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反函数的概念教案2


反函数的概念教案
王涛 课 课 题:反函数的概念 型:新授课

课时计划:本课题共安排 2 课时 教学目标:
1.知识与技能目标: 正确理解反函数的定义,初步掌握由原函数求反函数的方法。 2.过程与方法目标: 体会数形结合思想的应用,感受“具体——抽象——具体”的数学学习过程,培养观察、分析 和抽象概括的能力 3.情感态度与价值观目标: 在

建立反函数定义的探究中培养学生思维的严谨性; 在理解互为反函数的两个函数之间的内在 联系中,培养学生树立对立统一的辩证思维观点;在师生间平等、和谐的交流中,激发学生学 习数学的热情。

教学重点、难点:
教学重点:反函数的定义及反函数的求法。 教学难点:反函数存在的条件。

教学方法及手段:
教学方法:探究、讨论式。教学手段:多媒体辅助教学。

教学过程:
一.复习函数概念引入 函数的定义:在某个变化过程中有两个变量 x、y ,如果对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个 确定的值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的实数值与它对应,那么 y 就是 x 的函数 , .. 记作 y ? f ( x) ,( x ? D ), x 叫做自变量 , y 叫做因变量 , x 的取值范围 D 叫做定义域 , ... ... ... 和 x 对应的 y 的值叫做函数值 ,函数值的集合叫做函数的值域 . ... .. 二.新课讲解 问题 1 什么是反函数呢? 反函数的概念:一般地,对于函数 y ? f ( x) ,设它的定义域为 D ,值域为 A .如果对于 A 中 任意一个值 y , 在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应, 且满足 y ? f ( x) , 这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f
?1

( y) .在习惯上,自变量常用 x 表示,而函数用
1

y 表示,所以把它改写为 y ? f ?1 ( x)(x ? A) .
顾名思义,反过来也是函数,即 x 也是 y 的函数。 问题 2:什么样的函数有反函数?

( 1 )任取y ? A, 在D中总有唯一确定的 x值与它对应,使 y ? f ( x) (2)函数y ? f(x)的图像与任一直线 y ? b( y ? A)有且只有一个公共点
有反函数的充要条件:函数是一一对应。 单调函数一定是一一对应必有反函数。 有反函数则不一定是单调函数,例如 y ? 不存在反函数的条件(举反例)

1 x

例 1 判断下列选项是否具有反函数? 1) y ? 2 x ? 2 2) y ? x 2

(1)

(2)

y

O

x

(3)

(4)

x值与它对应,使 y ? f ( x) 解 (1)是函数 任取y ? A, 在D中总有唯一确定的
(2)是函数但是不满足一一对应,不存在反函数。 (3)不是函数,所以不存在反函数
2

(4)是函数 任取y ? A, 在D中总有唯一确定的 x值与它对应,使 y ? f ( x) 问题 3:上面的例题中函数有反函数,那对于一个确定的解析式,如何求反函数呢? 给定函数 y ? f ( x) ,求其反函数的步骤: (1)先判断 y ? f ( x) 是否存在反函数.若存在反函数,则确定原函数的值域,它是反函数的 定义域; (2)由 y ? f ( x) 中解出 x ? f
?1

( y) ;
?1

(3)对换 x , 并写上 y ? f y 得表达式 y ? f ?1 ( x) ,

( x) 的定义域即原来函数 y ? f ( x) 的值域.

总结记录要点:一判断二解三兑换注明。 三.例题讲解 例题 2 判断下列各函数,是否存在反函数?如果存在,求出它的解析式,如果不存在,请说 明理由。 (1) y ? 4 x ? 2 ; (2) y ? x 3 ? 1 ;

2x ? 3 ( x ? R, 且x ? 1) x ?1 y-2 (1)由 y ? 4 x ? 2 解得 x ? 4
(3) y ? ∴函数 y ? 4 x ? 2 的反函数是 y ?
3

x-2 ( x ? R) 4
3

( 2 ) 由 y ? x ? 1( x ? R) 解 得 x=

y ? 1 , ∴ 函 数 y ? x 3 ? 1( x ? R) 的 反 函 数 是

y ? 3 x ? 1( x ? R)
(3) y ?

2x ? 3 y?3 解得 x ? x ?1 y?2

5 2x ? 3 =2+ ≠2 x ?1 x ?1 2x ? 3 ( x ? R, 且x ? 1) 的反函数是 ∴函数 y ? x ?1 x?3 y? ( x ? R , x ? 2) x?2
∵x≠1 ∴ y ? 变式:(1) f ( x) ? 4 x ? 2 ; (2) g( x) ? x ? 1( x ? 0) ;
2

小结:给定函数 y ? f ( x) ,求其反函数的步骤: (1)先判断 y ? f ( x) 是否存在反函数.若存在反函数,则确定原函数的值域,它是反函数的 定义域;

3

(2)由 y ? f ( x) 中解出 x ? f

?1

( y) ;
?1

(3)对换 x , 并写上 y ? f y 得表达式 y ? f ?1 ( x) , 问题 4:什么样的两个函数是互为反函数? 对应法则相反,定义域和值域恰好互换。 函

( x) 的定义域即原来函数 y ? f ( x) 的值域.









y ? f ( x)
定义域 值 域 D A

y ? f ?1 ( x)
A D

例 3(1)画出例题 2 中第一个小题中原来的函数和它的反函数的图像 (2)求 y ?

x ? 1 的反函数并画出原函数和反函数的图像,并观察图像之间有什么特征

解:先复习点的对称问题,点 P(x,y)关于 x 轴对称 Q(x,-y),点 P(x,y)关于 y 轴对称 Q(-x,y), 点 P(x,y)关于 y=x 轴对称 Q(y,x),接着学生取点分析原函数和反函数的关系 总结互为反函数的两个函数图像沿着 y=x 对称 小结:(1)互为反函数的两个函数的图像关于直线 y ? x 对称; (2)互为反函数的两个函数具有相同的增减性。

练习题目

1 求函数 y ? x ? 1( x ? 0) 的反函数.

2 已知函数 f(x)=

6x ? 5 (x ? R,且 x ? 1)存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,求 f ? 1 (7)的值. x ?1

3(1)函数 y ? f ( x) 的图象是过点 (4, ?1) 的一次函数,其反函数的图象经过点 ( ?3, ?2) ,求函 数 f ( x) 的解析式. (2)若点 (2,1) 既在函数 y ?

ax ? b 的图像上,又在它的反函数图像上,试求 a 、 b 的值。
4

5


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