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函数及其表示知识点大全、经典例题及解析、今年高考题带答案


函数及其表示
【考纲说明】
1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 2、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。 3、了解简单的分段函数,并能简单应用。 4、本部分内容在高考中约占 10 分。

【趣味链接】
教室里有 40 个人(看成集合 A) ,刚好有

40 张椅子(看成集合 B) 。如果你们很听话,每人坐一张椅子,就是 一对一映射。但是如果你喜欢那个女生,你跑去和她共用一张椅子,也就是两个人都对应着同一张椅子,这就是多 对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子,这样很霸道。也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系,但是一个人 不能坐多张椅子。也就是集合 A 中的很多元素都可以对应着集合 B 中的同一个元素,但是集合 A 中的一个元素不 能同时对应着集合 B 中的多个元素。 于是,总的一句话,映射就是集合 A 中的任意一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素与之对应。这句话有两 个词很重要,一个是任意,另一个是唯一。 而函数呢,只要映射当中的集合 A 和集合 B 里面的元素都是数就叫做函数了。

【知识梳理】
一、函数的概念 1、设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都有唯一确定的元素 与之对应,那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为 f : A ? B ,f 表示对应法则。 给定一个集合 A 到集合 B 的映射, a ? A, b ? B 。 且 如果元素 a 和元素 b 对应, 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的 象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 注意: (1)A 中元素必须都有象且唯一; (2)B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 2、函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意一个 x ,在集合 B 中都有唯一确 定的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常记为 y = f ( x) 。 3、函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做 y ? f (x) 的定义域;与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合 f ( x ) x ? A 称为函数 y ? f (x) 的值域。显然,值域是集合 B 的子集。

?

?

1

4、函数的三要素:定义域、值域和对应关系。 5、区间的概念及表示法 设 a , b 是两个实数,且 a ? b , 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 (a, b) ; 满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [a, b) , (a, b] ; 满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) 。 注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 (a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b 。 6、求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①是整式时,定义域是全体实数。 ②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数。 ③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。 ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1。 ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 。

⑥零(负)指数幂的底数不能为零。 ⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。 ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。 ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。 ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义。 二、函数的表示方法 函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 1、图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; 2、列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; 3、解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 三、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分 组成,但它表示的是一个函数。 四、求函数解析式常用的方法 1、待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例 函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所 求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 2、 换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一 个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要 注明所求函数的定义域。

2

3、配凑法 已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,要求 f ( x) 的解析式时,若 f [ g ( x)] 表达式右边易配成 g ( x) 的运算形式,则 可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域的变化。 4、消元法,此方法的实质是解函数方程组 消元法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数 f ( x) 混合运算,则要充分利用变量代换,然后 联立方程组消去其余部分。 5、赋值法 赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律的方法。 其方法:将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,依据结构特点,从而找出一般规律,求出解析式。

【经典例题】
【例 1】 (2009 山东理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. 0 C.1 D. 2

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0



【解析】由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1, f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1, f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选答案 C. 【例 2】 (2009 山东文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. -2 C.1

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f(3)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2



【解析】由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log 2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log 2 5 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log 2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log 2 5 ? (2 ? log 2 5) ? ?2 ,故选 B.
【例 3】 (2009 江西理)函数 y ? A. (?4, ? 1) B. (?4,1)

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为(



C. (?1,1)

D. (?1,1]

【解析】由 ?

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1 .故选 C. ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1

【例 4】 (2009 四川)已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

3

5 ) xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 ( 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 1? x 1 【解析】若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ? f ( x) ,取 x ? ? ,则有: x 2 1 1? 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) (∵ f (x) 是偶函数,则 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 ? 2 1 1 1 f (? ) ? f ( ) )由此得 f ( ) ? 0 于是 2 2 2 3 1 1? 1? 5 3 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) ? 5 f ( 1 ? 1) ? 5 [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2
故选答案 A. 【例 5】 (2010 福建)下列函数中,与函数 y ? A. f ( x) ? ln x 【解析】由 y ? B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是 ( x
D. f ( x) ? e

)

1 x

C. f ( x) ?| x |

x

1 1 可得定义域是 x ? 0. f ( x) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x) ? 的定义域是 x ≠0; f ( x) ?| x | 的定 x x
x

义域是 x ? R; f ( x) ? e 定义域是 x ? R 。故选答案 A。 【例 6】 (2010 浙江理)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 , 有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是( A.若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 )

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2 C.若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2
B.若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则 D.若 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 【解析】对于 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有 ?? ? 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设 f ( x) ? M ? 1 , g ( x) ? M ? 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?k, ? ? ,令 x2 ? x1 x2 ? x1 , 即 有 ??1 ? k f ? ?1 , ?? 2 ? k g ? ? 2 , 因 此 有
.故选答案 C.

??1 ? ? 2 ? k f ? k g ? ?1 ? ? 2 ,因此有 f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2

【例 7】 (2011 福建)定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示,则在 ? ?2, 0 ? 上,下列函数中与 f ? x ? 的 单调性不同的是( )

4

A. y ? x ? 1
2

B. y ?| x | ?1

? 2 x ? 1, x ? 0 C. y ? ? 3 ? x ? 1, x ? 0

?e x , x ? o ? D. y ? ? ?x ?e , x ? 0 ?

【解析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在 ? ?2, 0 ? 上单调递减,注意到要与 f ? x ? 的
2 单调性不同, 故所求的函数在 ? ?2, 0 ? 上应单调递增。 而函数 y ? x ? 1 在 ? ?? ,1? 上递减; 函数 y ? x ? 1 在 ? ??, 0 ?

时单调递减;函数

?2 x ? 1, x ? 0 y?? 3 在( ? ?,0] 上单调递减,理由如下 y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增, 显然 x ? 1, x ? 0 ?

?e x , x ? 0 ? ?x 符合题意;而函数 y ? ? ,有 y’=- e <0(x<0),故其在( ? ?,0] 上单调递减, 不符合题意,综上选答案 C。 ?x ?e , x ? 0 ?
【例 8】 (2009 北京)已知函数 f ( x ) ? ?

?3 x , ? ? x,

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

【解析】由 ?

?x ? 1
x

?x ? 1 ? x ? log 3 2 , ? 无解,故应填 log 3 2 . ? ? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2

?1 ?x, x ? 0 ? 【例 9】 (2008 北京)若函数 f ( x ) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? 3 ?

则不等式 | f ( x ) |?

1 的解集为____________. 3

?x ? 0 1 ? 【解析】 (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3

?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ? ? 3 ?? 3 ? 3 ?3? ? ? ? 1 ∴不等式 | f ( x ) |? 的解集为 ? x | ?3 ? x ? 1? ,∴应填 ? ?3,1? 3 3 2 2 2 2 【例 10】 (2008 浙江)已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5 x ? 2 , g ( x) ? k x ? kx ? 1 ,其中 k ? R .
(I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 k 的取值范围; (II)设函数 q ( x ) ? ?

? g ( x), x ? 0, ? f ( x), x ? 0.

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,

使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.
2 3 2 【解析】 (I)因 P( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? (k ? 1) x ? (k ? 5) ? 1 , p? ? x ? ? 3x ? 2(k ? 1) x ? (k ? 5) ,因 p ( x) 在

5

2 区间 (0,3) 上不单调, 所以 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3 ? 上有实数解, 且无重根, p? ? x ? ? 0 得 k (2 x ? 1) ? ?(3x ? 2 x ? 5), 由

?k ? ?

(3x 2 ? 2 x ? 5) 3? 9 10 ? 9 令 记 () t ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? ? , t ? 2 x ?, 有 t ? ?1, 7 ? , ht ? ? , 则 h ? t ? 在 ?1, 3? 上 1 2x ?1 4? 2x ?1 3 ? t

单调递减,在 ? 3, 7 ? 上单调递增,所以有 h ? t ? ? ? 6,10 ? , 于是 ? 2 x ? 1? ?

9 ? ?6,10 ? ,得 k ? ? ?5, ?2? ,而当 2x ?1

k ? ?2 时有 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3 ? 上有两个相等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ?5, ?2 ? ;
(II)当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ? k ? 1) x ? 5 ;
2 2

当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? g ? ? x ? ? 2k x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,
2

下面讨论 k ? 0 的情形,记 A ? (k , ??) ,B= ? 5, ?? ? (ⅰ)当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以要使

q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此有 k ? 5 , (ⅱ)当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减,所
以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此 k ? 5 ,综合(ⅰ) (ⅱ) k ? 5 ; 当 k ? 5 时 A=B,则 ?x1 ? 0, q? ? x1 ? ? B ? A ,即 ?x2 ? 0, 使得 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,因为 q? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调 递增,所以 x2 的值是唯一的; 同理, ?x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,所以 k ? 5 满足题意.

【课堂练习】
1、 (2009 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) )
2



2、 (2009 全国Ⅱ)函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 ( A. y ? x (x ? 0)
2

B. y ? ? x (x ? 0)
2

C. y ? x (x ? 0)

D. y ? ? x (x ? 0)
2

3、 (2009 江西)函数 y ? A. [?4, 1]

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为( ) x B. [ ?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) ? (0, 1]
2

4、 (2008 全国Ⅱ)设 a ? lg e, b ? (lg e) , c ? lg e, 则 ( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b



D. c ? b ? a

6

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 5、 (2009 天津)设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??)
2



D. (??,?3) ? (1,3) )

6、 (2010 天津)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f’(x),且 2f(x)+xf’(x)>x ,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是( A. f ( x) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? x D. f ( x) ? x

7、 (2009 湖南)设函数 y ? f ( x) 在( ?? ,+ ? )内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K ?1 f k ( x) ? ? 取函数 f ( x) = 2 ? x ? e 。若对任意的 x ? (??, ??) ,恒有 f k ( x) = f ( x) ,则( ? K , f ( x) ? K
A. K 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 C. K 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 )



2.(2009 天津理)已知函数 f ( x ) ? ? A. (??, ?1) ? (2, ??)

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0
C. (?2,1)

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围(
2

B. (?1, 2)

D. (??, ?2) ? (1, ??)

?1 ? x 2, x ≤ 1, ? 1 ? ? 9、 (2008 年山东)设函数 f ( x ) ? ? 2 则f? ? 的值为( ? x ? x ? 2,x ? 1, ? f (2) ? ?
A.



15 16

B. ?

27 16

C.

8 9

D. 18

10、 (2007 福建)已知函数 f ? x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是( ?x? ? ? A. ?? 1,1? B. ?0,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1? ) D. ?? ?,?1? ? ?1,?? ?

?1?



11、 (2007 安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为 (

3 | x ?1| 2 3 C. y ? ? | x ? 1 | 2
A. y ?

(0≤x≤2) (0≤x≤2)

B. y ?

3 3 ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2
(0≤x≤2) .

D. y ? 1? | x ? 1 |

12、 (2007 上海)函数 y ?

lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3

13、 (2006 安徽)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, f ? f ? 5 ? ? ? ________. f ? x?

14、 (2006 上海)已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,

f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ?

.

7

? x2 , x ? 0 15、 (2008 安徽)已知函数 f ? x ? ? ? ,则不等式 f ? x ? ? 4 的解集为 ? x ? 1, x ? 0

.

? x ? 2 ( x ? ?1) 1 ? 3 16、 (2009 北京)函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,则 f (? ) ? ________,若 f (a) ? ,则实数 a 的取值范围 2 2 ?2 x ( x ? 2) ?
是 . 17、 (2009 江苏)已知集合 A ? x log2 x ? 2 , B ? (?? ,a ),若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c , ?? ) ,其中

?

?

c=

.

18、 (2009 广东) 已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g (x) 在 x =-1 处取得最小值 m -1(m ? 0 ).设函数 f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值. (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 19、 (2008 江苏)设 a 为实数,函数 (1)若

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....
20、 2008 上海) ( 已知函数 y ? f ( x) 的反函数。 定义: 若对给定的实数 a(a ? 0) , 函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质”;若函数 y ? f (ax) 与 y ? f “ a 积性质”. (1)判断函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质”,并说明理由;
2 ?1 ?1

( x ? a)

(ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足

(2)求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3)设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质”。求 y ? f ( x) 的表达式.

【课后作业】
) 1、若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? (
x



A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D.2

x ?2

8

2、函数 y ? 2

x ?1

( x ? R) 的反函数是(

) B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

A. y ? 1 ? log 2 x( x ? 0) C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0)

3、设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? 2 A. (??, 0)
?x

? f ( x ), f (x ) ? K , ? K , f ( x) ? K .

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为( 2
C. (??, ?1) D. (1, ?? )



B. (0, ??)

4、下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是( A. f ( x) =



1 x

B. f ( x) = ( x ? 1)

2

C. f ( x) = e

x

D.. f ( x) ? ln( x ? 1) )

5、已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3) =(
x

1 2

A.

1 24

B..

1 12

C..

1 8

D.

3 8


1 6、已知函数 f ( x) 的反函数为 g ( x)= +2lgx ? x>0 ? ,则 f (1) ? g(1) ? (
A.0 B.1 C.2 D.4

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 在点x ? 2处 连续,则常数 a 的值是( 7、已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 (当x ? 2时) ? ? x?2
A.2 B.3 C.4 D.5



x 8、若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是(



A. f ? x ? ? 4 x ? 1 C. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ( x ? 1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?
) D. (?4, ?2) ? (2, 4)

9、设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x
B. (?4, ?1) ? (1, 4)

A. (?4, 0) ? (0, 4) 10、函数 y ? A. y ?

C. (?2, ?1) ? (1, 2) )
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是( 1 ? 2x 2

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ) 1 ? 2x 2

B.. y ?

9

C. y ?

1? x ( x ? R, 且x ? 1) 2(1 ? x)

D. y ?

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) 2(1 ? x)

11、函数 f ( x) ? A. f ?1 ( x) ?

2 x ? 4( x ? 4) 的反函数为(



1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 C. f ?1 ( x) ? x 2 ? 2( x ? 0) 2

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 D. f ?1 ( x) ? x 2 ? 2( x ? 2) 2
B. f ?1 ( x) ?


12、定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在区间 ? ?1, 0? 上为递增,则( A. f (3) ? f ( 2) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2) 13、已知 a ? B. f (2) ? f (3) ? f ( 2) D. f ( 2) ? f (2) ? f (3)



5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小关系为 2

.

14、函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为

.

15、已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间

?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________ .
16、已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 ,则实数 a ? 17、若对于任意 a ? [-1,1], 函数 f(x) = x + (a-4)x + 4-2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范围是
2

. .

18、设函数 f ?x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,(其中 e ? 2.718 ?)不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数.
2

?1 ?e

? ?

19、两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对

城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到 城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的 影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方 成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (1)将 y 表示成 x 的函数;
10

的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧

上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影 C x B

响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由. 1、某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km, CB=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) , A 且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP, 设排污管道的总长为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式.

(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.

【参考答案】
【课堂练习】 1、D 2、B 3、D 4、B 5、A 6、A 7、D 8、A 9、A 10、C 11、B 12、

?x x ? 4 且 x ? 3 ?
1

13、 - 5 14、 ? x ? x 4 15、 (??,2) ? (3,??)
(?? 16、 2 ; ,? 2 ) ? (? 2 ,2 ) 1 3 2 2

17、4

a 18、 设 g ?x ? ?x (1)

2

b c? ? x

2 x , g ? ?x ? ? a b? ; g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 则 又

? 2a ? 2

a ?1

又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值, ?

b ? ?1 , b ? 2 ? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1 ? 2 ? c ? m ? 1 , c ? m ; 2
设 P xo , yo
2

f ? x? ?

g ? x? x

? x?

m ?2, x
2 0

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2 2 0

2

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

? 2 2m 2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ? 2 ? 0 ,得 x

?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0

? *?

11

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1
k ? 1? 1 1 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 19、 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ? a | a |? 1 ? ?
2 2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1
2 ? f (a ), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x ) min
2 2

2 ? ? f ( ? a ), a ? 0 ? ?2a , a ? 0 ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ?

综上 f ( x ) min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,

? ? 4a 2 ? 12(a 2 ? 1) ? 12 ? 8a 2
当a ? ? 当?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 )( x ? )?0 ?a? 时,△>0,得: ?( x ? ? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? ( 当 a ? (?

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ??) . , ] 时,解集为 [ 当 a ? [? 3 2 2
20、 (1)函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ( x) ?
2
?1

x ? 1( x ? 1) ? g ?1 ( x ? 1) ? x ( x ? 0)
故函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”
2

而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? ?1), 其反函数为 y ?
2

x ? 1 ? 1( x ? 1)
?1

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质”, k ? 0. ? f

( x) ?

x ?b x ? 2?b ( x ? R),? f ?1 ( x ? 2) ? k k

12

而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R), 得反函数 y ?

x ? b ? 2k x ? 2 ? b x ? b ? 2k 由“2 和性质”定义可知 = 对 x?R恒 k k k

成立? k ? ?1, b ? R, 即所求一次函数为 f ( x) ? ? x ? b(b ? R)
?1 (3)设 a ? 0 , x0 ? 0 ,且点 ( x0 , y0 ) 在 y ? f (ax) 图像上,则 ( y0 , x0 ) 在函数 y ? f (ax) 图象上,



f (ax0 ) ? y0 ,可得 ay0 ? f ( x0 ) ? af (ax0 ) ,
f ?1 (ay0 ) ? x0

令 ax0 ? x ,则 a ? 综上所述, 1 ? b1q 而f
?1

x f ( x0 ) x x f ( x ) ,即 f ( x) ? 0 。? f ( x0 ) ? 。 x0 x0 x
? bn f ( x) ?

n ?1

k k k ,其反函数就是 y ? , (k ? 0) ,此时 f (ax) ? ax x ax

(ax) ?

k ?1 ,故 y ? f (ax) 与 y ? f (ax) 互为反函数 。 ax

【课后作业】 1、A 2、C 3、C 4、A 5、A 6、C 7、B 8、A 9、B 10、D 11、D 12、A 13、m<n 14、x>3 15、-8 16、 ?1 17、( ? ?,1) ? (3, ?)

18、 (1)函数的定义域为 ?? 1,?? ?, f ?? x ? ? 2?? x ? 1? ?

? ?

1 ? 2 x? x ? 2 ? . ? x ? 1? x ?1 ?

由 f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ;

由 f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 则增区间为 ?0,?? ? ,减区间为 ?? 1,0? . (2)令 f ?? x ? ?

2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 ,由(1)知 f ? x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上递增, x ?1 ?e ?

由 f?

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ? x ? 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x ? ? m 恒成立. ?e ?
(3) 方 程 f ?x ? ? x ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ? a . 记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? , 则 g ?? x ? ? 1 ?
2

2 x ?1 .由 ? 1? x x ?1

g ??x ? ? 0 得 x ? 1 ;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 .所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,
g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解,当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解;当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时,方程无解.综上所述,a ? (1,??) ? (??,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解; a ? (3 ? 2 ln 3,1] 或 a=2-2ln2 时,方程有唯 一解; a ? (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

13

19、 (1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 其中当 x ? 10 2 时,y=0.065, 2 x 400 ? x 2

所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

8 9 ? (?2 x) 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 4 9 4 2 2 ( 2) y ? 2 ? , y' ? ? 3 ? , 令 y ' ? 0 得 18 x ? 8(400 ? x ) , 所以 ? 2 2 3 2 2 2 x (400 ? x ) x (400 ? x ) x 400 ? x
x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当
4 6 ? x ? 20 时, 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城 A 的
距离为 4 10 时, 函数 y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2
AQ 10 , 故 ? cos ? cos ?

20、 (Ⅰ)①设 AB 中点为 Q,由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

OB ?
为y?

10 10 10 ,又 OP= 10 ?10 tan ? ,所以 y ? OA ? OB ? OP ? ? ? 10 ? 10 tan ? , 所求函数关系式 cos ? cos ? cos ?

?? 20 ? 10sin ? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? 4? cos ? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA=OB=

?10 ? x ?

2

? 102 ? x2 ? 20 x ? 200 所求函数关系式为

y ? x ? 2 x2 ? 20 x ? 200 0 ? x ? 10 ? ?
(Ⅱ) 选择函数模型①, ? ? y 当 ? ? ? 0,
?10 cos ? cos ? ? (20 ?10 sin? ) 10(2 sin? ?1) 令 y? ? 0 得 sin ? ? cos 2 ? cos 2 ?

?

? 1 ? , 因为 0 ? ? ? , 所以 ? = . 6 2 4 ? 时, 6

? ?

??

? 时, 6?

y? ? 0 ,

?? ? ? y 是 ? 的 减 函数 ;当 ? ? ? , ? 时 , ?6 4?

y? ? 0 , y 是 ? 的 增函 数.所 以当 ? =

y iin ? (10 ? 10 3 ) (km)。这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

10 3 km 处. 3

14


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