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浙江省金华一中2014-2015学年第二学期高一数学期中试卷


金华一中 2014-2015 学年第二学期高一数学期中试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 a3 ? a7 =10,则 s9 =( A.9 B.10 C.45 ) D.90 )

2.四边形ABCD中

,向量 AB ? DC ,且 | AB |?| AD | ,则四边形ABCD为( A.梯形 B.四边形对角线相等 C.菱形 3.若 2,a,b,c,32 成等比数列,则 b=( ) A.16 B.8 C.-8 D.正方形 D. ?8

??? ?

????

??? ?

????

4.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,则角 A= ( A.60O B.45O C.120O D.30O



5.已知等比数列 ?an ? 中,公比为 q, a1 , A.

1 a3 , a2 成等差数列则 q=( ) 2

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C. ?

5 ?1 2

D.

1? 5 5 ?1 或 2 2
D. (0,12] ? 8 3

6.如果满足∠ABC=60O,AC=12,BC=k 的 ?ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围( ) A. (1,12] B. 8 3 C. (1,12] ? 8 3

? ?

? ?

7.若 OP ,则 OP ? ( 1 ? a, OP 2 ? b, PP 1 ? ? PP 2

??? ?

? ???? ? ??? ?

????

??? ?



? ? A. a ? ? b

? ? B. ? a ? b

? ? C. ? a ? (1 ? ? )b

? ? a ? ?b D. 1? ?

an?1 ? an ? 1 ? 8.已知 0 ? a1 ? 1, 数列 ?an ? 满足:
为整数的正整数组对 (i, j ) ( A.至多一对 B.至多 2 对 )

n ? ,n? N? , 则满足 ai ? a j (i ? j, i, j ? N ) n ? an

C.有无穷对

D.不存在

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9,10 题,每小题 6 分,第 13-15 题,每小题 4 分,共 36 分. ) 9 .向量 OA ? (? ,

??? ?

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 3 ??? ), OB ? (1, 3) ;则 2OA? OB? ____;向 量 OA 与向量 OB 数量 积为 2 2

______;三角形 AOB 的面积_____. 10.已知数列 ?an ? 为等差数列, a5 ? 19, a10 ? 39, 则公差 d=____, a20 ? ____ ,数列 ?an ? 前n项和

为 sn ,

s9 ? ________. 9

11.在直角三角形 ABC 中,角 C=90o,直角边 AC=1,则 CA ? AB ? _____ . 12.已知某企业的月平均利润增长率为 a,则该企业利润年增量长率为________. 13. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和 , 前 2n 项和 , 前 3n 项和分别为 A,B,C, 则 A,B,C, 满足等式 ______________. 14.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ?

??? ? ??? ?

100 ,则 | a1 ? a2 | ? | a2 ? a3 | ??? | a99 ? a100 |? ___. n

15.在直角三角形 AOB 中,点 O 在坐标原点,A(4,0),B(0,3), 三角形 EFG 是三角形 AOB 的内接等腰直角三角形,点 F 是 直角顶点,点 F 在线段 OA 上移动,点 E 在线段 OB 上移动, 点 G 在线段 AB 上移动(不包括线段端点),则三角形 EFG 的 直角边长最小值为_____.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 16.在平面直角坐标系中,点 A(2,2),B(4,5),C(3,k+2); (1)若点 A,B,C,三点共线求 k 的值. (2)若三角形 ABC 是锐角三角形,求 k 的取值范围.

17. 设 三 角 形 ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 且 边 长 c=1 ,

cos B sin C ? (a ? sin B) cos C ? 0 ;
(1)求角 C 的大小. (2)求 ab 的取值范围.

18.在数列 ?an ? 中,数列前 4 项成等差数列, an ? 2 ? ?

?an ? 2, (n为奇数), ?2an , (n为偶数)

n? N?

,

(1)求证数列 a1 , a3, a7 ,?, a2n ?1 不是等差数列; (2)求数列前 n 项和.

19.已知向量 a 与 b 满足: | a |? 4,| b |? 3,(2a ? 3b)? (2a ? b) ? 61; (1)求向量 a ? b 的模; (2)若 AB ? a, AC ? b, 作三角形 ABC,点 P 是三角形 ABC 所在平面上任意一点,求

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

??? ?

? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ( PC ? PB) ? PA 的最小值.

20.已知非零数列 ?an ? 满足: a1 ? 项和,其中 b1 ? 1,

1 1 2 , a2 ? , an ? an ?1an ?1 (n ? 2, n ? N ? ), 设 s n 为数列 ?bn ? 前 n 2 4

sn ?1 sn ? ?1. n ?1 n

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)若对任意的 n ? N ? 使得不等式: 值.

b ?1 m b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?? ? n ? 恒成立,求实数 m 的最大 a1 a2 an an

金华一中 2014-2015 学年第二学期高一数学期中考答题卷
命题:严根林 校对: 陈蕾

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1 C 2 C 3 B 4 C 5 D 6 D 7 D 8 A

二、填空题(9,10 每题 6 分,11,12,13,14,15 每题 4 分,共 36 分) 9.

(?2, 0)

___1__ __

3 ___ . 10.___4____, _79_____, ____19____ 2
, 14. 162 ,

11. -1 12.

(1 ? a)12 ? 1 13. A2 ? B 2 ? AB ? AC

15.

6 58 29

三、解答题(16,17,18,19 题每题 15 分;20 每题 14 分共同 74 分) 16.在平面直角坐标系中,点 A(2,2),B(4,5),C(3,k+2); (1)若点 A,B,C,三点共线求 k 的值。 (2)若三角形 ABC 是锐角三角形,求 k 的取值范围。 (1)向量 AB ? (2,3), AC ? (1, k) ,由点 A,B,C 三点共线知 2k=3, k ?

??? ?

??? ?

2 3 且k ? , 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11 若 B 为锐角, BA ? (?2, ?3), BC ? (?1, k ? 3) , BA ? BC ? 2 ? 3k ? 9 ? 0, k ? , 3
(2) 若 A 为锐角, B, C, 三点不共线知: AB ? AC ? 2 ? 3k ? 0, 且点A , k >? (3)若 C 为锐角,

??? ? ??? ?

3 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ? 13 CA ? (?1, ?k ), CB ? (1,3 ? k ), CA ? CB ? 0, k 2 ? 3k ? 1 ? 0, k ? , 2 2 3 ? 13 3 ? 13 11 ,或 ?k? . 综上所述: ? ? k ? 3 2 2 3
17.设三角形 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且边长 c=1,

或k ?

3 ? 13 ; 2

cos B sin C ? (a ? sin B) cos C ? 0 ;
(1)求角 C 的大小; (2)求 ba 的取值范围。 (1) cos B sin C ? sin B cos C ? a cos C ? 0,sin( B ? C ) ? a cos C, 在三角形 ABC 中 sin(B+C)=sinA,得 sinA=acosC,csinA=acosC,由正弦定理

sin C sin A ? sin A cos C , tan C ? 1, C ?
(2)由正弦定理

?
4

.

a b c c 1 ? ? ? 2R, 2R ? ? ? 2, sin A sin B sin C sin C sin ? 4

ab ? (2 R sin A)(2 R sin B) ? 2sin A sin B ? 2sin A sin( A ? ) 4 1 ? cos 2 A sin 2 A ? 2 sin A(sin A ? cos A) ? 2( ? ) 2 2 2 ? 1 ? ? ? 5? 1 2 ? 2 ? 2[ sin(2 A ? ) ? ], 0 ? A ? , ? ? 2 A ? ? ,? ? sin(2 A ? ) ? , 2 4 2 4 4 4 4 2 2 4 2 2? 2 ] 的取值范围 (0, 2
18.在数列 ?an ? 中,数列前 4 项成等差数列, an ? 2 ? ?

?

ab

?an ? 2, (n为奇数), ?2an , (n为偶数)

n? N?

,

(1) 求证数列 a1 , a3, a7 ,?, a2n ?1 不是等差数列; (2)求数列前 2n 项和. (1)设数列 ?an ? 前期 4 项为 a , a , a ? 2,2a ,得 1 2 1 2 (2) 2a ? 2a ? 2, a ? a ? 1, 2(a ? 2) ? 3a , a ? 1, a ? 2 , 2 1 2 1 1 2 1 2 数列 a1 , a3, a7 ,?, a2n ?1 为 a ? a ? 1 ? 13 ? 14, 2a ? 10, a ? a ? 2a ,所以数列不是等差数 1 7 3 1 7 3 列. (3) an ? ?

? n?n为奇数 n ? 2 2? , n为偶数
n=2k
k 2 k ?1 n?2 n 2 ?2 ? ( ) ?2 2 ?2 2 n ?1 n ?1 2 ) ?2 2 ?2 2

1.当 n 是偶数时,记

sn ? s2 k ? (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2k ? 1) ? (2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ) ? k ? 2
2 当 n 为奇数时,记 n=2k+1,

sn ? s2 k ? (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2k ? 1) ? (2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2k ) ? (k ? 1) 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (
19.已知向量 a 与 b 满足: | a |? 4,| b |? 3,(2a ? 3b)? (2a ? b) ? 61; (1)求向量 a ? b 的模; 的最小值. (1)

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) 若 AB ? a, AC ? b, 作三角形 ABC, 点 P 是三角形 ABC 所在平面上任意一点, 求 ( PC ? PB) ? PA

? ? ? ? ? 2 ?2 ?? ?? ? (2a ? 3b)? (2a ? b) ? 61 ? 4a ? 3b ? 4ab; a?b ? ?6,

? ? ?2 ? ? ?2 ? ? | a ? b |2 ? a ? 2a ? b ? b ? 13,| a ? b |? 13,
(2)设 BC 的中点为 E,AE 的中点为 F, BC ?| a ? b |? 37, AE ?

? ?

1 ? ? 13 | a ? b |? 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 13 13 ( PC ? PB) ? PA ? 2 PE ? PA ? 2( PF ? FE ) ? ( PF ? FE ) ? 2( PF 2 ? EF 2 ) ? 2( PF 2 ? ) ? ? 16 8

(2)另建立直角坐标系, 将 A 放在坐标原点, B 放在坐标轴上 x 轴上, A (4, 0) , C (? , 记 P(x,y) , (P C P ? B P A )?

3 3 ), 2 2

?? ? ?? ? ? ? ?

3 ?( [? x ? , 2

33 y ? ) ?4 (? x, ? y]( ) ?? , x? )y2 ( ? 2

x ? )

5 8

2

?2( y ?

3 3 2 13 ) ? 8 8
1 1
2 ?

a1 ? , a2 ? , an ? an ?1an ?1 (n ? 2, n ? N a 2 4 20.已知非零数列 ? n ? 满足:

),



sn

为数列

?bn ?

前 n 项和,其中 a ?b ? (1)求数列 ? n ? 和 n 的通项公式;
b ?1 m b1 ? 1 b2 ? 1 ? ?? ? n ? a2 an an 恒成立,求实数 m (2)若对任意的 n ? N 使得不等式: a1 的最大值.
?

b1 ? 1,

sn ?1 sn ? ?1 n ?1 n .

(1)数列

?an ? 为等比数列 a

n

1 ? ( )n , 2

s s ?s ? (2)数列 ? n ? 为等差数列, n ? 1 ? (n ? 1) ? n, sn ? n 2 n 1 ?n?

当 n=1 时, a1 ? s1 ? 1 , 当 n≥2 时, an ? sn ? sn?1 ? 2n ?1, bn ? 2n ?1, 记 Tn ?
b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ??? n ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 , a1 a2 an

2Tn ? 23 ? 2 ? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n?2 , ?Tn ? 22 ? 23 ??? 2n?1 ? 2n?2 n, Tn ? 2n?2 n ? 2n?2 ? 4,
m? 2n ? 2 n ? 2n ? 2 ? 4 4 ? 4n ? n ? 4, n 2 2

4 4 ? ? 数列 ?4n ? n ? 4 ? 是递增数列, m ? 4 ?1 ? ? 4 ? 2, 2 2 ? ?

m 的最大值为 2。


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