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高中数学 8.3 《解三角形的应用举例》第1课时 师版本 导学案


8.3

解三角形的应用举例 距离与高度问题

第 1 课时

学习目标 重点难点 1.知道仰角、俯角等概念; 重点:距离与高度问题的求解; 2.会用正余弦定理解决距离计算问题; 难点:正余弦定理的选择与运用. 3.会用正余弦定理解决高度计算问题. 1.仰角与俯角 如下图,当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线

在水平线上方的角叫作 ________,视线在水平线下方的角叫作________.

预习交流 1 假若由较低的 A 点望较高的 B 点时,仰角为 α ,而由 B 点望 A 点时,俯角为 β ,那么 α 与 β 有何关系? 2.测量距离问题 预习交流 2 如何测量地面上两个不能到达的地方之间的距离?例如:A,B 两地在河的一边,怎样测 出 A,B 间距离?

3.测量高度问题 预习交流 3 怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度? 例如:要测量某铁塔 PO 的高度,但不能到达铁塔的底部,在只能使用简单的测量工具的 前提下,你能设计出哪些测量方法?并提供计算方法. 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个 备忘吧! 我的学困点 我的学疑点

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答案: 1.仰角 俯角 预习交流 1:提示:必有 α =β . 预习交流 2:提示:方法步骤如下: (1)先在河对岸上选 C 地,D 地,并量出 DC 的长度; (2)在△ACD 中,测出∠ADC,∠ACD,可得∠DAC,由正弦定理得 = ,即 sin∠ADC sin∠DAC DCsin∠ADC AC= ; sin∠DAC (3)在△BCD 中,测出∠BDC,∠BCD,可得∠DBC,由正弦定理得 = ,即 sin∠BDC sin∠DBC DCsin∠BDC BC= ; sin∠DBC 2 2 2 (4)在△ABC 中,测出∠ACB,由余弦定理得 AB =AC +BC -2AC·BCcos∠ACB,可求得 AB 的长. 预习交流 3:提示:在地面上引一条基线 AB,这条基线和塔底在同一水平面上,且延长 后不过塔底,测出 AB 的长,用经纬仪测出角 β ,γ 和 A 对塔顶 P 的仰角 α 的大小,则可求 出铁塔 PO 的高. 计算方法如下: AB·sin γ ·tan α AB ? sin ? 如图所示, 在△ABO 中, 由正弦定理得 AO ? = . sin(β +γ ) sin ?180? ? ? ? ? ? ? ?

AC

DC

BC

DC

?

?

在 Rt△POA 中,PO=AO·tan α , AB·sin γ ·tan α ∴PO= . sin(β +γ )

一、测量距离问题 某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,因地 理条件限制,不能直接测量 A,B 两地距离.如图,现测量人员在相距 3km 的 C,D 两地(假 设 A,B,C,D 在同一平面上),测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°, 4 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因, 实际所需电线长度大约应该是 A, B 距离的 倍, 3 问施工单位至少应该准备多长的电线?

思路分析:先在△ACD 中,利用正弦定理求出 AC 的长度,再在△BCD 中,利用正弦定理 求出 BC 的长度,最后可在△ABC 中,利用余弦定理求出 AB 的长度,从而根据题意可求出需要
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准备电线的长度. 如图,某河岸的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A,

B,观察对岸的点 C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且 AB=100 米.

(1)求 sin 75°; (2)求该河段的宽度. 测量距离问题通常分为三种类型:两点间不可视、两点间可视但不可达、 两点都不可达.解决距离问题的方法是选择合适的辅助测量点、构造三角形,将问题转化为 求某个三角形的边长问题,从而利用正弦定理、余弦定理等进行求解. 二、测量高度问题 如图, 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内, 已知飞机的高度为海拔 10 000 m, 速度为 180 km/h,飞机先看到山顶的俯角为 15°,经过 420 s 后又看到山顶的俯角为 45°, 求山顶的海拔高度(取 2≈1.4, 3≈1.7).

思路分析:要求山顶的海拔高度,只需求出 CD 的高度即可,要求 CD,可在直角△BCD 中 求解,只需求出 BC 的长度,而 BC 的长度可在△ABC 中利用正弦定理求得. 如图,地平面上有一旗杆 OP,为了测量它的高度 h,在地面上选一基线 AB,AB=20 m,在 A 点测得 P 点的仰角∠OAP=30°,在 B 点测得 P 点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求 旗杆的高度 h(结果精确到 1 m).

测量高度的问题中经常会涉及仰角、俯角以及方位角等,因而所画图形可 能为立体图形,因此要注意空间想象能力的运用.在解题过程中,要注意寻找其中的直角三 角形.根据直角三角形中的特殊关系解决问题,避免复杂的运算. 1.海上有 A,B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B,C 间的距离是( ).

A.10 3海里

10 6 B. 海里 3

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C.5 2海里 D.5 6海里 2.如图,已知 D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别 是 β ,α (α <β ),则 A 点离地面的高度 AB 等于( ).

asin α ·sin β B. sin(β -α ) cos(α -β ) asin α ·cos β acos α ·sin β C. D. sin(β -α ) cos(α -β ) 3.一架飞机从 A 地飞到 B 地,两地相距 700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层, 从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成 21°角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞 行方向成 35°夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程 700 km 远了多 少? 4.如图,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α ,沿倾斜角为 β 的斜坡向上走 a 米到 B,在 B asin α sin(γ -β ) 处测得山顶 P 的仰角为 γ ,求证:山高 h= . sin(γ -α )
A.

asin α ·sin β

提示: 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本 技能的要领部分写下来并进行识记. 知识精华 技能要领

答案: 活动与探究 1:解:在△ACD 中,由已知可得,∠CAD=30°,所以 AC=CD= 3km. 在△BCD 中,由已知可得, 6+ 2 ∠CBD=60°,sin 75°=sin(45°+30°)= , 4 由正弦定理,BC= 3sin 75° 6+ 2 = , sin 60° 2 6- 2 , 4
2 2 2

cos 75°=cos(45°+30°)=
2

在 △ABC 中 ,由 余 弦定理 AB = AC + BC - 2AC·BCcos∠BCA = ( 3 ) + ? 2· 3· 6+ 2 ·cos 75°=5,所以 AB= 5, 2

? 6+ 2? 2 ? - ? 2 ?

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4 5 因此施工单位应该准备电线长 km. 3 4 5 答:施工单位应该准备电线长 km. 3 迁移与应用: 解:(1)sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°= (2)在△CAB 中,∠ACB=180°-75°-45°=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ACB sin∠CAB 6+ 2 100× 4 ABsin∠CAB 于是 BC= = sin∠ACB 3 2 50 50 2 50 (3 2+ 6),于是河段的宽度为 d=BC·sin∠CBA= (3 2+ 6 )× = 3+ 3 3 2 3 50(米). 活动与探究 2:解:如图,因为∠A=15°,∠DBC=45°, = 6+ 2 . 4

AB

BC

420 BC 所以∠ACB=30°.又因为 AB=180 000× =21 000(m),所以在△ABC 中,有 = 3 600 sin A , sin∠ACB 21 000 BC= ·sin 15°=10 500( 6- 2)(m), 1 2 又因为 CD⊥AD,所以 CD=BCsin∠CBD=BCsin 45°=10 500( 6- 2)· -1)≈10 500(1.7-1)=7 350(m). 答:山顶的海拔高度为 10 000-7 350=2 650(m). 迁移与应用: 解:在 Rt△AOP 中,OA= = 3h, tan 30° 在 Rt△BOP 中,OB= =h. tan 45° 在△AOB 中,根据余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos 60°, 1 400 2 2 2 2 即 20 =( 3h) +h -2× 3h×h× ,所以 h = ,解得 h≈13.所以旗杆的高度约为 2 4- 3 13 m. 当堂检测 1.D 解析:依题意知∠A=60°,∠B=75°,AB=10,因此∠C=45°,所以由正弦定 10 BC 理得 = ,于是 BC=5 6海里. sin 45° sin 60° 2 =10 500( 3 2

AB

OP

OP

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2.A 解析:在△ACD 中,由正弦定理得 = ,即 = , sin∠CAD sin∠ADC sin(β -α ) sin α asin α asin α ·sin β 所以 AC= ,在 Rt△ABC 中,AB=AC·sin β = . sin(β -α ) sin(β -α ) 3.解:如图,在△ABC 中,AB=700 km,∠ACB=180°-21°-35°=124°, 700 AC BC 700·sin 35° 根据正弦定理,得 = = , AC = , BC = sin 124° sin 35° sin 21° sin 124° 700·sin 21° , sin 124° 700·sin 35° 700·sin 21° AC+BC= + ≈786.89(km), sin 124° sin 124° 所以路程比原来远了约 86.89 km.

CD

AC

a

AC

4.证明:在△ABP 中,∠ABP=180°-γ +β , ∠BPA=180°-(α -β )-∠ABP =180°-(α -β )-(180°-γ +β )=γ -α . 在△ABP 中,根据正弦定理, = , = , sin∠ABP sin∠BPA sin(180°-γ +β ) sin(γ -α ) a×sin(γ -β ) AP= , sin(γ -α ) 所以山高为 h=APsin α =

AP

AB

AP

a

asin α sin(γ -β )
sin(γ -α )

.

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