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北京理工大学信号与系统实验报告6 离散时间系统的z域分析


实验 6 离散时间系统的 z 域分析
(综合型实验)
一、实验目的 1) 掌握 z 变换及其反变换的定义,并掌握 MATLAB 实现方法。 2) 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及 z 域分析方法。 3) 掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1. z 变换 序列 x(n) 的 z 变换定义为 X (z) ?<

br />
n ???

? x(n) z
n ?1

??

?n

(1)

Z 反变换定义为 x(n) ?

X (z) z 2? j ?
r

1

dz

(2)

MATLAB 中可采用符号数学工具箱 ztrans 函数和 iztrans 函数计算 z 变换和 z 反变换: Z=ztrans(F)求符号表达式 F 的 z 变换。 F=iztrans(Z)求符号表达式 Z 的 z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数 离散时间系统的系统函数 H(z)定义为单位抽样响应 h(n)的 z 变换

H (z) ?

n ???

? h(n) z

??

?n

(3)

此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号 z 变换之比得到

H (z) ? Y (z) / X(z)

(4)

由(4)式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为

H (z) ?

b0 ? b1 z ?1 ? ... ? bM z ? M a0 ? a1 z ?1 ? ... ? aN z ? N

(5)

3. 离散时间系统的零极点分析 MATLAB 中可采用 roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根,从而得到系统的零极 点。 此外还可采用 MATLAB 中 zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图, zplane 函数的 调用格式为: zplane(b,a) b、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane(z,p) z、p 为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量, 研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样 响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形, 系统函数零点位置只影响冲激响应 的幅度和相位,不影响波形。 系统的频率响应取决于系统函数的零极点, 根据系统的零极点分布情况, 可以通过向量法分 析系统的频率响应。

因果的离散时间系统稳定的充要条件是 H(z)的全部极点位于单位圆内。 三、实验内容 (1) 已知两个因果离散时间系统的系统函数,采用 MATLAB 画出零极点分布图,求解系 统的冲激响应 h(n)和频率响应 H (e j? ) ,并判断系统是否稳定。 1) H ( z ) ?

z2 ? 2z ?1 z 3 ? 0.5z 2 ? 0.005z ? 0.3

>> b=[1 2 1]; >> a=[1 -0.5 -0.005 0.3]; >> zplane(b,a)

>> impz(b,a)
Impulse Response 2.5

1 0.8 0.6 0.4

2

1.5

Amplitude

Imaginary Part

1

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 2

0.5

0

-0.5
-0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1

-1 0

5

10

15 n (samples)

20

25

30

全部极点都在单位圆内,系统稳定。 >> [H,w]=freqz(b,a); >> subplot(211) >> plot(w/pi,abs(H)); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Magnitude'); >> title('|H(e^j^\Omega)|'); >> grid on
|H(ej? )| 8

>> subplot(212) >> plot(w/pi,angle(H)/pi); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Phase(\pi)'); >> title('theta(\Omega)'); >> grid on

Magnitude

6 4 2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

?(?) theta(? )
0

Phase(?)

-0.5

-1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

?(?)

2) H ( z ) ?

z3 ? z 2 ? 2 3z 4 ? 3z 3 ? z 2 ? 3z ? 1

>> b=[1 -1 0 2]; >> a=[3 3 -1 3 -1]; >> zplane(b,a)

>> impz(b,a)
x 10
4

Impulse Response

10
1 0.8 0.6 0.4

8 6 4

Imaginary Part

Amplitude

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5 -1 -0.5 Real Part 0 0.5 1

2 0 -2 -4 -6

0

5

10

15 n (samples)

20

25

有极点在单位圆外,系统不稳定。 >> [H,w]=freqz(b,a); >> subplot(211) >> plot(w/pi,abs(H)); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Magnitude'); >> title('|H(e^j^\Omega)|'); >> grid on
|H(ej? )| 1.5

>> subplot(212) >> plot(w/pi,angle(H)/pi); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Phase(\pi)'); >> title('theta(\Omega)'); >> grid on

Magnitude

1

0.5

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

?(?) theta(? )
1 0.5

Phase(?)

0 -0.5 -1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

?(?)

(2) 用 MATLAB 绘制以下六种情况系统函数的零极点分布图,并绘制相应单位抽样响应 的时域波形,观察分析系统函数极点位置对单位抽样响应时域特性的影响和规律。 1) z=0,p=0.25
b=[1 0]; a=[1 -0.25]; subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

1

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 1 Real Part Impulse Response 2 3

1

Amplitude

0.5

0

0

1

2

3 n (samples)

4

5

6

2) z=0,p=1
b=[1 0]; a=[1 -1]; subplot(211)
1

zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 1 Real Part Impulse Response 2 3

1

Amplitude

0.5

0

0

1

2

3

4 5 n (samples)

6

7

8

9

3) z=0,p=-1.25
b=[1 0]; a=[1 1.25]; subplot(211)
1

zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 x 10
6

-2

-1

0 Real Part Impulse Response

1

2

3

1

Amplitude

0.5 0 -0.5 -1

0

10

20

30 n (samples)

40

50

60

4) z ? 0, p1 ? 0.8e
b=[1 0];

j

?
6

, p2 ? 0.8e

?j

?
6

zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211)
1

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 1 Real Part Impulse Response 2 3 2

1.5

Amplitude

1 0.5 0 -0.5

0

5

10

15

20 25 n (samples)

30

35

40

5) z ? 0, p1 ? e
b=[1 0];

j

?
8

, p2 ? e

?j

?
8

zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

a=poly([exp(j*pi/8) exp(-j*pi/8)]); subplot(211)

1

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 1 Real Part Impulse Response 2 3 2

4

Amplitude

2 0 -2 -4

0

10

20

30

40 n (samples)

50

60

70

6) z ? 0, p1 ? 1.2e
b=[1 0];

j

3? 4

, p2 ? e

?j

3? 4

zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

a=poly([1.2*exp(j*3*pi/4) 1.2*exp(-j*3*pi/4)]); subplot(211)

1

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 x 10
6

2

-2

-1

0 1 Real Part Impulse Response

2

3

1

Amplitude

0.5 0 -0.5 -1

0

10

20

30 40 n (samples)

50

60

70

综合分析以上六个图可知: 如果只有一个极点,响应波形为指数型。当极点在单位圆内时,呈指数衰减;当极点在单位 圆上,为定值(单位阶跃响应) ;当极点在单位圆外时,呈指数增长。 如果有一对共轭极点, 响应为振荡型。 当极点在单位圆内, 呈衰减振荡; 当极点在单位圆上, 为等幅振荡;当极点在单位圆外时,呈增幅振荡 (3) 以下两个系统具有相同的极点,但零点不同,用 MATLAB 分别绘制两个系统的零极 点分布图及相应单位抽样响应的时域波形,观察分析系统函数零点位置对单位抽样 响应时域特性的影响。 1) H (z) ?
b=poly([0 -2]); a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

z (z ? 2) (z ? 0.8e 6 )(z ? 0.8e
j

?

?j

?
6

)

1

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 Real Part Impulse Response 1 2

6

Amplitude

4 2 0 -2

0

5

10

15

20 25 n (samples)

30

35

40

2) H (z) ?
b=poly([0 2]);

z (z ? 2) (z ? 0.8e 6 )(z ? 0.8e
j

?

?j

?
6

)

a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)

1

Imaginary Part

0.5 0 -0.5 -1 -2 -1 0 1 Real Part Impulse Response 2 3

1

Amplitude

0

-1

-2

0

5

10

15

20 25 n (samples)

30

35

40

分析以上两图可知: 当零点沿纵轴对折时, 时域波形图近似沿横轴对折。 但只是波形的对称, 各点的值并没有等幅改变。 四、实验收获与体会 本次实验通过 MATLAB 实现 z 变换及其反变换,进一步加深了对 z 域分析法的理解,理 清了系统零极点分布与系统特性的关系。


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