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广东省广州市从化三中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


广东省广州市从化三中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|y=ln(x﹣2)},则 A∩B 等于() A. {x|2≤x<3} B. {x|2<x≤3} C. {x|1≤x

<2} D. {x|1≤x≤2} 2. (5 分)cos(﹣120°)的值为() A. B. C. D.

3. (5 分) 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点. 若 = ,则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

= ,

A. ﹣

+

+

B.

+

+

C.



+

D. ﹣



+

4. (5 分) 在矩形 ABCD 中, AB=5, AD=7, 在矩形 ABCD 内任取一点 P, 事件 A 为“∠APB>90°”, 则 P(A)值为() A. B. C. D.

5. (5 分)若 =(1,λ ,2) , =(2,﹣1,1) , 与 的夹角为 60°,则 λ 的值为() A. 17 或 ﹣1 B. ﹣17 或 1
2 2

C. ﹣1

D. 1

6. (5 分)“双曲线方程为 x ﹣y =6”是“双曲线离心率 ”的() A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. (5 分)某厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,

[98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个 数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是()

A. 45

B. 60

C. 75

D. 90

8. (5 分)给出的是计算 件是()

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条

A. I<=100

B. I>100

C. I>50

D. I<=50

二.填空题:本大题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 2 9. (5 分)已知命题 p:? x∈R,x +1>0.则?p 是. 10. (5 分)方程为 y=﹣ ,则该抛物线的焦点坐标是.

11. (5 分)直线 x+y﹣2=0 截圆 x +y =4 所得的弦长为. 12. (5 分)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积, 若向量 =(4,a +b ﹣c ) , =(1,S)满足 ∥ ,则∠C=.
2 2 2

2

2

13. (5 分)椭圆 积为.

的焦点 F1F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面

14. (5 分)命题 p :若 xy≠6,则 x≠2 或 y≠3;命题 q:点 p(2,1)在直线 y=2x﹣3 上, 则下列结论错误的是(填序号) ①“p∨(?q)”为假命题;②“(?p)∨q”为假命题; ③“p∧(?q)”为真命题;④“p∧q”为真命题.

三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 2 15. (12 分)已知 f(x)=2sin x+2sinxcosx﹣1(x∈R) . (1)求函数 f(x)的周期和单调减区间; (2)若 f( + )= ,且 A∈( ,π ) ,求 cos2A 和 tan2A 的值.

16. (12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人, 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中 有几名优秀工人; (3)从抽出的 6 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

17. (13 分)三角形 ABC 中,AC=BC= 若 G、F 分别是 EC、BD 的中点. (1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC.

AB,四边形 ABED 是正方形,平面 ABED⊥底面 ABC,

18. (14 分)已知椭圆 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

与双曲线

共焦点,点

(2)已知点 Q(0,2) ,P 为椭圆 C 上的动点,点 M 满足:

,求动点 M 的轨迹方程.
2

19. (14 分)数列{an}是公差为正数的等差数列,a2、a5 且是方程 x ﹣12x+27=0 的两根,数 列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1﹣ (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)记 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 20. (15 分)已知函数 f(x)=ax +x﹣1+3a(a∈R) , (1)若 a= ,求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x)在区间[﹣1,1]上恰有一个零点,求 a 的取值范围.
2



广东省广州市从化三中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|y=ln(x﹣2)},则 A∩B 等于() A. {x|2≤x<3} B. {x|2<x≤3} C. {x|1≤x<2} D. {x|1≤x≤2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的交集运算进行求解. 解答: 解:∵B={x|y=ln(x﹣2)}={x|x﹣2>0}={x|x>2}, ∴A∩B={x|2<x≤3}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)cos(﹣120°)的值为() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可.

解答: 解:cos(﹣120°)=cos120°=



故选:C. 点评: 本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值,考查计算能力.

3. (5 分) 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点. 若 = ,则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

= ,

A. ﹣

+

+

B.

+

+

C.



+

D. ﹣



+

考点: 空间向量运算的坐标表示. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用空间向量的加法运算法则求解. 解答: 解:由已知得:﹣ + ﹣ ﹣ ﹣ + = + = + = ,故 B 错误; ,故 C 错误; ,故 D 错误. + + = + ﹣ = ,故 A 正确;

故选:A. 点评: 本题考查空间向量运算的应用, 是基础题, 解题时要注意加法运算法则的合理运用. 4. (5 分) 在矩形 ABCD 中, AB=5, AD=7, 在矩形 ABCD 内任取一点 P, 事件 A 为“∠APB>90°”, 则 P(A)值为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 率. 解答:

几何概型. 作图题. 分别求得阴影部分的面积和矩形的面积,由几何概型求两者的比值即为所求的概 解:记“∠APB>90°”为事件 A

试验的全部结果构成的区域即为矩形 ABCD, 构成事件 A 的区域为直径为 5 的半圆(图中阴影部分) 故所求的概率 P(A)= 故选 B =

点评: 本题考查几何概型中的面积类型, 分别求得构成事件 A 的区域面积和试验的全部结 果所构成的区域面积是解决问题的关键,属中档题. 5. (5 分)若 =(1,λ ,2) , =(2,﹣1,1) , 与 的夹角为 60°,则 λ 的值为() A. 17 或﹣1 B. ﹣17 或 1 C. ﹣1 D. 1

考点: 空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量的数量积运算和夹角公式即可得出. 解答: 解:∵ , , ,cos60°= .



,化为 λ +16λ ﹣17=0,解得 λ =﹣17 或 1.

2

故选 B. 点评: 熟练掌握向量的数量积运算和夹角公式是解题的关键. 6. (5 分)“双曲线方程为 x ﹣y =6”是“双曲线离心率 ”的() A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 双曲线的简单性质;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 综合题. 2 2 分析: 根据双曲线 x ﹣y =6,可得 a=b= ,c= ,从而可求双曲线的离心率;离心率 ,也可以是其他等轴双曲线. 故可得结论. 2 2 解答: 解:因为双曲线 x ﹣y =6,所以 a=b= ,c= , 所以双曲线的离心率为:e= = .
2 2

又离心率 ∴a=b,也可以是其他等轴双曲线. 2 2 故双曲线方程为 x ﹣y =6 是双曲线的离心率为 的充分不必要条件 故选 B. 点评: 本题以双曲线为载体,考查双曲线的简单性质,考查四种条件,解题的关键是正确 运用双曲线的标准方程. 7. (5 分)某厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) , [98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个 数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是()

A. 45

B. 60

C. 75

D. 90

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图,利用频率= 解答: 解:样本中产品净重小于 100 克的频率是 (0.050+0.100)×2=0.3, ∴样本容量是 =120, 的关系,进行计算即可.

∴样本中净重在[98,104)内的频率为 1﹣0.050×2﹣0.075×2=0.75, 对应产品的个数为 120×0.75=90. 故选:D. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题, 也考查了频率、 频数与样本容量的应用问 题,是基础题目.

8. (5 分)给出的是计算 件是()

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条

A. I<=100

B. I>100

C. I>50

D. I<=50

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输出 S 的值. 解答: 解:程序运行过程中,各变量值如下表所示: 第一圈:S=0+ ,I=4, 第二圈:S= 第三圈:S= ,I=6, ,I=8,… ,I=102,

依此类推,第 50 圈:S=

退出循环 其中判断框内应填入的条件是:I≤100, 故选:A. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度 重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③ 变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确 理解流程图的含义而导致错误. 二.填空题:本大题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 2 2 9. (5 分)已知命题 p:? x∈R,x +1>0.则?p 是? x0∈R,x0 +1≤0. 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 2 分析: 命题“:? x∈R,x +1>0”是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等 号的变化. 2 解答: 解:命题“:? x∈R,x +1>0”是全称命题,否定时将量词对任意的 x∈R 变为 ? x∈R,再将不等号>变为≤即可.

故答案为:? x0∈R,x0 +1≤0 点评: 本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属基本知识的考查.注意在写命题的 否定时量词的变化.属基础题.

2

10. (5 分)方程为 y=﹣

,则该抛物线的焦点坐标是(0,﹣1) .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 抛物线 x =﹣2py(p>0)的焦点坐标为(0,﹣ ) 解答: 解:∵抛物线方程为 y=﹣
2 2

,化为 x =﹣4y 中,2p=4,解得 p=2,

2

∴抛物线 x =﹣4y 的焦点坐标为(0,﹣1) . 故答案为: (0,﹣1) . 点评: 本题考查抛物线的焦点坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意抛物线的 简单性质的灵活运用. 11. (5 分)直线 x+y﹣2=0 截圆 x +y =4 所得的弦长为
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线 的距离 d,利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长. 2 2 解答: 解:由圆 x +y =4 得,圆心(0,0) ,r=2, ∵圆心(0,0)到直线 x+y﹣2=0 的距离 d= ∴直线被圆截得的弦长为 2 = , = ,

故答案为: . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,圆的标准方 程,垂径定理,以及勾股定理,熟练运用垂径定理及勾股定理是解本题的关键. 12. (5 分)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积, 若向量 =(4,a +b ﹣c ) , =(1,S)满足 ∥ ,则∠C=45°.
2 2 2

考点: 余弦定理;平行向量与共线向量. 专题: 综合题. 分析: 由题意可得,S= 然后由由 可得 4s﹣(a +b ﹣c )=0 结合余弦定理
2 2 2

可得,2absinC=2abcosC,从而可求 C 解答: 解:由题意可得,S=



可得 4s﹣(a +b ﹣c )=0

2

2

2

由余弦定理可得,2absinC=2abcosC ∴sinC=cosC ∵C 为三角形的内角 ∴C=45° 故答案为:45° 点评: 本题主要考查三角形的面积公式, 余弦定理, 向量平行的坐标表示等知识的综合运 用,要求考生熟练掌握基础知识,并能灵活运用知识.

13. (5 分)椭圆 积为 9.

的焦点 F1F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的定义. 专题: 计算题. 2 2 2 2 分析: 根据椭圆的定义,PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2, 由勾股定理得,PF1 +PF2 =F1F2 =4c =4× (25﹣9)=64 整体求出 PF1×PF2,面积可求. 解答: 解:根据椭圆的定义,PF1+PF2=2a=10 ① 2 2 2 2 ∵PF1⊥PF2,由勾股定理得,PF1 +PF2 =F1F2 =4c =4×(25﹣9)=64 ② 2﹣②得 2 ① PF1×PF2=100﹣64=36 ∴s△F1PF2= PF1×PF2= ×18=9 故答案为:9. 点评: 本题考查椭圆的定义,标准方程,几何性质.考查分析解决问题、计算能力. 14. (5 分)命题 p:若 xy≠6,则 x≠2 或 y≠3;命题 q:点 p(2,1)在直线 y=2x﹣3 上, 则下列结论错误的是①②③(填序号) ①“p∨(?q)”为假命题;②“(?p)∨q”为假命题; ③“p∧(?q)”为真命题;④“p∧q”为真命题. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 由已知中命题 p:若 xy≠6,则 x≠2 或 y≠3;命题 q:点 p(2,1)在直线 y=2x ﹣3 上,先判断出命题 p 与命题 q 的真假,进而根据复合命题真假的判定方法,分别判断题 目中四个命题的真假,即可得到答案. 解答: 解:∵命题 p:若 xy≠6,则 x≠2 或 y≠3; ∴P 的逆否命题为“若 x=2 且 y=3,则 xy=6”显然为真,故 p 为真, ∵命题 q:点 p(2,1)在直线 y=2x﹣3 上,易知 q 为真, 因此“?p”与“?q”均为假命题, ∴“p∨(?q)”为真, “(?p)∨q”为真,

“p∧(?q)”为假, “p∧q”为真,即错误的结论为①②③ 故答案为:①②③ 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假, 其中判断出命题 p 与命题 q 的真假, 是解答 本题的关键,由于命题 p 的真假判断有一定的难度,可根据互为逆否命题的真假性相同,进 而解答. 三、解答题(本大题共 6 题,共 80 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.) 2 15. (12 分)已知 f(x)=2sin x+2sinxcosx﹣1(x∈R) . (1)求函数 f(x)的周期和单调减区间; (2)若 f( + )= ,且 A∈( ,π ) ,求 cos2A 和 tan2A 的值.

考点: 三角函数的周期性及其求法;二倍角的正弦;二倍角的余弦;二倍角的正切. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为 f(x)= sin(2x﹣ ) ,可

得它的最小正周期,再根据正弦函数的单调性求出 f(x)的单调减区间. (2)由条件求得 sinA= ,可得 cosA=﹣ 、tanA 的值,进而利用二倍角公式求得 cos2A 和 tan2A 的值. 解答: 解: (1)由于 f(x)=2sin x+2sinxcosx﹣1=sin2x﹣cos2x= 故它的周期为 令 2kπ + 间为[kπ + (2)∵f( + ﹣ ,
2 2

sin(2x﹣

) ,

=π . ≤2kπ + ,k∈z,求得 kπ + ≤x≤kπ + ,可得函数的减区

≤2x﹣

,kπ + )=

],k∈z. sinA= ,且 A∈( ,π ) ,∴sinA= ,cosA=﹣ ,tanA= =

∴cos2A=2cos A﹣1=

tan2A=

=﹣



点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 二倍角公式的应用, 正弦函数的单 调性,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 16. (12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人, 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中 有几名优秀工人;

(3)从抽出的 6 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由茎叶图能求出样本均值. (2)由抽取的 6 名工人中有 2 名为优秀工人,得到 12 名工人中有 4 名优秀工人. (3)设“从该车间 6 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人”为事件 A,由等可能事件 概率计算公式能求出恰有 1 名优秀工人的概率. 解答: 解: (1)样本均值为 =22.

(2)抽取的 6 名工人中有 2 名为优秀工人, 所以 12 名工人中有 4 名优秀工人. (3)设“从该车间 6 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优 秀工人”为事件 A, 所以 P(A)= = .

点评: 本题考查茎叶图的应用,考查概率的求法,解题时要认真审题,注意等可能事件概 率计算公式的合理运用.

17. (13 分)三角形 ABC 中,AC=BC= 若 G、F 分别是 EC、BD 的中点. (1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC.

AB,四边形 ABED 是正方形,平面 ABED⊥底面 ABC,

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证法一:证明一条直线与一个平面平行,除了可以根据直线与平面平行的判 定定理以外,通常还可以通过平面与平面平行进行转化,比如取 BE 的中点 H,连接 HF、GH, 根据中位线定理易证得:平面 HGF∥平面 ABC,进一步可得:GF∥平面 ABC.

证法二: 根据直线与平面平行的判定定理可知: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行, 那么直线和这个平面平行. 故只需在平面 ABC 中找到与 GF 平行的直线即可. 因 为 G、F 分别是 EC、BD 的中点,故平移是可以通过构造特殊的四边形、三角形来实现. 证法三: 根据直线与平面平行的判定定理可知: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行, 那么直线和这个平面平行. 故只需在平面 ABC 中找到与 GF 平行的直线即可. 因 为 G、F 分别是 EC、BD 的中点,所以构造中位线是常用的找到平行直线的方法. (2)证明直线与平面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直.有时候题目中没有现成 的直线与直线垂直, 需要我们先通过直线与平面垂直或者平面与平面垂直去转化一下. 由第 一问可知:GF∥平面 ABC,而平面 ABED⊥平面 ABC,所以 BE⊥平面 ABC,所以 BE⊥AC;又由 勾股定理可以证明:AC⊥BC. 解答: 解: (1)证法一:取 BE 的中点 H,连接 HF、GH, (如图)

∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴HG∥BC,HF∥DE, (2 分) 又∵ADEB 为正方形∴DE∥AB,从而 HF∥AB ∴HF∥平面 ABC,HG∥平面 ABC,HF∩HG=H, ∴平面 HGF∥平面 ABC ∴GF∥平面 ABC(5 分) 证法二:取 BC 的中点 M,AB 的中点 N 连接 GM、FN、MN (如图)

∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴GM∥BE,且 GM= BE,NF∥DA,且 NF= DA(2 分) 又∵ADEB 为正方形∴BE∥AD,BE=AD ∴GM∥NF 且 GM=NF

∴MNFG 为平行四边形 ∴GF∥MN,又 MN? 平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC(5 分) 证法三:连接 AE, ∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 中点, (2 分) ∴GF∥AC, 又 AC? 平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC(5 分) (2)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,∴GF∥平面 ABC(5 分) 又∵平面 ABED⊥平面 AB C,∴BE⊥平面 ABC(7 分) ∴BE⊥AC 2 2 2 又∵CA +CB =AB ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面 BCE(9 分) 点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、 化归的数学思想方法, 以及空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力, 考查了转化思想, 属于中档题.

18. (14 分)已知椭圆 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

与双曲线

共焦点,点

(2)已知点 Q(0,2) ,P 为椭圆 C 上的动点,点 M 满足:

,求动点 M 的轨迹方程.

考点: 椭圆的标准方程;轨迹方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)根据椭圆与双曲线公焦点,可知椭圆的焦点坐标,利用点 在椭 2 2 2 圆 C 上,根据椭圆的定义,我们可以求出 a 的值,根据焦点坐标,利用 b =a ﹣c ,可以求出 2 b ,从而可求椭圆 C 的方程; (2)利用点 M 满足: ,可得动点 M 与动点 P 之间的坐标关系,利用点 P 满足椭圆方

程,我们可以求出动点 M 的轨迹方程. 解答: 解: (1)由已知得双曲线焦点坐标为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a,∴ ,∴ 2 2 2 2 而 c =4,∴b =a ﹣c =18﹣4=14 ∴所求椭圆方程为

(2)设 M(x,y) ,P(x0,y0) ,由

得(x,y﹣2)=(x0﹣x,y0﹣y)



而 P(x0,y0)在椭圆







为所求 M 的轨迹方程.

点评: 本题的考点是椭圆的标准方程, 考查待定系数法求椭圆的标准方程, 考查代入法求 轨迹方程,解题的关键是利用向量关系,寻求动点之间的坐标关系. 19. (14 分)数列{an}是公差为正数的等差数列,a2、a5 且是方程 x ﹣12x+27=0 的两根,数 列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn=1﹣ (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)记 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)依题意,解方程 x ﹣12x+27=0 可得 a2、a5,从而可得数列{an}的通项公式; 由 Tn=1﹣ bn 可求得数列{bn}的通项公式; (2)cn=an?bn,利用错位相减法可求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 2 解答: 解: (1)∵等差数列{an}的公差 d>0,a2、a5 且是方程 x ﹣12x+27=0 的两根, ∴a2=3,a5=9. ∴d= =2, ,
2

∴an=a2+(n﹣2)d=3+2(n﹣2)=2n﹣1; 又数列{bn}中,Tn=1﹣ bn,① ∴Tn+1=1﹣ bn+1,②

②﹣①得:

= ,又 T1=1﹣ b1=b1,

∴b1= , ∴数列{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列, ∴bn= ? ; ;

综上所述,an=2n﹣1,bn = ?

(2)∵cn=an?bn=(2n﹣1)? ? ∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn =1× +3× × +…+(2n﹣1)× ×



,③

∴ Sn= × +3× × ④ ∴③﹣④得: Sn= + [ +

+…+(2n﹣3)× ×

+(2n﹣1)× ×



+

+…+

]﹣ (2n﹣1) × ×



Sn=1+2[ +

+

+…+

]﹣(2n﹣1)×

=1+2×

﹣(2n﹣1)×

=2﹣

× .

=2﹣(2n+2)×

点评: 本题考查数列的求和, 着重考查等差数列与等比数列的通项公式, 突出考查错位相 减法求和,属于中档题. 20. (15 分)已知函数 f(x)=ax +x﹣1+3a(a∈R) , (1)若 a= ,求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x)在区间[﹣1,1]上恰有一个零点,求 a 的取值范围. 考点: 函数的零点. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)a= ,f(x)=ax +x﹣1+3a=0 可得 x +x=0,求出 x,即可求函数 f(x)的零 点; (2)当 a=0 时,f(x)=x﹣1 满足条件;当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[﹣1,1]上有零点 分为三种情况:①方程 f(x)=0 在区间[﹣1,1]上有重根,②若函数 y=f(x)在区间[﹣1, 1]上只有一个零点,但不是 f(x)=0 的重根,分类讨论求出满足条件的 a 的范围后,综合 讨论结果,可得答案. 解答: 解: (1)a= ,f(x)=ax +x﹣1+3a=0 可得 x +x=0,所以 x=0 或﹣3, 即函数 f(x)的零点是 0 或﹣3; (2)当 a=0 时,f(x)=x﹣1,令 f(x)=0,得 x=1,是区间[﹣1,1]上的零点.
2 2 2 2 2

当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[﹣1,1]上有零点分为两种情况: ①方程 f(x)=0 在区间[﹣1,1]上有重根, 令△=1﹣4a(﹣1+3a)=0,解得 a=﹣ 或 a= . 当 a=﹣ 时,令 f(x)=0,得 x=3,不是区间[﹣1,1]上的零点. 当 a= 时,令 f(x)=0,得 x=﹣1,是区间[﹣1,1]上的零点. ②若函数 y=f(x)在区间[﹣1,1]上只有一个零点,但不是 f(x)=0 的重根, 令 f(1)f(﹣1)=4a(4a﹣2)≤0,解得 0<a≤ . 综上可知,实数 a 的取值范围为[0, ]. 点评: 本题考查二次函数与方程之间的关系,二次函数在给定区间上的零点问题 ,要注 意函数图象与 x 轴相切的情况,属于中档题.


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