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高二人教A版数学选修1-1同步练习3-1-1变化率问题与导数的概念 Word版含答案]


3.1.1 变化率问题与导数的概念
一、选择题 1.在函数变化率的定义中,自变量的增量 Δx 满足( A.Δx<0 C.Δx=0 [答案] D [解析] 自变量的增量 Δx 可正、可负,但不可为 0. 2.函数在某一点的导数是( ) B.Δx>0 D.Δx≠0 )

A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数,不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值. 1 3.在 x=1 附近,取 Δx=0.3,在四个函数①y=x②y=x2③y=x3④y= 中,平均变化率 x 最大的是( A.④ C.② [答案] B [解析] ①的平均变化率为 1,②的平均变化率为 2.3,③的平均变化率为 3.99,④的平 均变化率为-0.77. 4.质点 M 的运动规律为 s=4t+4t2,则质点 M 在 t=t0 时的速度为( A.4+4t0 C.8t0+4 [答案] C [解析] Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4Δt2+4Δt+8t0Δt, Δs =4Δt+4+8t0, Δt
Δt→0

) B.③ D.①

)

B .0
2 D.4t0+4t0

lim

Δs = lim (4Δt+4+8t0)=4+8t0. Δt Δt→0 )

1 5.函数 y=x+ 在 x=1 处的导数是( x A.2 C.1 5 B. 2 D.0

[答案] D [解析] Δy=(Δx+1)+ Δy 1 =1- , Δx Δx+1
Δx 0

-Δ x 1 -1-1=Δx+ , Δx+1 Δx+1

lim →

Δy ?1- 1 ?=1-1=0, = lim → Δx Δx 0 ? Δx+1?

1 ∴函数 y=x+ 在 x=1 处的导数为 0. x 6.函数 y=f(x),当自变量 x 由 x0 改变到 x0+Δx 时,Δy=( A.f(x0+Δx) C.f(x0)·Δx [答案] D [解析] Δy 看作相对于 f(x0)的“增量”,可用 f(x0+Δx)-f(x0)代替. 7.一个物体的运动方程是 s=3+t2,则物体在 t=2 时的瞬时速度为( A.3 C.5 [答案] B 3+(2+Δt)2-3-22 [解析] lim Δt Δt→0 = lim →
Δt 0

)

B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)

)

B .4 D.7

Δt2+4Δt = lim (Δt+4)=4. Δt Δt→0
Δx 0

8.f(x)在 x=x0 处可导,则 lim → A.与 x0,Δx 有关

f(x0+Δx)-f(x0) ( Δx

)

B.仅与 x0 有关,而与 Δx 无关 C.仅与 Δx 有关,而与 x0 无关 D.与 x0,Δx 均无关 [答案] B [解析] 式子 lim →
Δx 0

f(x0+Δx)-f(x0) 表示的意义是求 f′(x0),即求 f(x)在 x0 处的导数,它 Δx

仅与 x0 有关,与 Δx 无关. 9.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b 为常数), 则( ) A.f′(x)=a C.f′(x0)=a [答案] C B.f′(x)=b D.f′(x0)=b

[解析] ∵f′(x0)= lim → = lim →

Δx 0

f(x0+Δx)-f(x0) Δx

Δx 0

aΔx+b(Δx)2 = lim (a+bΔx)=a. Δx Δx→0

∴f′(x0)=a. 10.f(x)在 x=a 处可导,则lim →
h 0

f(a+3h)-f(a-h) 等于( 2h 1 B. f′(a) 2 D.2f′(a)

)

A.f′(a) C.4f′(a) [答案] D [解析] lim →
h 0

f(a+3h)-f(a-h) 2h

=lim →
h 0

f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h) 2h

f(a+3h)-f(a) 1 f(a)-f(a-h) 3 = lim + lim → → 2h 0 3h 2h 0 h 3 1 = f′(a)+ f′(a)=2f′(a). 2 2 二、填空题 11.f(x0)=0,f′(x0)=4,则 lim → [答案] 8 [解析] =2 lim →
Δx 0 Δx 0

f(x0+2Δx)-f(x0) =________. Δx

lim →

f(x0+2Δx)-f(x0) Δx

Δx 0

f(x0+2Δx)-f(x0) =2f′(x0)=8. 2Δx

12.某物体做匀速运动,其运动方程是 s=vt+b,则该物体在运动过程中其平均速度与 任何时刻的瞬时速度关系是________. [答案] 相等 [解析] v0= lim → = lim →
Δt 0

s(t0+Δt)-s(t0) Δs = lim → Δt Δt 0 Δt

Δt 0

v(t0+Δt)-vt0 v·Δt = lim =v. Δt Δt→0 Δt

13.设 x0∈(a,b),y=f(x)在 x0 处可导是 y=f(x)在(a,b)内可导的________条件. [答案] 必要不充分 [解析] y=f(x)在 x0∈(a,b)处可导不一定在(a,b)的所有点处可导,反之,y=f(x)在(a, b)内可导,必然在(a,b)中的 x0 处可导. 14.一球沿斜面自由滚下,其运动方程是 S=t2(S 的单位:m,t 的单位:s),则小球在

t=5 时的瞬时速度为______. [答案] 10m/s [解析] v=S′|t=5= lim → 三、解答题 1 15.一物体作自由落体运动,已知 s=s(t)= gt2. 2 (1)计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.01 秒,两段内的平均速度; (2)求 t=3 秒时的瞬时速度. [解析] g(6+Δt)Δt, Δs g 相应的平均速度 v = = (6+Δt) Δt 2 当 Δt=0.1 时,即 t 从 3 秒到 3.1 秒 v =3.05g; 当 Δt=0.01 时,即 t 从 3 秒到 3.01 秒 v =3.005g. Δt 越小, v 就越接近时刻 t 的速度. (2)v= lim → Δs g = lim (6+Δt)=3g=29.4m/s. → Δt Δt 0 2
h 0 Δx 0

S(5+Δx)-S(5) = lim (10+Δx)=10(m/s). Δx Δx→0

1 1 2 1 (1)取一小段时间[3,3+Δt],此时物体的位置改变量 Δs= g(3+Δt)2- g· 3= 2 2 2

Δt 0

16.若 f′(x)=A,求lim → [解析] 原式=lim →
h 0

f(x+h)-f(x-2h) . h

f(x+h)-f(x)+f(x)-f(x-2h) h

=lim →
h 0

f(x+h)-f(x) f(x-2h)-f(x) +lim 2· h h→0 -2h

=A+2A=3A. 17.求函数 y= x在 x=1 处的导数. [解析] 解法一:(导数定义法)Δy= 1+Δx-1, 1+Δx-1 Δy 1 = = , Δx Δx 1+Δx+1 所以 lim →
Δx 0

1 1 = , 1+Δx+1 2

1 即 y′|x=1= . 2 解法二:(导函数的函数值法) Δy= x+Δx- x,

x+Δx- x Δy 1 = = . Δx Δx x+Δx+ x 所以 y′= lim → 1 故 y′|x=1= . 2 18.路灯距地面 8m,一个身高 1.6m 的人以 84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上 的射影 C 沿某直线离开路灯, (1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式; (2)求人离开路灯第 10 秒时身影的瞬时变化率. [解析] (1)如图所示,设人从 C 点运动到 B 处的路程为 xm,AB 为身影长度,AB 的长 度为 ym. AB BE 由于 CD∥BE,则 = , AC CD 即 y 1.6 1 = ,所以 y= x. 4 y+x 8
Δx 0

Δy = lim Δx Δx→0

1 1 = , x+Δx+ x 2 x

(2)∵84m/min=1.4m/s,而 x=1.4t. 1 1 7 ∴y= x= ×1.4t= t, 4 4 20 t∈[0,+∞). 7 7 7 Δy= (10+Δt)- ×10= Δt, 20 20 20 ∴y′|t=10= lim →
Δt 0

Δy 7 = . Δt 20

7 即人离开路灯第 10 秒时身影的瞬时变化率为 . 20


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