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2013-2014学年高中数学(人教A版)选修4-5课时提升卷:第2讲 2 综合法与分析法 Word版含解析


课时提升卷(七)
综合法与分析法 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.设 a>0,b>0 且 ab-(a+b)≥1,则 ( A.a+b≥2( C.a+b≤( +1) +1)2 B.a+b≤ D.a+b>2( ) +1 +1) ) 100 分)

2.若 1<x<10,下面不等式中正确的是 ( A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx) B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx) C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2 D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2

3.下列三个不等式中:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a,其中能使 < 成立的充分条件 有 ( ) B.①③ C.②③ ) D.①②③

A.①②

4.要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证 ( A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1C. ≤0

-1-a2b2≤0

D.(a2-1) (b2-1)≥0 5.已知 a,b,c 为三角形的三边且 S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则 ( A.S≥2P B.P<S<2P )

C.S>P

D.P≤S<2P )

6.设 x1 和 x2 是方程 x2+px+4=0 的两个不相等的实数根,则 ( A.|x1|>2 且|x2|>2 C.|x1+x2|>4 B.|x1+x2|<4 D.|x1|=4 且|x2|=1

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 7. 等 式 “ = · = = = ”的证明过程:“等式两边同时乘以 得,左边

=1,右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了

的证明方法.(填“综合法”或“分析法”) 8.(2013 ·威海高二检测 ) 设 x,y,z 为正实数 , 满足 x-2y+3z=0, 则 的最小值 是 . + + 的最大值为 .

9.设 a,b,c 都是正实数,a+b+c=1,则

三、解答题(10~11 题各 14 分,12 题 18 分) 10.用分析法证明:当 x>0 时,sinx<x. 11.(2013·常州高二检测)已知 x,y,z 均为正数,求证: + + ≥ + + . 12.(能力挑战题)在某两个正数 x,y 之间,若插入一个数 a,使 x,a,y 成等差数列, 若插入两个数 b,c,使 x,b,c,y 成等比数列,求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1).

答案解析
1.【解析】选 A.因为 ≤ ,所以 ab≤ (a+b)2, 所以 (a+b)2-(a+b)≥ab-(a+b)≥1,

所以(a+b)2-4(a+b)-4≥0, 所以 a+b≤2-2 或 a+b≥2+2 . .

又 a>0,b>0,所以 a+b≥2+2

2.【解析】选 D.因为 1<x<10,所以 0<lgx<1, 所以 0<(lgx)2<1,0<lgx2<2,lg(lgx)<0. 又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0, 所以 0<(lgx)2<lgx2,所以 lg(lgx)<(lgx)2<lgx2. 3.【解析】选 A.①a<0<b? < ;②b<a<0? < ; ③b<0<a? > ,故选 A. 4.【解析】选 D.a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1), 要证原不等式成立,只需证-(a2-1)(b2-1)≤0,即证(a2-1)(b2-1)≥0. 5. 【解析】 选 D.因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ca, 即 S≥P. 又三角形中|a-b|<c,所以 a2+b2-2ab<c2, 同理 b2-2bc+c2<a2,c2-2ac+a2<b2, 所以 a2+b2+c2<2(ab+bc+ca),即 S<2P. 6.【解析】选 C.由方程有两个不等实根知Δ=p2-16>0, 故 >4.又 x1+x2=-p,所以 = >4.

7.【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法. 答案:综合法 8.【解析】由 x-2y+3z=0 得 y= x=3z 时,取等号. ,代入 得 = ≥ =3,当且仅当

答案:3 9.【解题指南】本题需把 问题,注意“1”的使用. 【解析】因为( =1+2(a+b+c)=3, 所以 答案: 【拓展提升】解含有根式的问题 (1)含有根式的问题,往往是先确定符号,通过平方将其有理化解决. (2)平方过程中要注意变形的恒等性. 10. 【证明】 当 x>0 时,要证 sinx<x,即证 f(x)=sinx-x<0=f(0),即证 f'(x)=cosx-1 ≤0,显然当 x>0 时,f'(x)=cosx-1≤0,故原命题成立. 【变式备选】用分析法证明:当 x>1 时,x>ln(1+x). 【 证 明 】 当 x>1 时 , 要 证 x>ln(1+x), 即 证 f(x)= x-ln(1+x)>0=f(0), 即 证 f'(x)=1= >0,显然 x>1 时,f'(x)>0,所以原命题成立. + + ≤ ,当且仅当 a=b=c= 时等号成立. + + )2=a+b+c+2 +2 +2 ≤1+(a+b)+(b+c)+(c+a) + + 的最大值问题转化为( + + )2 的最大值

【拓展提升】分析法证明不等式的技巧 (1)用分析法证明不等式,是从要证的不等式着手,逐步推求使它成立的充分条 件,直至所需条件为已知正确的不等式或为已知条件 ,这是一种执果索因的思考 方法和证明方法. (2)当所证的不等式与基本不等式没有什么直接联系 ,或条件与结论之间的关系 不明显时,可用分析法来寻找证明途径. 11.【证明】因为 x,y,z 均为正数,

所以 + =

≥ ,

同理得 + ≥ , + ≥ (当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立), 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 + + ≥ + + . 12.【证明】方法一:由条件得 消去 x,y 即得:2a= + ,且有 a>0,b>0,c>0, 要证(a+1)2≥(b+1)(c+1), 只需证 a+1≥ 因为 ≤ , = +1,

所以只需证 2a≥b+c,而 2a= + , 所以只需证 + ≥b+c, 即 b3+c3≥bc(b+c),(b+c)(b2+c2-bc)≥bc(b+c), 而 b+c>0,则只需证 b2+c2-bc≥bc, 即(b-c)2≥0,上式显然成立. 所以原不等式成立. 方法二:由等差、等比数列的定义知:

用 x,y 表示 a,b,c 得

所以(b+1)(c+1)=( ≤ = (2x+y+3)(x+2y+3)

+1)(

+1)

≤ = =(a+1)2,

所以原不等式成立.

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