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7.函数、三角函数、立体几何小综合(1)


2014 届高三文数基础训练(七)
——函数、三角函数、立体几何小综合(1) (时间:60 分钟 满分:90)
一、选择题 1.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象

是(

)

2.f(x)是奇函数,则①|f(x)|一定是偶函数;②f(

x)·f(-x)一定是偶函数; ③f(x)·f(-x)≥0;④f(-x)+|f(x)|=0,其中错误的个数有( (A)1 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)0 个 ) )

3.为了得到函数 y=sin(2x+

? 2? )的图象,只需把函数 y=sin(2x+ )的图象( 6 3 ? ? (A)向左平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 2 2 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 4 4

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 S△ABC=

b 2+a 2-c2 ,则角 C 的大小 4
(D)

为(

)

(A)

? 4

(B)

? 3

(C)

? 3? 或 4 4

? 2? 或 3 3
)

5.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( (A)若 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,则α ∥β (C)若 m⊥α ,n∥β ,α ∥β ,则 m⊥n (B)若 m∥α ,n∥β ,α ∥β ,则 m∥n (D)若 m∥n,m∥α ,n∥β ,则α ∥β

6.如图,下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

1

(A)①④ 二、填空题

(B)②④

(C)①③④

(D)①③

7.设 a= log 1 2 ,b=(
3

1 0.3 ) ,c=ln3,则 a、b、c 的大小关系是________. 2
3

8.已知函数 f(x)=ax +bx-3,若 f(-2)=7,则 f(2)=_______. 9.已知角α 的终边经过点 P(x,-6),且 tanα =-

3 ,则 x 的值为______. 5

10.一个五面体的三视图如图,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部

分边长如图所示,则此五面体的体积为______. 三、解答题 11.两个二次函数 f(x)=x +bx+c 与 g(x)=-x +2x+d 的图象有唯一的公共点 P(1,-2). (1)求 b,c,d 的值; (2)设 F(x)=(f(x)+m)·g′(x),若 F(x)在 R 上是单调函数,求 m 的取值范围,并指出 F(x) 是单调递增函数,还是单调递减函数.
2 2

12.已知:函数 f(x)=2cos x+asinxcosx,f(

2

? )=0. 6

(1)求实数 a;(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调增区间; (3)若函数 f(x)的图象按向量 m=( 式. 13.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起, 使∠BDC=90°.(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC;(2)设 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

? ,-1)平移后,得到一个函数 g(x)的图象,求 g(x)的解析 6

2

函数、三角函数、立体几何小综合(1)参考答案 1.选 C. 2.选 B. 3.选 D. 4.选 A. 5.选 C. 6.选 D 7.c>b>a 8.-13 9.10 10.2 11.【解析】(1)由已知得 ?
2 2

?1 ? b ? c ? ?2 ?b ? c ? ?3 ,化简得 ? , ??1 ? 2 ? d ? ?2 ?d ? ?3
2

且 x +bx+c=-x +2x+d,即 2x +(b-2)x+c-d=0 有唯一解, 所以Δ=(b-2) -8(c-d)=0, 即 b -4b-8c-20=0, 消去 c 得 b +4b+4=0,解得 b=-2,c=-1,d=-3. (2)由(1)知 f(x)=x -2x-1,g(x)=-x +2x-3, 故 g′(x)=-2x+2, F(x)=(f(x)+m)·g′(x) =(x -2x-1+m)·(-2x+2) =-2x +6x -(2+2m)x+2m-2, F′(x)=-6x +12x-2-2m. 若 F(x)在 R 上为单调函数,则 F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≤0 或 F′(x)≥0 成立. 因为 F′(x)的图象是开口向下的抛物线, 所以 F′(x)≤0 在 R 上恒成立,故 F(x)在 R 上为减函数, 所以Δ=12 +24(-2-2m)≤0,解得 m≥2, 即 m≥2 时,F(x)在 R 上为减函数. 12.【解析】(1)0=f(
2 2 3 2 2 2 2 2 2 2

? 1 3 2 3 )=2×( ) +a× × , 6 2 2 2
3

a=-2 3 . (2)f(x)=(cos2x+1)- 3 sin2x=2cos(2x+ ≤2kπ,k∈Z,∴x∈[kπ-

? 2? ? )+1,故最小正周期 T= =π,2kπ-π≤2x+ 3 2 3

2? ? ,kπ- ],k∈Z, 3 6 2? ? 故函数的单调增区间为[kπ,kπ- ],k∈Z. 3 6
(3)在函数 g(x)的图象上任取一点 P(x,y),设该点是由函数 f(x)图象上的点 P′(x′,y′)

? ? ? ? x ? x? ? 按向量 m=( ,-1)平移后所得,则 ? 6, 6 ? ? y ? y? ? 1 ? ? ? ? x? ? x ? ∴? 6 代入 y′=2cos(2x′+ )+1 中可得: 3 ? ? y? ? y ? 1
y=2cos2x,∴g(x)=2cos2x. 13.【解析】(1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1, ∴AB=BC=CA=

2,
1 1 ×1×1= , 2 2

从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA=

S△ABC=

1 3 × 2 × 2 ×sin60°= , 2 2

故表面积: S ?

1 3 3? 3 ?3? ? . 2 2 2

4

5


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