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初等数论第三次作业


初等数论第三次作业
计算题
1.求 11 除 123 的余数。 解:123÷11 = 11…….2 答 11 除 123 的余数是 2。 2.先求出 2940,756,168 的标准分解式,再求出它们的最大公因数。 解:2940=2? 2? 3? 5? 7? 7 756=2? 2? 3? 3? 3? 7 168=2? 2? 2? 3? 7 最大公因数 84=2? 2? 3? 7 3.设 a=60,b=24,求(a,b) 。 4.求 1001!中末尾 0 的个数。
解:因为 10=2 ? 5,所以 1001!中末尾相当于 1001!的质因数分解式中 2 ? 5 的个数。由于 2<5,所以 1001!的质因数分解式中 2 的个数比 5 的个数要多,因此,只要考察 1001! 中因子 5 的个数即可。 因为:1001÷5=200……1,1001÷ 5 =40……1,1001÷ 5 =8……1,1000÷ 5 =1…… 375 又因为 200+40+8+1=249 所以答案为 249。 即 1001!中末尾 0 的个数为 249 个。
2 3 4

5.求不定方程 3x + 5y = 20 的一切非负整数解。
解:因为(3,5)=1,所以不定方程有整数解。 由观察知 x0 = 0, y0 = 4 是不定方程 3x+5y=20 的一个整数解,所以不定方程 3x+5y=20 的 一切整数解是

? x ? 5t ,其中 t 取一切整数。 ? ? y ? 4 ? 3t
由?

?x ? 0 4 可解得0 ? t ? , 所以t ? 0,1 故不定方程的一切非负整数解为 3 ?y ? 0

?x ? 0 ?x ? 5 ? ? ? y ? 4,? y ? 1

6.求出不定方程 7x + 2y = 1 的一个整数解,并写出其一切整数解的表达式。 解:因为(7,2)=1, 11 ,所以不定方程有解,观察知其中一个整数解是

? x0 ? 1 ? x ? 1 ? 2t , t取一切整数 ,于是一切整数解为 ? ? ? y ? ?3 ? 7t ? y 0 ? ?3

7.求不定方程 15x + 10y + 6z = 61 的一切整数解。
? x ? 5 ? 2u ? 6v ? 解:不定方程的一切整数解 ? y ? ?5 ? 3u ? 6v, 期中u , v取一切整数 ? z ? 6 ? 5v ?

8.计算欧拉函数值: ? (100) 。
100 ? 2 2 ? 5 2 ,由公式有

解:

?(100) 2 2 ? 5 2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 40 ?

1 2

4 5

9.解同余式 3x ? 8 (mod 10)。 10.解同余式 28x ? 21 (mod 35)。

11.解同余式组:
? x ? 1(mod 3) 。 ? ? x ? 2(mod 7)


由x ? 1(mod 3)得x ? 1 ? 3t1 , t1 ? Z , 将其带入x ? 2(mod 7)得 1 ? 2t1 ? 2(mod 7), 即3t1 ? 1(mod 7), 解得t1 ? 5(mod 7), 所以 t1 ? 5 ? 7t 2 , t 2 ? Z , 于是x ? 1 ? 3t1 ? 1 ? 3(5 ? 7t 2 ) ? 16 ? 2 t 2 , t 2 ? Z , 所以同余式组 的解为x ? 16(mod 21)



12.解同余式组:
? x ? 1(mod 2) ? ? x ? 1(mod 3) 。 ? x ? 1(mod 5) ?

解:因为 2,3,5 两两互质,所以由孙子定理该同余式组有一个解,由孙子定理得 该同余式组的解为 x ? 1(mod 30)


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