当前位置:首页 >> 数学 >>

2016石景山高三(上)期末(文 试题+答案)


2015-2016 学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设集合 A={2,5},集合 B={1,2},集合 C={1,2,5,7},则(A∪B)∩C 为( ) A.{1,2,5} B.{2,5} C.{2,5,7} D.{1,2,5,7}

/>
2.若变量 x,y 满足约束条件 A.0 B.2 C.3 D.4

,则 z=2x+y 的最大值为(



3.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|﹣2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的 图象可能是( )

A.

B.

C. )

D.

4.“a=2”是“直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图的程序框图表示算法的运行结果是( )

第1页(共18页)

A.﹣2 B.2

C.﹣1 D.1 )

6. 若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点 (1, 0) 关于直线 y=x 对称, 则圆 C 的标准方程为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣1) +y =1 B.x +(y+1) =1 C.x +(y﹣1) =1 D. (x+1) +y =1 7.已知 f(x)=x﹣1,若|f(x)|≥ax﹣1 在 x∈R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[0,1] B. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) C.[﹣1,1] D. (﹣∞,0]∪[1,+∞)



8.有一种走“方格迷宫”游戏,游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格,走过的方格不能 重复,只要有一个方格不同即为不同走法.现有如图的方格迷宫,图中的实线不能穿过,则 从入口走到出口共有多少种不同走法?( )

A.6

B.8

C.10

D.12

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 i(1﹣i)的实部为 .

10.已知向量 =(﹣3,4) , =(1,m) ,若 ?( ﹣ )=0,则 m=



11.某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) , [98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数 是 48,则 a= ;样本中净重在[98,104)的产品的个数是 .

12. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. a=15, b=10, A=60°, 则 sinB=



第2页(共18页)

13.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱 SB 的长 为 .

14.股票交易的开盘价是这样确定的:每天开盘前,由投资者填报某种股票的意向买价或意 向卖价以及相应的意向股数, 然后由计算机根据这些数据确定适当的价格, 使得在该价位上 能够成交的股数最多. (注:当卖方意向价不高于开盘价,同时买方意向价不低于开盘价, 能够成交)根据以下数据,这种股票的开盘价为 元,能够成交的股数 为 . 2.2 2.3 2.4 卖家意向价(元) 2.1 200 400 500 100 意向股数 买家意向价(元) 2.1 600 意向股数 2.2 300 2.3 300 2.4 100

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)记 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

16.已知函数 f(x)=2

x,x∈R.

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在 上的最大值与最小值.

17.编号为 A1,A2,…,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 15 35 21 28 25 36 18 34 得分 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 17 26 25 33 22 12 31 得分 (Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 区间 [10,20) [20,30) [30,40] 人数 (Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,
第3页(共18页)

A16 38

(i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 分的概率. 18.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AC=BC=2,AA1=4, M,N 分别是棱 CC1,AB 中点. (Ⅰ)求证:CN⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求证:CN∥平面 AMB1; (Ⅲ)求三棱锥 B1﹣AMN 的体积. ,

19.已知椭圆 C:

,其中

(e 为椭圆离心率) ,焦距为 2,过点

M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐标为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程. 20.已知函数 f(x)= x ﹣
3

x ,g(x)= ﹣mx,m 是实数.

2

(Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h(x)=f(x)﹣g(x)有三个零点,求 m 的取值范围.

第4页(共18页)

2015-2016 学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设集合 A={2,5},集合 B={1,2},集合 C={1,2,5,7},则(A∪B)∩C 为( ) A.{1,2,5} B.{2,5} C.{2,5,7} D.{1,2,5,7} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由并集可得 A∪B={1,2,5},再求交集即可. 【解答】解:∵A={2,5},B={1,2}; ∴A∪B={1,2,5}; ∵C={1,2,5,7}, ∴(A∪B)∩C={1,2,5}, 故选:A. 【点评】本题考查了并集,交集的运算.

2.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为(



A.0 B.2 C.3 D.4 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;对应思想;数形结合法;不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,

化目标函数 z=2x+y 为 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A(2,0)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 4. 故选:D. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
第5页(共18页)

3.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|﹣2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的 图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的概念及其构成要素. 【专题】数形结合. 【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题.在解答时可以就选项逐一排查.对 A 不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可获得解答;对 B 满足函数定义,故可知结果; 对 C 出现了一对多的情况,从而可以否定;对 D 值域当中有的元素没有原象,故可否定. 【解答】解:对 A 不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除; 对 B 满足函数定义,故符合; 对 C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义, 从而可以否定; 对 D 因为值域当中有的元素没有原象,故可否定. 故选 B. 【点评】 此题考查的是函数的定义和函数的图象问题. 在解答的过程当中充分体现了函数概 念的理解、一对一、多对一、定义域当中的元素必须有象等知识,同时用排除的方法解答选 择题亦值得体会. 4.“a=2”是“直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】当 a=2 时,经检验,两直线平行,故充分性成立;当两直线平行时,由斜率相等 得到 a=±2,故必要性不成立. 【解答】解:当 a=2 时,直线 2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0,直线 ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣ 2=0,显然两直线平行,故充分性成立. 当直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行时,由斜率相等得 ,a =4,a=±2,
2

故由直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行,不能推出 a=2,故必要性不成立. 综上,“a=2”是“直线 2x+ay﹣1=0 与直线 ax+2y﹣2=0 平行”的充分不必要条件, 故选 B. 【点评】本题考查两直线平行的条件和性质,充分条件、必要条件的定义和判断方法. 5.如图的程序框图表示算法的运行结果是( )

第6页(共18页)

A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1 【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分析法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 i=4 时满足条件 i>3, 退出循环,输出 S 的值为 2. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=1 不满足条件 i>3,不满足条件 i 是偶数,S=1,i=2 不满足条件 i>3,满足条件 i 是偶数,S=﹣1,i=3 不满足条件 i>3,不满足条件 i 是偶数,S=2,i=4 满足条件 i>3,退出循环,输出 S 的值为 2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断循环的条件,依次写出每次循环得 到的 S,i 的值是解题的关键,属于基础题. 6. 若圆 C 的半径为 1, 其圆心与点 (1, 0) 关于直线 y=x 对称, 则圆 C 的标准方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣1) +y =1 B.x +(y+1) =1 C.x +(y﹣1) =1 D. (x+1) +y =1 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;规律型;函数思想;直线与圆. 【分析】求出圆的圆心与半径,写出结果即可. 【解答】解:圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,可得圆的圆心坐标 (0,1) , 2 2 圆的方程为:x +(y﹣1) =1. 故选:C, 【点评】本题考查圆的方程的求法,考查计算能力.

第7页(共18页)

7.已知 f(x)=x﹣1,若|f(x)|≥ax﹣1 在 x∈R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[0,1] B. (﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) C.[﹣1,1] D. (﹣∞,0]∪[1,+∞) 【考点】函数恒成立问题. 【专题】作图题;函数思想;运动思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意画出图形,结合图形求得动直线 y=ax﹣1 的斜率的范围得答案. 【解答】解:如图, 要使|f(x)|≥ax﹣1 在 x∈R 上恒成立, 则过定点(0,﹣1)的直线 y=ax﹣1 的斜率 a∈[﹣1,1]. 故选:C.



【点评】本题考查函数恒成立问题,考查了数形结合的解题思想方法,属中档题. 8.有一种走“方格迷宫”游戏,游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格,走过的方格不能 重复,只要有一个方格不同即为不同走法.现有如图的方格迷宫,图中的实线不能穿过,则 从入口走到出口共有多少种不同走法?( )

A.6 B.8 C.10 D.12 【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】方案型;数形结合;数形结合法;排列组合. 【分析】给能走的方格表上数字,一一列举即可得到答案. 【解答】解:如图,①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口, ②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口, ③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口, ④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口, ⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口, ⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口, ⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口, ⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口,
第8页(共18页)

共有 8 种, 故选:B.

【点评】本题考查了考查了排列组合的问题,一一列举也是常用的方法,属于中档题. 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 i(1﹣i)的实部为 1 . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;规律型;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的乘法化简复数,然后求解复数的实部即可. 【解答】解:复数 i(1﹣i)=1﹣i,复数的实部为:1. 故答案为:1. 【点评】本题考查复数的基本运算,基本概念的应用,是基础题.

10.已知向量 =(﹣3,4) , =(1,m) ,若 ?( ﹣ )=0,则 m= 7 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据向量的坐标公式,以及向量垂直的定义直接计算即可. 【解答】解:由题可知: ?( ﹣ )=(﹣3,4)?[(﹣3,4)﹣(1,m)] =(﹣3,4)?(﹣4,4﹣m) =12+16﹣4m=0, 即 m=7, 故答案为:7. 【点评】本题考查平面向量数量积的运算,注意解题方法的积累,属于基础题. 11.某工厂对一批产品进行了抽样检测,如图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克) 数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) , [98,100) ,[100,102) ,[102,104) ,[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数 是 48,则 a= 0.125 ;样本中净重在[98,104)的产品的个数是 120 .

第9页(共18页)

【考点】用样本的频率分布估计总体分布. 【专题】计算题. 【分析】 先由样本的频率分布直方图求出 a, 再根据样本中产品净重小于 100 克的个数是 48, 而这个区间的频率是 2×(0.05+0.1)=0.3,得到样本的容量,根据样本中净重在[98,104) 的产品的频率是 2×(0.10+0.15+0.125)=0.75,能求出样本中净重在[98,104)的产品的个 数. 【解答】解:由样本的频率分布直方图知: a= [1﹣2×(0.05+0.075+0.1+0.15)]=0.125. ∵样本中产品净重小于 100 克的产品的频率是 2×(0.05+0.1)=0.3, 样本中产品净重小于 100 克的个数是 48, ∴样本的容量是 n= =160,

∵样本中净重在[98,104)的产品的频率是 2×(0.10+0.15+0.125)=0.75, ∴样本中净重在[98,104)的产品的个数是 160×0.75=120. 故答案为:120. 【点评】本题考查频率分布直方图,本题解题的关键是做出这个样本容量,用样本容量乘以 符合条件的概率,本题是一个基础题. 12. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. a=15, b=10, A=60°, 则 sinB= 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;对应思想;分析法;解三角形. 【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解. 【解答】解:∵a=15,b=10,A=60°, ∴sinB= 故答案为: = . = .



【点评】本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题. 13.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱 SB 的长 为 4 .

第10页(共18页)

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 底面△ ABC 为等腰三角形, SC=4, △ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 ,进而根据勾股定理得到答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 且底面△ ABC 为等腰三角形, 在△ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 , 故 BC=4, 在 Rt△ SBC 中,由 SC=4, 可得 SB=4 , 故答案为:4 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中根据已知中的视图分析出几何体 的形状及棱长是解答的关键. 14.股票交易的开盘价是这样确定的:每天开盘前,由投资者填报某种股票的意向买价或意 向卖价以及相应的意向股数, 然后由计算机根据这些数据确定适当的价格, 使得在该价位上 能够成交的股数最多. (注:当卖方意向价不高于开盘价,同时买方意向价不低于开盘价, 能够成交)根据以下数据,这种股票的开盘价为 2.2 元,能够成交的股数为 600 . 2.2 2.3 2.4 卖家意向价(元) 2.1 200 400 500 100 意向股数 2.2 2.3 2.4 买家意向价(元) 2.1 600 300 300 100 意向股数 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】计算题;探究型;分类讨论;综合法;函数的性质及应用. 【分析】分别计算出开盘价为 2.1、2.2、2.3、2.4 元买家意向股数及卖家意向股数,进而比 较即得结论. 【解答】解:依题意,当开盘价为 2.1 元时,买家意向股数为 600+300+300+100=1300, 卖家意向股数为 200,此时能够成交的股数为 200; 当开盘价为 2.2 元时,买家意向股数为 300+300+100=700, 卖家意向股数为 200+400=600,此时能够成交的股数为 600; 当开盘价为 2.3 元时,买家意向股数为 300+100=400, 卖家意向股数为 200+400+500=1100,此时能够成交的股数为 400; 当开盘价为 2.4 元时,买家意向股数为 100, 卖家意向股数为 200+400+500+100=1200,此时能够成交的股数为 100; 故答案为:2.2,600.
第11页(共18页)

【点评】本题考查函数模型的选择与应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法 的积累,属于中档题. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)记 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【考点】等比数列的性质;等差数列的通项公式;数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】 (I)设公差为 d,由题意可得 得数列{an}的通项. (II)化简 ,故数列{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,由等比数列 ,求出 d 的值,即

的前 n 项和公式求得结果 【解答】解: (I)设公差为 d,由题意可得 即 d ﹣d=0,解得 d=1 或 d=0(舍去) 所以 an=1+(n﹣1)=n. (II)∵ ,故 数列{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.
2



∴数列{bn}的前 n 项和



【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,等差数列的通项公式,等比数列的前 n 项和 公式,属于中档题. x,x∈R.

16.已知函数 f(x)=2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在 上的最大值与最小值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ)先化简函数可得 f(x)= 周期与单调增区间; (Ⅱ)由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数 f(x)在 值. 【解答】解: =
第12页(共18页)

,即可求函数 f(x)的最小正

上的最大值与最小

=



(Ⅰ)f(x)的最小正周期为 令 所以函数 f(x)的单调增区间为 (Ⅱ)因为 于是 ,所以

. ,解得 . ,所以 ,所以 0≤f(x)≤1. , ,

当且仅当 x=0 时,f(x)取最小值 f(x)min=f(0)=0. 当且仅当 ,即 时最大值 .

【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,属于基 础题. 17.编号为 A1,A2,…,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 15 35 21 28 25 36 18 34 得分 运动员编号 A9 17 得分 A10 26 A11 25 A12 33 A13 22 A14 12 A15 31 [30,40] A16 38

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 区间 [10,20) [20,30) 人数

(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 分的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (I)根据已知中编号为 A1,A2,…,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的 得分记录表,我们易得出得分在对应区间内的人数. (II) (i)根据(I)的结论,我们易列出在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,所 有可能的抽取结果; (ii)列出这 2 人得分之和大于 50 分的基本事件的个数,代入古典概型公式即可得到这 2 人得分之和大于 50 分的概率. 【解答】解: (I)由已知中编号为 A1,A2,…,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中 的得分记录表易得: 得分在区间[10,20)上的共 4 人,在区间[20,30)上的共 6 人,在区间[30,40]上的共 6 人, 故答案为 4,6,6 (II) (i)得分在区间[20,30)上的共 6 人,编号为 A3,A4,A5,A10,A11,A13, 从中随机抽取 2 人,计为(X,Y) ,则所有可能的抽取结果有: (A3,A4) , (A3,A5) , (A3,A10) , (A3,A11) , (A3,A13) , (A4,A5) , (A4,A10) , (A4,A11) , (A4,A13) , (A5,A10) ,
第13页(共18页)

(A5,A11) , (A5,A13) , (A10,A11) , (A10,A13) , (A11,A13)共 15 种. (ii)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人的得分之和大于 50 分的 基本事件有: (A4,A5) , (A4,A10) , (A4,A11) , (A5,A10) , (A10,A11)共 5 种 故这 2 人得分之和大于 50 分的概率 P= =

【点评】 本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、 古典概型及其概率计算公 式等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 18.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AC=BC=2,AA1=4, M,N 分别是棱 CC1,AB 中点. (Ⅰ)求证:CN⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求证:CN∥平面 AMB1; (Ⅲ)求三棱锥 B1﹣AMN 的体积. ,

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;综合题. 【分析】 (Ⅰ)由题可得 AA1⊥CN 且 CN⊥AB 又因为 AA1∩AB=A 所以 CN⊥平面 ABB1A1. (Ⅱ)由题意得 CM∥NG,CM=NG 所以四边形 CNGM 是平行四边形,所以 CN∥MG.又因为 CN?平面 AMB1,GM?平面 AMB1,所以 CN∥平面 AMB1. (Ⅲ) 所以先求△ AB1N 的面积,由(Ⅱ)知 GM⊥平面 AB1N,三棱

锥的高是 GM,所以根据三棱锥的体积公式可得体积为 . 【解答】解: (Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC 又因为 CN?平面 ABC,所以 AA1⊥CN. 因为 AC=BC=2,N 是 AB 中点, 所以 CN⊥AB. 因为 AA1∩AB=A, 所以 CN⊥平面 ABB1A1. (Ⅱ)证明:取 AB1 的中点 G,连接 MG,NG, 因为 N,G 分别是棱 AB,AB1 中点, 所以 NG∥BB1, 又因为 CM∥BB1, . ,
第14页(共18页)

所以 CM∥NG,CM=NG. 所以四边形 CNGM 是平行四边形. 所以 CN∥MG. 因为 CN?平面 AMB1,GM?平面 AMB1, 所以 CN∥平面 AMB1. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 GM⊥平面 AB1N. 所以 故答案为: . .

【点评】 证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可, 证明线面平 行关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行; 求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观 察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点.

19.已知椭圆 C:

,其中

(e 为椭圆离心率) ,焦距为 2,过点

M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐标为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (I)运用离心率公式和椭圆的 a,b,c 的关系,解得 a,b,即可得到椭圆方程; (II)设出直线 l 的方程,联立椭圆方程,消去 y,运用判别式大于 0,以及韦达定理和中点 坐标公式,求出直线的斜率,即可得到所直线方程. 【解答】解: (I)由条件椭圆 C: 焦距为 2,可得 c=1,a=2, 2 2 2 故 b =a ﹣c =3, 椭圆的标准方程是 . ,其中 (e 为椭圆离心率) ,

第15页(共18页)

(II)由过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,点 B 在 AM 之间. ,可知 A,B, M 三点共线, 设点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . 若直线 AB⊥x 轴,则 x1=x2=4,不合题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) .
2 2 2 2



消去 y 得, (3+4k )x ﹣32k x+64k ﹣12=0.①
2 4 2 2 2

由①的判别式△ =32 k ﹣4(4k +3) (64k ﹣12)=144(1﹣4k )>0, 解得 k < ,
2

x1+x2=



由又点 A,B 的中点横坐标为 .可得
2

解得 k = ,即有 k=± y= (x﹣4) .



直线 l 的方程:y=

(x﹣4) .

【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查运算能力,属于中档题.
3 2

20.已知函数 f(x)= x ﹣

x ,g(x)= ﹣mx,m 是实数.

(Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h(x)=f(x)﹣g(x)有三个零点,求 m 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)先求出函数的导数,由 f′(1)=0,解出即可; (Ⅱ)由 f′(x)=x ﹣(m+1)x,得 f′(x)=x(x﹣m﹣1)≥0 在区间(2,+∞)恒成立, 即 m≤x﹣1 恒成立,由 x>2,得 m≤1, (Ⅲ)先求出 h′(x)=(x﹣1) (x﹣m)=0,分别得 m=1 时,m<1 时的情况,进而求出 m 的范围. 2 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=x ﹣(m+1)x, 由 f(x)在 x=1 处取到极大值,得 f′(1)=1﹣(m+1)=0, ∴m=0, (符合题意) ; 2 (Ⅱ)f′(x)=x ﹣(m+1)x, ∵f(x)在区间(2,+∞)为增函数,
第16页(共18页)
2

∴f′x)=x(x﹣m﹣1)≥0 在区间(2,+∞)恒成立, ∴x﹣m﹣1≥0 恒成立,即 m≤x﹣1 恒成立, 由 x>2,得 m≤1, ∴m 的范围是(﹣∞,1]. (Ⅲ)h(x)=f(x)﹣g(x)= x ﹣
2 3

x +mx﹣ ,

2

∴h′(x)=(x﹣1) (x﹣m)=0,解得:x=m,x=1, m=1 时,h′(x)=(x﹣1) ≥0,h(x)在 R 上是增函数,不合题意, m<1 时,令 h′x)>0,解得:x<m,x>1,令 h′(x)<0,解得:m<x<1, ∴h(x)在(﹣∞,m) , (1,+∞)递增,在(m,1)递减, ∴h(x)极大值=h(m)=﹣ m + m ﹣ ,h(x)极小值=h(1)= 要使 f(x)﹣g(x)有 3 个零点,
3 2





,解得:m<1﹣



∴m 的范围是(﹣∞,1﹣ ) . 【点评】本题考查了函数的单调性,函数的极值问题,考查导数的应用,参数的范围,是一 道综合题.

第17页(共18页)

2016 年 2 月 4 日

第18页(共18页)


相关文章:
北京市石景山区2016届高三语文期末试卷及答案
2016石景山区高三语文期末试卷答案一、本大题共 8 小题,共 26 分。...第五段说到“中国人的饭桌上,流淌着大自然赋予的无穷诗意” ,请 结合文段...
2016石景山高三期末文科数学
2016石景山高三期末文科数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试 高三数学(文)试卷第一部分(选择题共 40 分)一...
2016石景山高三(上)期末(文 试题+答案)
(共18页) 2015-2016 学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷 (文科)参考答案试题解析 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四...
2016年北京石景山高三上学期期末英语试题及答案
2016年北京石景山高三上学期期末英语试题答案_高三英语_英语_高中教育_教育专区。石景山区2015 — 2016学年度第一学期高三期末测试卷,英语 2016.1 ...
2015-2016石景山区高三第一学期期末试题及答案
石景山区 2015—2016 学年第一学期高三期末试卷 生物 一、选择题: (每题只有一个选项符合要求。共 20 题,每题 1 分,共 20 分) 1.下列物质的组成中不含 ...
北京市石景山区2016届高三上学期期末考试数学理试题与...
北京市石景山区2016高三上学期期末考试数学理试题与的答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市石景山区2016高三上学期期末考试数学理试题与的答案 ...
2015-2016年北京石景山高三上学期期末数学(理科)试题及...
2015-2016 年北京石景山高三上学期期末理科数学试题答案 石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理),2016.1 第一部分(选择题共 40 分) 一...
北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学理...
北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学理科试题及参考答案_数学_高中教育_教育专区。北京市石景山区2015-2016学年高三上学期期末考试数学理科试题及参考...
石景山区2015-2016高三上期末语文试卷
石景山区2015-2016高三上期末语文试卷_高三语文_语文_高中教育_教育专区。石景山...(4 分)高三语文试卷 第 5 页 (共 10 页) 14.根据文意填空: (5 分) ...
2016石景山第一学期高三期末化学试题及答案
石景山区 2015—2016 学年第一学期高三期末试卷 化学考生 须知 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 100 分。考试时间 100 分钟。 2.请将答案填在答题纸...
更多相关标签:
2016石景山期末语文 | 2016石景山期末数学 | 2016石景山期末英语 | 2016高三生物模拟试题 | 诸暨2016高三期末考试 | 2016高三物理模拟试题 | 2016海淀高三期末语文 | 2016高三地理模拟试题 |