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专题32 宁夏银川一中2012届高三第四次月考数学(文)试题


银川一中2012届高三年级第四次月考数学试卷(文科)
第Ⅰ卷
2011.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 M ? { x | | 2 x ? 1 |? 1}, N ? { x | 3 x ? 1} ,则 M ? N =( A. ?

B. { x | x ? 0} C. { x | x ? 1}
1 ? ,则 tan =( 3 2

)

D. { x | 0 ? x ? 1} ) D. ?
2 2

2.已知 ? ? ? ? 2? ,且 cos? ? ? A. ? 2 B. ?
2 2

C. ? 2

2 4.已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a 5 ? a 7 ? 4a 4 , a 2 ? 1 ,则 a1 =(

)

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

5.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数, f ' ( x ) , g ' ( x ) 分别为 f(x)、g(x)的导函数,且满足 f ' ( x ) g(x)+f(x) g ' ( x ) <0, 则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)> f(b)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) 6.过点(0,1)且与曲线 y ? A. 2 x ? y ? 1 ? 0 ) B. f(x)g(a)> f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
x ?1 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( x ?1

)

B. 2 x ? y ? 1 ? 0

C. x ? 2 y ? 2 ? 0

D. x ? 2 y ? 2 ? 0 )

7.为了得到函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像( A.向左平移 C.向左平移

? 个长度单位 4 ? 个长度单位 2
)

B.向右平移 D.向右平移

? 个长度单位 4 ? 个长度单位 2

8.下列命题正确的是( A.若 a >b ,则 a>b C.若 ac>bc,则 a>b
2 2

1 1 B.若 > ,则 a<b a b D.若 a< b,则 a<b )

9. 若函数 f ( x ) 的导函数 f ' ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则使得函数 f ( x ? 1) 单调递减的一个充分不必要条件是 x∈( A.(0,1) B.(3,5) C.(2,3) D.(2,4) )

1 1 1 10.若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 ,且 α=a+ ,β=b+ ,则 α+β 的最小值为( a b 2

A.2

B.3

C.4

D.5
1 AC ? ? AB(? ? R) ,则 AD 的长为( 3

11.△ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,已知 AB=3,且 AD ? A.1 B. 3 C. 2 3 D.3

)

?y ? x ? 12.已知变量 x、y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3 x ? 2 y 的最大值为( ? y ? ?1 ?

)

A.-3

B.

5 2

C.-5

D.4 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为 选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 在△ABC 中,B=

? 中,且 BA ? BC ? 4 3 ,则△ABC 的面积是_________. 3

14. 已知函数 f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在 x0,使 f(x0)=0,则实数 m 的取值范围是________. 15. 已知向量 a, b 满足: | a |? 1, | b |? 2 ,且 (a ? b) ? (a ? 2b) ? ?6 ,则向量 a 与 b 的夹角是 _____________. 16. 若 等 差 数 列 {a n } 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 前 n 项 的 和 为 Sn , 则 数 列 {
Sn } 为等差数列,且通项为 n

Sn d ? a1 ? ( n ? 1) ? .类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列 {bn } 的首项为 b 1 ,公比为 q ,前 n 项 n 2

的积为 Tn,则



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和.已知 S3=7,且 a1+3,3a2,a3+4 构成等差数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)令 bn ? ln a 3n?1 , n ? 1,2 ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn.

18. (本小题满分 12 分) 已知锐角△ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c.且(b +c -a )tanA= 3 bc. (1)求角 A 的大小; (2)求 sin(A ? 10?) ? [1 ? 3 tan(A ? 10?)] 的值.
2 2 2

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=2sinxcos (1)求 φ 的值;

2

φ +cosxsinφ -sinx(0<φ <π)在 x=π 处取最小值. 2

(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(A)=

3 ,求角 C. 2

20. (本小题满分 12 分) 已知某物体的温度 θ(单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律是: θ=m·2 +2
t
1-t

(t≥0,并且 m>0).

(1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (a ? 3b ? 9) ln( x ? 3) ?
1 2 x ? (b ? 3) x . 2

(1)当 a ? 0 且 a ? 1,f ' (1) ? 0 ,时,试用含 a 的式子表示 b ,并讨论 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ' ( x ) 有零点, f ' ( 3) ? ①求 f ( x ) 的表达式; ②当 x ? (?3,2) 时,求函数 y ? f ( x ) 的图象与函数 y ? f ' ( x ) 的图象的交点坐标.
1 ,且对函数定义域内一切满足|x|≥2 的实数 x 有 f ' ( x ) ≥0. 6

四、选考题(本小题满分 10 分) (请考生在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑) 22.选修 4—1:几何证明选讲 D、E 分别为△ABC 的边 AB、AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 m ,AC 的长为 n ,AD、AB 的长 是关于 x 的方程 x 2 ? 14x ? mn ? 0 的两个根。 (1)证明:C、B、D、E 四点共圆;

(2)若∠A=90°,,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C、B、D、E 所在圆的半径。

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线经过点 P(1,1), 倾斜角 ? ?

?
6



(1)写出直线的参数方程; (2)设与圆 ? ? 2 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.

24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤3},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f(n)≤m-f(-n)成立,求实数 m 的取值范围.

银川一中 2012 届高三第四次月考数学(文科)试题参考答案

17.解:(Ⅰ)设数列

的公比为



由已知,得



……………………………………2 分



, 也即

解得 故数列

………………………………………………………………………5 分 的通项为 . , ∴ , 是以 为首项,以 为公差的等差数列 ……………10 分 ………………………………………………6 分 , …………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 又 ∴

∴ 即 . ……………………………………………………………12 分

1+cosφ 19. (1)f(x)=2sinx +cosxsinφ -sinx 2 =sinx+sinxcosφ +cosxsinφ -sinx =sinxcosφ +cosxsinφ =sin(x+φ ). 因为 f(x)在 x=π 时取最小值, 所以 sin(π +φ )=-1,故 sinφ =1. π 又 0<φ <π ,所以 φ = . 2 π (2)由(1)知 f (x)=sin(x+ )=cosx. 2 因为 f(A)=cosA= 3 , 2

π 且 A 为△ABC 的内角,所以 A= . 6 由正弦定理得 sinB=

bsinA 2 = , a 2

π 3π 又 b>a,所以 B= 或 B= . 4 4

π π π 7π 当 B= 时,C=π -A-B=π - - = , 4 6 4 12 3π π 3π π 当 B= 时,C=π -A-B=π - - = . 4 6 4 12 7π π 综上所述,C= 或 C= . 12 12 t 1-t 20.(1)依题意可得 5=2·2 +2 , t 2 t t t 即 2·(2 ) -5·2 +2=0. 亦即(2·2 -1)(2 -2)=0, t 又∵t≥0,得 2 =2,∴t=1. 故经过 1 分钟该物体的温度为 5 摄氏度. t 1-t (2)法一:问题等价于 m·2 +2 ≥2(t≥0)恒成立. t 1-t t -t ∵m·2 +2 =m·2 +2·2 ≥2 2m, ① 1 ∴只需 2 2m≥2,即 m≥ . 2 1 t -t 当且仅当 ·2 =2·2 , 2 即 t=1 时,①式等号成立, 1 ∴m 的取值范围是[ ,+∞). 2 t 1-t 法二:问题等价于 m·2 +2 ≥2(t≥0)恒成立, 1-t 1-2t -t -t 2 即 m≥2 -2 =2[2 -(2 ) ] 1 2 1 -t =-2(2 - ) + (t≥0)恒成立. 2 2 1 -t -t ∵t≥0,∴0<2 ≤1,当 2 = , 2 1 2 1 1 -t 即 t=1 时,-2(2 - ) + 有最大值 . 2 2 2 1 ∴m 的取值范围是[ ,+∞). 2

21.解:(1) 由 时 由 由 同理 时, ,故 得 得 的单调增区间

………………2 分

的单调增区间是 单调减区间是 , (i)



,单调减区间为

…5 分

(2)①由(1)及 又由 有 知

的零点在

内,设



则 ∴ ②又设

,结合(i)解得 ………………9 分 ,先求 与 轴在



…8 分

的交点

∵ 故 又 , 在 ,故







单调递增 与 轴有唯一交点 为所求 …………13 分

即 与 的图象在区间 上的唯一交点坐标为 22.(I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,

即 .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 2 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆, 所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5
0

(12-2)=5.

23.解:(I)直线的参数方程是

.----------------(5 分)

(II)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

. 圆 化为直角坐标系的方程 . 整理得到

以直线 l 的参数方程代入圆的方程

① 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2.

-----------------(12 分)


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