的对边分别为 , b, c, 且a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3bc. A a
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ) 设a ? 3, S为?ABC的面积,求 ? 3 cos B cosC的最大值,并指出此时 的值 . S B

2013 年重庆高考文科数学试题第 4 页 共 5 页

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如题(19)图,四棱锥 P ? ABCD中,PA ? 底面ABCD,

P

PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2,?ACB ? ?ACD ?
(Ⅰ) 求证:BD ? 平面PAC ;

?
3

.
F
PA

D

C

(Ⅱ) 若侧棱PC上的点F满足PF ? 7FC, 求三棱锥

P ? BDF的体积.

B
题(19)图

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) 。设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体 积为 V 立方米,假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率). (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (x) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (x) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

2013 年重庆高考文科数学试题第 4 页 共 5 页

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离 心率 e ?

y A P

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, 2

AA? ? 4 .
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P ? ,

F1
A?

O

Q
P?

x

过P, P?作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余 点均在圆Q外 , 求?PP?Q的面积S的最大值,并写出对应 的圆Q的标准方程。

题(21)图

2013 年重庆高考文科数学试题第 4 页 共 5 页


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