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2.2双曲线及其标准方程


2.2双曲线及其标准方程

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a

(差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. ︱︱MF1︱—︱MF2︱︱=常数(2a<︱F1F2︱) ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意 (1)2a<2c ; ( 2) 2a ﹥ 0 ;
F1 o F2 M

1、平面内与两定点F1,F2的距离的差 等于常数(小于 |F1F2 | )的点的轨迹是 什么? 双曲线的一支

2、若常数2a=0,轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线 3、若常数2a= |F1F2|轨迹是什么? ? 两条射线

方程的推导
求曲线方程的步骤:

y
M

1. 建系设点.
2. 写出适合条件的点M的集合; 3. 用坐标表示条件,列出方程; 4. 化简.

F1

O

F2

x

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

3.两种标准方程的比较

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a
2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

, b2 , a ? 0, b ? 0 但 a , b


大小不定。



c 2 ? a 2 ? b2
2

④如果 x 的系数是正的,则焦点在 焦点在 y轴上。

x轴上;如果 y 2的系数是正的,则

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y
M

y
M F2

F ( ±c, 0)

F1

o

F2

x
F1

x

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

F(0, ± c)

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 练习1:写出以下双曲线的焦点坐标

x2 1. ? 16 y2 3. ? 16

y2 ?1 9 x2 ?1 9

x2 y2 2. ? ? 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. ? ? 1 F(0,±5) 9 16

练习1:根据双曲线的方程指出焦点坐标: x y (1) ? ?1 16 9 x2 y 2 (2) ? ? ?1 64 36 (3) 4 x ? 9 y ? 36
2 2 2 2

F1 (?5,0) F2 (5,0)

F1 (0, ?10) F2 (0,10)
F1 (? 13,0) F2 ( 13,0)

(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。 (2) 是否表示双曲线? x2 y 2 ? ? 1(m n ? 0) m n

?m ? 0 ? ?n ? 0 ?m ? 0 ? ?n ? 0

表示焦点在

x 轴上的双曲线;

表示焦点在 y轴上的双曲线。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1
答案:m

? ?1或m ? ?2 。

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.

解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:
x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b
∵ 2a = 6, c=5
2 2




a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16

x2 y2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 9 16

练习2:写出符合下列条件的双曲线的标准方程 2 2 x y () 1 a ? 3, b ? 4, 焦点在x轴上 ? ?1 9 16 x2 y 2 (2)c ? 5, b ? 3, 焦点在x轴上 ? ?1 16 9 (3)焦点为? 0,-6 ?、 ? 0,6 ? , a ? 3 (4) 焦点F ( 0) , F2 (5,0), 双曲 1 ? 5, 线上一点P到F1 , F2的距离的差的绝 对值等于8
y2 x2 ? ?1 9 27 x y ? ?1 16 9
2 2

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

2

2

焦点
a.b.c 的关系

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程

y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c的 关系 a>b>0,a2=b2+c2


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