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佛山一中2011-2012学年高一下学期期中考试(数学)


2011-2012 学年度下学期期中考试高一级 数学科试题
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.cos300?的值为( ) A.-
1 2

B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

BC ? 2.在边长为 2 的正 △ A B C 中, AB ·

( ) -2
a1 5 a5 ?(
1 3

A.2 3

B.2

C.-2 3

D.

3. 等比数列 ? a n ? 中, a 5 ? a1 1 ? 3, a 3 ? a1 3 ? 4, 则 A.3
3? 4



B.

1 3

C.3 或

1 3

D.-3 或-

4.角 ? ? (

, ? ) ,则点 P( sin ? ? cos ? , cos ? )在坐标平面内所处的象限为(



A.第一象限 5.已知 ta n ? ? ? A. 3
1 2

B.第二象限 ,则

C.第三象限
2

D.第四象限 ) D. ? 2

(s in ? ? c o s ? ) c o s 2?

?(

B. ? 3
?
2 11 ? 30

C. 2
? ? <

6.函数 y=2sin( ? x+ ? ) ? >0, - (

?
2

)的部分图象如图所示,则 ? =( y
3

)

A.

B.

?
15

10 O x

C.

?
6

D.

11 ? 60

7.如图由三个相同的正方形拼接而成,设 ? EAB ? ? , ? EBC ? ? ,则 ? ? ? =( H A.
?
6

) E

G

F

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

? A B

? C D

1

8.设函数 f ( x ) ? sin 2 x ? A. f ( x ) 的图象关于点 (
2? 3

3 cos 2 x ,则下列结论正确的是:

, 0 ) 中心对称

B. f ( x ) 在 [ 0 ,

?
6

] 上单调递增

C.把 f ( x ) 的图象向左平移

?
12

个单位后关于 y 轴对称

D. f ( x ) 的最小正周期为 4 ?

9. 在等比数列 { a n } 中,若 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ?
n?1

1 3
n

,则

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

=(

)

A.
3

3
n

n

?1

B.

3

? 3

C.

9 4

?

1 4? 3
n?2

D.

3

n?1

?1

4

4

10.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且
(a ? c )
2

? 12 ? b ,则△ABC 的面积为
2

A. 6 ? 3 3

B. 6 3 ? 9

C. 2 3

D. 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
sin 67 . 5 ? sin 22 . 5 ? cos 67 . 5 ? cos 22 . 5 ?

11.

?

=



.

12.等差数列 ?a n ? 中,有 a 1 ? a 7 ? a 10 ? ? ,则 tan a 6 =





13. 向量 a 、 b 的坐标分别是(1,2)、(3,-4),则 a 在 b 上的射影= 14.观察下面的 n 行 n 列数阵的排列规律:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 . . . n 2 3 4 . . . 1 3 4 5 . . . 2 ? ? ? . . . ? n?2 n?1 n?1 n . . . n 1 . . . n ? ? 1 ? 2 ? ? . ? ? . ? . ? ? 2 n ? 1?



.

n?3 n?

记位于第 i 行第 j 列的数为 a ij ( i , j ? 1, 2 ? ??, n ) 。 当 n=8 时, a 11 ? a 22 ? a 33 ? ? ? a nn = 当 n=1999 时, a 11 ? a 22 ? a 33 ? ? ? a nn = ▲ ▲ ;(2 分) .(3 分)

2

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 分+6 分) (6 在直角坐标系中,A (3,0),B (0,3),C ( 2 cos ? , 2 sin ? ) (1)若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值; (2) AC 与 BC 能否共线?说明理由。 16. (本小题满分 14 分) 分+7 分) (7 已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? a cos
2

x ,a 为常数,a ? R ,且 x ?

?
4

是方程 f ( x ) ? 0 的解。

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [ 0 ,
?
2 ] 时,求函数 f ( x ) 值域。

17. (本小题满分 12 分) 要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶 M 在同一个铅垂面内,已知飞机 的飞行高度为海拔 10000 米,速度为 900km/h,航测员先测得对山顶的俯角为 30?,经过 40s(已飞过 M 点)后又测得对山顶的俯角为 45?,求山顶的海拔高度?(精确到 m)(可能 要用到的数据 2 ? 1 . 414 , 3 ? 1 . 732 , 6 ? 2 . 450 )

30?

45?

18. (本小题满分 14 分) 分+8 分) (6 设 { a n } 是等差数列, { b n } 是各项都为正数的等比数列,且 a 1 ? b1 ? 1 , a 3 ? b 5 ? 2 1 ,
a 5 ? b3 ? 1 3

(Ⅰ)求 { a n } , { b n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?
? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

3

19.(本小题满分 14 分)(7 分+7 分) 已知函数 f ( x ) ? mx
2

? (1 ? m ) x ? m ,其中 m 是实数

(1)若函数 f ( x ) 有零点,求 m 的取值范围;(7 分) (2)设不等式 f ( x ) ? mx ? m 的解集为 A,若 A ? ( ?? , 3 ) ,求 m 的取值范围。(7 分)

20.(本小题满分 14 分)(4 分+4 分+6 分) 已知数列{ a n }、{ b n }、{ c n }满足 ( a n ? 1 ? a n )( b n ? 1 ? b n ) ? c n , n ? N .
*

(1)设 a n ?

1 3
n

, b n ? 1 ? 3 n ,求数列{ c n }的前 n 项和 Sn;

(2)设 c n ? 2 n ? 4 ,{ a n }是公差为 2 的等差数列,若 b 1 ? 1 ,求{ b n }的通项公式; (3)设 c n ? 3 n ? 25 , a n ? n ? 8 n ,求正整数 k 使得对一切 n ? N ,均有 bn≥bk.
2
*

4

高一级数学科答案
一、选择题: 1、B 2、D 3、C 4、C 二、填空题: 11、 2 2 12、 3 5、A 6、C 7、B 8、C 9、B 10、D

13、-1

14、32,1999000

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 分+6 分) (6 解: AC ? ( 2 cos ? ? 3 , 2 sin ? ) , BC ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ? 3 ) (1) AC ? BC ? AC ? BC ? 0 ? ( 2 cos ? ? 3 ) ? 2 cos ? ? ( 2 sin ? ? 3 ) ? 2 sin ? ? 0 ? sin ? ? cos ? ?
2 3 4 9 5 9

……1 分 ……2 分

……4 分 得 sin 2? = ? ……6 分 ……8 分

两边平方得 1+ sin 2? = (2)不能共线。 理由如下:

若 AC 、 BC 共线,则有 ( 2 cos ? ? 3 ) ? ( 2 sin ? ? 3 ) ? 2 cos ? ? 2 sin ? 解得 sin ? ? cos ? ?
3 2

……10 分
9 4

两边平方得 1+ sin 2? =
?
4

得 sin 2? =

5 4

>1,矛盾!

……12 分

16. (本小题满分 14 分) 分+7 分) (7 (1)由 f (
) ? 0 ,得 a ? ? 2
2

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……7 分

f ( x ) ? sin 2 x ? 2 cos

x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

= 2 sin( 2 x ? T=
2? 2 ? ?

?
4

)?1

(2)由 0 ? x ? 得?
2 2

?
2

得?
?
4

?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 4

……9 分 ……12 分

? sin( 2 x ?

)? 1

得? 2 ? f (x) ?

2 ?1

? 值域为 [ ? 2 , 2 ? 1 ] 17. (本小题满分 12 分) 解:由 900km/h=250m/s,AB=250?40=10000m, ?ABM 中,
BM sin 30 ? ? AB sin 105 ?

……14 分 ……2 分 ……3 分

5

BM ?

AB sin 30 ? sin 105 ?

……4 分 ……5 分

作 MD?AB 于 D,则 MD=BMsin45?
? BM ? AB sin 30 ? sin 105 ? 1 2 2 2 ? 10000 3 ?1 ? 1 2 ? 2 2 ? ? 2 2 3 2 ? sin 45 ?

10000 ? ?

……10 分

? 5000 ( 3 ? 1 ) ? 3660

M 的海拔高度为 10000-3660=6340m 答:M 的海拔高度为 6340m。 (思路对了,但计算错误,可给一半分数) 18. (本小题满分 14 分) 分+8 分) (6 4 2 (1) 设公差为 d,公比为 q,则 1+2d+q =21,1+4d+q =13. 解得 q=2 d=2
a n ? 2n ? 1

……11 分 ……12 分

……………2 分 ……………………4 分 ……………………5 分 ………6 分 ………………7 分

bn ? 2

n?1

(2) c n ?

an bn

?

2n ? 1 2
n?1

……………………9 分

Sn ?

1 2
0

?

3 2
1

?

5 2
2

?? ?

2n ? 1 2
n?1

……………………10 分

1 2

Sn ?

1 2
1

?

3 2
2

?

5 2
3

?? ?

2n ? 3 2
n?1

?

2n ? 1 2
n

……………………11 分

两式相减得
1 2 1 2
0

Sn ?

?

2 2
1

?

2 2
2

?

2 2
3

?? ? 2

2
n?1

?

2n ? 1 2
n

1 ? (1 ? ? 1? 1? 2 1 2

1
n?1

) ?

2n ? 1 2
n

…13 分

Sn ? 6 ?

4 2
n

?

2n ? 1 2
n?1

? 6?

2n ? 3 2
n?1

……………………14 分

19.(本小题满分 14 分)(7 分+7 分) 6

解: (1)当 m=0 时,f(x)=-x,零点为 x=0, 2 2 当 m?0 时,f(x)为二次函数,由?≥0 得(1-m) -4m ≥0 即 3m +2m-1≤0 解得-1≤m≤
2

………………2 分 ………………4 分 ………………6 分

1 3

且 m?0
1 3

综上所述可知函数有零点,则-1≤m≤ (2)由 f ( x ) ? mx ? m 得 mx
2



………………7 分 ………………8 分 ………9 分
1 m

? x ? 0

当 m=0 时,解得 x>0,显然 A ?(-?,3)不成立, 当 m>0 时,不等式可化为 x ?
2

1 m

x ? 0 ,解得 0 ? x ?

,若 A ?(-?,3)则 ……………11 分

1 m

? 3 ,即 m≥

1 3

,
2

当 m>0 时,不等式可化为 x ? 立. 综上所述,有 m≥
1 3

1 m

x ? 0 ,解得 x ?

1 m

或 x ? 0 ,显然 A ?(-?,3)不成

……………13 分 。 ……………14 分

20.(本小题满分 14 分)(4 分+4 分+6 分) 解: (1) a n ? 1 ? a n ?
1 3
n?1

?

1 3
n

? ? 3

2
n?1

……………1 分

b n ? 1 ? b n ? [ 1 ? 3 ( n ? 1 )] ? ( 1 ? 3 n ) ? ? 3
2 3
n

……………2 分

cn ?

2 Sn ? 3

(1 ? 1?

1 3 1 3
n

) ? 1?

1 3
n

……………4 分

(2)易得 b n ? 1 ? b n ? n ? 2 ,
b n ? ( b n ? b n ?1 ) ? ( b n ?1 ? b n ? 2 ) ? ? ? ( b 2 ? b1 ) ? b1
( n ? 4 )( n ? 1 ) 2
2 2

……………5 分 ……………6 分
2

=(n+1)+n+(n-1)+…+3+1=

? 1=

n

? 3n ? 2 2

……………8 分

(3) a n ? 1 ? a n ? [( n ? 1 ) ? 8 ( n ? 1 )] ? ( n ? 8 n ) ? 2 n ? 7 ? bn?1 ? bn ?
3 n ? 25 2n ? 7

………9 分 7

由 bn?1 ? bn ? 0 得 n ?

7 2

或n ?

25 3

10 又 n ? N , 得 n 为 1 , 2 , 3 或 9, ,?
7 2 25 3

由 bn?1 ? bn ? 0 得

? n ?

又 n ? N , 得 n 为 4 ,5 ,6 ,7 ,8

……………11 分

?数列{bn}中, b 1 , b 2 , b 3 递增, b 4 , b 5 , b 6 , b 7 , b 8 递减, b 9 , b 10 , ? 递增, ?最小项为 b1 或 b8. 又 b 2 ? b1 ?
22 5 , b 3 ? b1 ? 19 3 , b 4 ? b 1 ? 13

……………13 分

? b 8 ? b 4 ? b 1 ? 13 ? b 1 ?最小项为 b8.故有 k=8 使得对一切 n ? N ,均有 bn≥bk.
*

……………14 分

8



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