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高中数学 3.1.2方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1


3.1.2 用二分法求方程的近似解

【课标要求】 1.能用二分法求出方程的近似解.

2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法,体会“逐
步逼近”的思想. 【核心扫描】 1.利用二分法求方程的近似解.(重点) 2.判断函数零点所在的区间及方程根的个数.(难点)

3.精确度ε与近似值.(易混点)

>
新知导学 1.二分法定义的理解及应用 对于在区间[a,b]上 连续不断 且 f(a)·f(b)<0 的函数y=

f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点 逐步逼近零点 ,进而得到零点近似值 的方法叫做二分法. 温馨提示:二分法就是通过不断地将所选区间一分为二, 逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根

据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真
正的零点.

2.二分法的步骤
值的步骤如下:

给定精确度ε,用二分法求f(x)零点近似

(1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c) ①若f(c)=0,则 c就是零点 ;

②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));

③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:即若 |a-b|<ε ,则得到零点 近似值a(或b),否则重复(2)~(4).

互动探究 探究点1 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,采用什么 方法能进一步有效缩小零点所在的区间? 提示 提示 可采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区间. 不能.看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是

探究点2 能用二分法求图象连续的任何函数的近似零点吗?
否具备应用二分法的条件,即函数图象在零点附近是连续不

断的,且在该零点左右函数值异号.
探究点3 用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束? 提示 看清题目的精确度,当零点所在区间的两个端点值之

差的绝对值小于精确度ε时,则二分法步骤结束.

类型一

二分法概念的理解及应用

【例1】 用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出

的零点是
( ).

A.x1

B.x2

C.x3

D.x4

[思路探索]

逐一分析每个零点附近左、右两侧函数值的符

号,看是否存在区间[a,b]满足f(a)· f(b)<0.
解析 由二分法的思想可知,零点x1 ,x2 ,x4 左右两侧的函

数值符号相反,即存在区间[a,b],使得f(a)·f(b)<0,故x1 , x2,x4可以用二分法求解,但x3∈[a,b]时均有f(a)·f(b)≥0, 故不可以用二分法求该零点.

答案

C

[规律方法]

(1)判断一个函数能否用二分法求其零点的依据

是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零
点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. (2)二分法是通过不断地将选择的区间一分为二,逐步逼近零 点,直到满足精确度的要求.

【活学活用1】 如图所示,下列函数的图象与x轴均有交点, 但不能用二分法求交点横坐标的是 ( ).

解析

按二分法定义,f(x)在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)

<0,才能不断地把函数零点所在的区间一分为二,进而利 用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B,C,D 满足条件,而选项A不满足.在A中,图象经过零点x0 时, 函数值不变号,因此不能用二分法求解. 答案 A

类型二

用二分法求函数零点的近似值

【例2】 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一
个零点(精确度0.01). [思路探索] 本题已给出函数表达式和规定的区间,可根据

二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间,直到达到所要 求的精确度停止计算,确定出零点的近似值.


点x0.

经计算f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在[1,1.5]内存在零

取(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0.因为f(1.5)·f(1.25) <0,所以x0∈(1.25,1.5).

如此继续下去,如下表: 区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 -0.30 0.22 -0.05 0.08

(1.312 5,1.343 75)
(1.312 5,1.328 125)

1.328 125
1.320 312 5

0.01
-0.02

因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似零点可取为 1.328 125.

[规律方法]

(1)用二分法求函数零点的近似值的两个关键

点.①初始区间的选取,既符合条件(包含零点),又要使其 长度尽量小(关键词:选初始区间).②进行精确度的判断, 以决定是停止计算还是继续计算(关键词:判断精确度). (2)准确计算区间中点的函数值,进而判断零点所在的区间是 利用二分法求函数零点近似值的关键.对于求形如f(x)=g(x) 的方程的近似解,可转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)零点的近

似值.

【活学活用2】 求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1).
解 设f(x)=x2-2x-1. ∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0, ∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有根,记为x0. 取2与3的平均数2.5, ∵f(2.5)=0.25>0,∴2<x0<2.5. 再取2与2.5的平均数2.25,∵f(2.25)=-0.437 5<0, ∴2.25<x0<2.5;如此继续下去,有 f(2.375)<0,f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5); f(2.375)<0,f(2.437 5)>0?x0∈(2.375,2.437 5). ∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1,

∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.

类型三

二分法的实际应用

【例3】 从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话 线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出 故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每 查一个点,就要爬一次电线杆子.10 km长,大约有200多根 电线杆子呢!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.算一算,要把

故障可能发生的范围缩小到50 m~100 m之间,要查多少次?

[思路探索] →

取中点C

→ →

检查AC、BC两段 检查CD、DB两段

取有问题的BC段的中点D

→…→ 故障点在50 m~100 m间
解 (1)如图所示,他首先从中点C检查,用随身带的话机向

两端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在BC段;再到 BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在CD段; 再到CD段中点E查??

(2)设需要排查n次,因为每查一次,就可以把待查的线路长度 10 000 缩减一半,所以50< n <100, 2 即100<2n<200,n=7.因此,只要7次就够了. [规律方法] 二分法的思想在实际生活中应用十分广泛.二分 法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等,还能用 于实验设计、资料查询、资金分配等.

【活学活用3】 某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一
物品的售价的环节,某次猜一品牌手机的价格,手机价格在 500~1 000元,选手开始报价1 000元,主持人回答高了;紧 接着报900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元, 高了,850元,低了;851元,恭喜你猜中了,表面上看猜价 格具有很大的碰运气的成分,实际上体现了“逼近”的思想, 试设计出可行的猜价方案.



取价格区间[500,1 000]的中点750,低了;就再取[750,1

000]的中点875,高了;就取[750,875]的中点,遇到小数,则 取整数,照此猜下去可以猜价:750,875,812,843,859,851,经 过6次即能猜中价格.

易错辨析

因“二分法”精确度的理解不清致错

【示例】 用二分法求方程x2-5=0的一个非负近似解(精确
度为0.1). [错解] 令f(x)=x2-5,

因为f(2.2)=2.22-5=0.16<0, f(2.4)=2.42-5=0.76>0,

所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零
点x0,取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3, f(2.3)=2.32-5=0.29>0, 因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),

再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,

f(2.25)=0.062 5>0,
因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 同理可得x0∈(2.225,2.25),(2.225,2.237 5), 又f(2.225)≈-0.049 4, f(2.237 5)≈0.006 4, 且|0.006 4-(-0.049 4)|=0.055 8<0.1, 所以原方程的非负近似解可取为2.225.

[错因分析]

本题错解的原因是对精确度的理解不正确,

精确度ε满足的关系式为|a-b|<ε,而本题误认为是|f(a) -f(b)|<ε.

[正解]

由于f(2)=-1<0,f(3)=4>0,故取区间[2,3]作为

计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下: 区 间 中 点 中点函数值

[2,3]
[2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25]

2.5
2.25 2.125 2.187 5 2.218 75

1.25
0.062 5 -0.484 4 -0.214 8 -0.077 1

根据上表计算知,区间[2.1875,2.25]的长度是0.0625<0.1, 所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值,所以其近似 值可以为2.1875.

[防范措施]

求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,

得到的结果也不相同.精确度为ε是指在计算过程中得到某
个区间(a,b)后,若其长度小于ε,即认为已达到所要求的精 确度,可停止计算,否则应继续计算,直到|a-b|<ε为止.

课堂达标

1.下列函数图象中,能用二分法求零点的是
( ).

解析
答案

依据二分法求零点的原理可知C正确.
C

2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是

(
A.[-2,1] C.[0,1] 解析 B.[-1,0] D.[1,2]

).

∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,

f(-2)·f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法

逐次计算.
答案 A

3.用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计

算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程
的一个近似解为________(精确度为0.1). 解析 因 为 |0.605 - 0.532| = 0.073 < 0.1 , 所 以 0.605 或

0.532都可作为方程f(x)=0的一个近似解. 答案 0.532(答案不唯一)

4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,3)内的实根,取区
间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是________. 解析 f(2)=23-2×2-5=-1<0,f(2.5)=2.53-2×2.5 -5=5.625>0, ∴下一个有根的区间是(2,2.5). 答案 (2,2.5)

5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据
如下:

f(1.600 0)=0.200

f(1.587 5)=0.133

f(1.575 0)=0.067

f(1.562 5)=0.003 f(1.556 2)=-0.029 f(1.550 0)=-0.060 据此数据,求f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度 0.01). 解 由表中f(1.562 5)=0.003,f(1.556 2)=-0.029. ∴f(1.562 5)·f(1.556 2)<0. 又|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01, ∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一).

课堂小结 1.二分法是不断把函数的变号零点所在的区间一分为二,使 区间内每一个点都逼近零点,从而得到零点近似值的一种 方法.因此二分法求函数零点的近似值要抓住两个核心: (1)恰当选取初始区间;(2)精确度的判断. 2.二分法实质是一种逼近思想的应用.区间长度为1时,使 1 用“二分法”n次后,区间长度变为 n.二分法的思想在现 2 实生活中也有广泛的应用,如地下管道的故障排查、物价 的竞猜、人员分配等问题都可用二分法的思想.


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