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02—— 抛物线的标准方程(2)


抛物线及其标准方程(2)

抛物线及其标准方程
一.定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛 物线的焦点定直线l 叫做抛物线的准线。

二.标准方程:
方程 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程 y2 其中 p 为正常数,它的几何意义是:
N

/>
l y
M

K o

· · F

x

焦点到准线的距离

方程y2 = 2px(p>0)表示抛物 线的焦点在 X轴的正半轴上
p p 则F( 2 ,0),l:x = 2

一条抛物线,由于它在坐标平 面内的位置不同,方程也不同,所 以抛物线的标准方程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 如何建系的?

﹒ ﹒ ﹒
y

图 形 o







线

标准方程

x

y

o

x

y

o

x
y


o

x

想一想:
根据上表中抛物线的 标准方程的不同形式与图形、 焦点坐标、准线方程对应关 系,如何判断抛物线的焦点 位置,开口方向?

第一:一次项的变量如为X(或Y) 则X轴(或Y轴)为抛物线的 对称轴,焦点就在对称轴 上。! 第二:一次的系数决定了开口方向

例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
3 解:因为p=3,故焦点坐标为(-,0) 2 3 准线方程为x=- -. 2

求它的焦点坐标和准线方程;

(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程; (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2 = - 8y

例2.已知抛物线的焦点到准线的距离是2, 求抛物线的标准方程

y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

例3、求过点A(-3,2)的抛物线的
标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=
9 4


A

y

O

x

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 3 2= ∴抛物线的标准方程为x

得p=

2

2

2 y或 y

=? x
3

4



练习、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x
2= 1 (2)x

y

(3)x2 +8y =0

2

焦点坐标

准线方程

(1)

(5,0)
1 (0,—) 8 (0 , -2)

x= -5
1 y= - — 8

(2)
(3)

y=2

小 结 :
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程

3、求标准方程(1)用定义;
(2)用待定系数法


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