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【预-讲-练-结教学法】人教版高中数学必修四 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(练)


人教版必修四 3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(练)
一、选择题 α 1.已知 α 为锐角,且 sinα∶sin =8∶5,则 cosα 的值为( 2 4 A. 5 8 B. 25 12 C. 25 7 D. 25 [答案] D α [解析] 由已知 sinα sin =8 2 16 7 -1=2× -1= . 25 25 2. 2-sin22+cos4的

值是( A.sin2 B.-cos2 C. 3cos2 D.- 3cos2 [答案] D [解析] 原式= 1+cos22+2cos22-1= 3cos22 =- 3cos2. 1 1 3.若 tanθ= ,则 cos2θ+ sin2θ 的值是( 3 2 6 A.- 5 4 B.- 5 4 C. 5 6 D. 5 [答案] D ) ) α α α 5, 即(2sin · cos ) sin =8 2 2 2 α 4 α 5 得 cos = , 则 cosα=2cos2 2 5 2 )

-1-

1 [解析] ∵tanθ= , 3 1 1+ 3 6 cos2θ+sinθcosθ 1+tanθ ∴原式= = = = . 1 5 sin2θ+cos2θ 1+tan2θ 1+ 9 1 4.若 sinα+cosα=- 2,则 tanα+ =( tanα A.1 B .2 C.-1 D.-2 [答案] B π [解析] 法一:sinα+cosα=- 2?sin(α+ )=-1, 4 5π ?α=2kπ+ ,k∈Z, 4 1 ∴tanα=1,∴原式=1+ =2. 1 法二:由 sinα+cosα=- 2两边平方得, 1 sinαcosα= , 2
2 2 sinα cosα sin α+cos α 1 ∴原式= + = = =2. cosα sinα sinαcosα 1 2

)

π 2π 5.cos · cos 的值是( 5 5 A.4 1 B. 4 C .2 1 D. 2 [答案] B

)

π π 2π sin cos cos 5 5 5 [解析] 原式= π sin 5 1 4π sin 4 5 1 = = . π 4 sin 5
-2-

2 6.已知等腰三角形底角的余弦值为 ,则顶角的正弦值是( 3 4 5 A. 9 2 5 B. 9 4 5 C.- 9 2 5 D.- 9 [答案] A [解析] 令底角为 α,则顶角 β=π-2α, 2 5 ∵cosα= ,∴sinα= , 3 3 ∴sinβ=sin(π-2α)=sin2α =2sinαcosα=2× 5 2 4 5 × = . 3 3 9 )

)

π ? 1 ?2π ? 7.若 sin? ?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?的值是( 7 A.- 9 1 B.- 3 1 C. 3 7 D. 9 [答案] A π π π -α?=cos? -?6-α?? [解析] ∵sin? ? ?6 ? 2 ?

?

?

π ? 1 =cos? ?3+α?=3, 2π 2?π ? ? ∴cos? ? 3 +2α?=2cos ?3+α?-1 1?2 7 =2×? ?3? -1=-9. cosx 8.函数 y= 的单调递增区间是( 1-sinx 3 π? A.? ?2kπ-2π,2kπ+2?(k∈Z) π π? B.? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z)
-3-

)

3π π? C.? ?2kπ- 2 ,2kπ-2?(k∈Z) π π? D.? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z) [答案] A x x cos2 -sin2 2 2 cosx [解析] y= = x ?2 1-sinx ? x ?cos2-sin2? x x x cos +sin 1+tan 2 2 2 = = x x x cos -sin 1-tan 2 2 2 π x? =tan? ?4+2?, π π 3π π π x kπ- ,kπ+ ?,k∈Z 时,函数为增函数,此时 x∈?2kπ- ,2kπ+ ?,k∈Z, 当 + ∈? 2 2? 2 2? ? 4 2 ? 故选 A. 9.(2010· 福建省福州市)已知 sin10° =a,则 sin70° 等于( A.1-2a2 B.1+2a2 C.1-a2 D.a2-1 [答案] A [解析] 由题意可知,sin70° =cos20° =1-2sin210° =1-2a2,故选 A. π π? α+β 10. 已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根为 tanα、 tanβ, 且 α, β∈? 则 tan ?-2,2?, 2 的值是( 1 A. 2 B.-2 4 C. 3 1 D. 或-2 2 [答案] B
?tanα+tanβ=-4a<0 ? [解析] ∵? , ? tanβ=3a+1>0 ?tanα·

)

)

tanα+tanβ 4 ∴tan(α+β)= = , 1-tanα· tanβ 3
-4-

?-2<α<0 ∵tanα<0,tanβ<0,∴? π ?-2<β<0
π α+β ∴-π<α+β<0,∴- < <0, 2 2

π



α+β 2tan 2 α+β 4 ∵tan(α+β)= = ,∴tan =-2,故选 B. 3 2 2α+β 1-tan 2 二、填空题 π 3 +α?= ,则 cos2α=________. 11.若 sin? ?2 ? 5 7 [答案] - 25 π 3 ? 3 [解析] ∵sin? ?2+α?=5,∴cosα=5, 9 7 ∴cos2α=2cos2α-1=2× -1=- . 25 25 12.若 cosθ>0,且 sin2θ<0,则角 θ 的终边所在象限是________. [答案] 第四象限 [解析] ∵sin2θ=2sinθcosθ<0,cosθ>0, ∴sinθ<0,∴θ 是第四象限角. π ? 1 13.如果 tan? ?4+α?=2010,那么cos2α+tan2α=______. [答案] 2010 π ? [解析] ∵tan? ?4+α?=2010, ∴ =
2 1 1 sin2α (sinα+cosα) +tan2α= + = 2 cos2α cos2α cos2α cos α-sin2α

sinα+cosα tanα+1 π ? = =tan? ?4+α?=2010. cosα-sinα 1-tanα

θ θ 1 14.已知 sin +cos = ,则 cos2θ=__________. 2 2 2 1 [答案] - 8 θ θ 1 3 [解析] ∵(sin +cos )2= ,∴sinθ=- , 2 2 4 4 ∴cos2θ=1-2sin2θ=1-2× 三、解答题
-5-

9 1 =- . 16 8

2cos2α-1 15.化简: . π π -α?sin2? +α? 2tan? ?4 ? ?4 ? cos2α [解析] 原式= π π -α?sin2? +α? 2tan? ?4 ? ?4 ? π ? sin? ?2+2α? π ? sin? ?4-α? 2?π ? 2· · sin ?4+α? π -α? cos? ?4 ? π π +α?cos? +α? 2sin? ?4 ? ?4 ? π ? cos? ?4+α? 2?π ? 2· · sin ?4+α? π +α? sin? ?4 ?





=1.

π 3 17π sin2x+2sin2x 7π x+ ?= 且 16.已知 cos? < x < ,求 的值. ? 4? 5 12 4 1-tanx π? 3 5π π [解析] ∵cos? ?x+4?=5, 3 <x+4<2π, π? ∴sin? ?x+4?=- π? 4 tan? ?x+4?=-3. π x+ ? 又 sin2x=-cos2? ? 4? π ?3?2= 7 . x+ ?=1-2· =1-2cos2? ? 4? ?5? 25 2sin2x ? 1+ sin2x? ? 2sinxcosx? ∴原式= 1-tanx π tan +tanx 4 1+tanx =sin2x· =sin2x· π 1-tanx 1-tan tanx 4 π? 7 ? 4? 28 =sin2x· tan? ?x+4?=25×?-3?=-75. 1+sinα 3π 17.若 π<α< ,化简 2 1+cosα- 1-cosα + 1-sinα 1+cosα+ 1-cosα . 3?2 4 1-? ?5? =-5,

3π π α 3π [解析] ∵π<α< ,∴ < < , 2 2 2 4
-6-

α α ∴cos <0,sin >0. 2 2

?sinα+cosα?2 2? ? 2 ∴原式= α ? ? α? 2? ?cos2?- 2?sin2? ?sinα-cosα?2 2? ? 2 + α? ? α? 2? ?cos2?+ 2?sin2? ?sinα+cosα?2 ?sinα-cosα?2 2? 2? ? 2 ? 2 = + α α α α? ? ? - 2? ?sin2+cos2? 2?sin2-cos2?
α α α α sin +cos sin -cos 2 2 2 2 α =- + =- 2cos . 2 2 2 α-β 1 1 18.已知 sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,求 cos2 的值. 2 3 2 1 1 [解析] 将 sinα+sinβ= 与 cosα+cosβ= 的两边分别平方得, 2 3 1 ∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β= ① 4 1 cos2α+2cosαcosβ+cos2β= ② 9 ①+②得:2+2cos(α-β)= 59 ∴cos(α-β)=- , 72 ∴2cos
2

13 . 36

α-β 59 13 2α-β -1=- ,∴cos = . 2 72 2 144

-7-


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