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常州市2013-2014学年上学期期末考试


常州市 2013-2014 学年上学期期末考试
高一数学(必修 1 必修 4)试题
一 题号 二 总分 合分人

2014 年 1 月

1~14
分数 评卷人

15

16

17

18

19

20

注意事项:考试时间 120 分钟.满分 100 分.
得分 评卷人

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.不需写出解答过 程,请把答案填写在题中横线位置上.

1.已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | ?1 ≤ x ≤ 2} ,则 A 2.与 ? 660 ? 角终边相同的最小正角是 3.求值: cos

B?



. (用弧度制表示)

7π = 6

. 象限. .

4.已知点 M (tan a ,cos a ) 在第二象限,则角 a 的终边在第 5.已知点 P 在线段 AB 上,且 | AB |? 3| AP | ,设 AP ? l PB ,则实数 l =

1 1 6.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, ) ,则 f ( ) ? 2 4

. .

c ? 0.80.9 , b ? log3 0.9 , 7. 设 a ? log3 0.8 , 则 a , b, c 按由小到大的顺序排列为

8.已知平行四边形 ABCD , M 是 AD 的中点,若 BM ? a, BC ? b ,则向量 BA = (用向量 a , b 表示) . 9.已知向量 a ? (1,2), b ? (0, ?1), c ? ( k, ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则实数 k =
2 ? ?sin πx , ?1 ≤ x ≤ 0, 10.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 则满足 f ( x0 ) ? 1 的实数 x0 = ? ?e , x ? 0,





π 1 π 11.已知 cos( x ? ) ? ,则 sin( ? 2 x) ? 6 4 6
12.下列说法中,所有正确说法的序号是 ①终边在 y 轴上的角的集合是 {a |a ?

. .

kπ , k ? Z} ; 2

②函数 y ? sin x 在第一象限是增函数;
1

③函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 π ;

π π ④把函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象. 3 6
x 在 区 间 ( n, m ) ( n ? m) 上 的 值 域 是 [ ? 2 , 1 , ) 则 m?n 的 最 大 值 13 . 若 函 数 y ? 2 s i n





14.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过原点 O 的直线与函数 y ? 3x 的 图象交于 A, B 两点, 过 B 作 y 轴的垂线交函数 y ? 9 x 的图象于点 C, 若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是 . (第 14 题) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 得分 评卷人 已知函数 f ( x) ?
1 x

的定义域为集合 A ,集合 B ? {x | ax ? 1 ? 0, a ? N?} ,

集合 C ? {x | log 2 x ? ?1} . (1)求 A
C;

(2)若 C ? ? (A

B ),求 a 的值.

得分

评卷人

16. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? 2x . 2x ? 1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性并证明; (2)当 x ? (1, ??) 时,求函数 f ( x) 的值域.

2

得分

评卷人

17. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0), B(0, 2), C (cos a ,sin a ) . (1)若 | AC |?| BC | ,且 a ? (0, π) ,求角 a 的值; (2)若 AC ? BC ?

1 2sin 2 a ? sin 2a ,求 的值. 3 1 ? tan a

得分

评卷人

18. (本小题满分 10 分) 座落于我市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最, 也堪称佛塔世界之最. 如 图,已知天宁宝塔 AB 高度为 150 米,某大楼 CD 高度为 90 米,从大楼 CD

顶部 C 看天宁宝塔 AB 的张角 ?ACB ? 45 , 求天宁宝塔 AB 与大楼 CD 底部之间的距离 BD. C 45°

A

D (第 18 题)

B

3

得分

评卷人

19. (本小题满分 10 分) 如 图 是 函 数 f ( x) ? 2sin(wx ? j )(w ? 0, ?

π π ?j ? ) 的 部 分 图 象 , 直 线 2 2

x?

3π 7π 是其两条对称轴. ,x ? 8 8

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)写出函数 f ( x ) 的单调增区间; (3)若 f (? ) ?

6 π 3π π ,且 ? a ? ,求 f ( ? a ) 的值. 8 8 8 5

(第 19 题)

得分

评卷人

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx (k ? R ) 是偶函数.

(1)求实数 k 的值;

4 (2)设函数 g ( x) ? log4 (a ? 2x ? a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3
数 a 的取值范围.

4

高一数学(必修 1 必修 4)Ⅰ卷参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分. 1. (1, 2] 2. 9. 8

π 3

3. ? 10.2或 ?

3 2
2 2

4.四 11.?

5.

1 2

6.4

7. a , b, c 14.(log3 2, 2)

1 8.a ? b 2

7 8

12. ③④

4π 13. 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)由题意得 A = (0, ??) ., C = (0, ) , ∴A

1 2

-------------------2 分 ----------------------4 分

C ? (0, ??) .
1 a

* ? B ? (0, ) , a ?A N (2)由题意得 B = (?? , ) ,∴

1 a

--------------6 分

∵C ? ? A

? B, ∴

1 1 ? , a 2
?

--------8 分

? 0 ? a ? 2 ,又∵ a ? N , ∴
16.解: (1)∵ x ? R ,

∴ a =1.

--------10 分

1 1? x x 1 ? 2? x 2 ? 2 ? 1 ? ? f ( x) , f ( ? x) ? ? x ? 2 ? 1 1 ? 1 1 ? 2x 2x
∴ f ( x) 是奇函数. (2)令 2 x ? t ,则 g (t ) ?

---------------------------4 分

---------------------------5 分

1? t 2 . ? ?1 ? t ?1 t ?1 2 2 1 ? ,∴ ?1 ? g (t ) ? ? , t ?1 3 3

-------------------------7 分

∵ x ? (1, ??) ,∴ t ? 2 ,∴ t ? 1 ? 3,0 ?

1 所以 f ( x) 的值域是 (?1, ? ) . 3
17.解: (1)由题意 AC ? (cos a ? 2,sin a ), BC ? (cos a ,sin a ? 2),

---------------------------10 分

∵ | AC |?| BC | ,∴ (cos a ? 2)2 ? sin 2 a ? cos2 a ? (sin a ? 2)2 , 整理得 tan a ? 1 ,--------4 分 ∵ a ? (0, π) ,∴ a ?

π . 4

--------6 分

1 (2)∵ AC ? BC ? ?1 ,∴ (cos a ? 2)cos a ? sin a (sin a ? 2) ? , 3
整理得 sin a ? cos a ?

1 , 3
5

-------8 分

∴ (sin a ? cos a )2 ? 1 ? 2sin a cos a ? ∴

1 8 ,∴ 2sin a cos a ? ? . 9 9

--------10 分 --------12 分

2sin 2 a ? sin 2a 2sin a (sin a ? cos a ) 8 = = 2 sin a cos a = ? . sin a 9 1 ? tan a 1? cos a

18.解 : 如 图 作 CE ? AB 于 E.因为 AB∥CD,AB=150,CD=90, 所以 BE=90,AE=60.设 CE= x , ?ACE ? a ,则 ?BCE ? 45 ? a . -----------2 分 在 Rt D AEC 和 Rt D BEC 中,

tan a ?

60 90 , , tan(45 ? a ) ? x x

----------4 分

60 1? 90 1 ? tan a x . 因为 tan(45 ? a ) ? ,所以 ? x 1 ? 60 1 ? tan a x

-

-----------8 分

化简得 x2 ? 150 x ? 5400 ? 0 ,解得 x ? 180 或 x ? ?30 (舍去) . 答:天宁宝塔 AB 与大楼 CD 底部之间的距离为 180 米. 19.解: (1)由题意,

-----------10 分 ------------12 分 --------1 分

T 7π 3π π ? ? ? ,∴ T ? π . 2 8 8 2

又 ? ? 0 ,故 ? ? 2 ,∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? j ) . 由 f( 又?

3π 3π π ) ? 2sin( ? j ) ? 2 ,解得 j ? 2kπ ? (k ? Z ) , 8 4 4
--------4 分 ---------5 分 ---------8 分

π π π ? j ? ,∴ j ? ? , 2 2 4

π ∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 4 π 3π (2)函数 f ( x ) 的单调增区间为 [kπ ? , kπ ? ](k ? Z ) . 8 8 π 6 π 3 (3)由题意得: 2sin(2a ? ) ? ,即 sin(2a ? ) ? , 4 5 4 5


π 3π π π , ∴ 0 ? 2a ? ? , ?a ? 8 8 4 2
---------10 分

π π 4 ∴ cos(2a ? ) ? 1 ? sin 2 (2a ? ) ? , 4 4 5

π π π π π f ( ? a ) ? 2sin[2( ? a ) ? ] ? 2sin[(2a ? ) ? ] 8 8 4 4 4
π π π π 7 2 7 2 ? 2[sin(2a ? ) cos ? cos(2a ? )sin ] ? 2 ? ? , 4 4 4 4 10 5 π 7 2 ∴ f ( ?a) ? . 8 5
6

---------13 分

20.解: (1)由题意知:任意 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) , 即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx 恒成立.
4? x ? 1 1 ? 2kx 恒成立,化简得 x ? ?2kx 对 x ? R 恒成立,∴ k ? ? . 2 4x ? 1

∴ log 4

………5 分

(2)∵函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,

1 4 ∴方程 log4 (4x ? 1) ? x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根, 2 3
化简得:方程 2x ?

1 4 ? a ? 2x ? a 有且只有一个实根, x 2 3
………7 分 ………8 分

4 令 t ? 2 x ? 0 ,则方程 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根. 3

3 ①当 a ? 1 时, t ? ? 不合题意; 4
②当 a ? 1 时,

3 (ⅰ)若 ? ? 0 ,则 a ? 或-3 . 4
若a ?

3 1 ,则 t ? ?2 不合题意;若 a ? ?3 ,则 t ? 合题意; 4 2
3 时, 4 ?1 ? 0 ,解得 a ? 1 ,∴ a ? 1 . a ?1

………10 分

(ⅱ)若 ? ? 0 即 a ? ?3或a ?

由题意,方程有一个正根与一个负根,即

……12 分 ……13 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} (1, ??) .

高一数学(必修 1、必修 4)Ⅱ卷试题答案及评分标准
21、填空题:本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分. 1、 ?8 , 2、

3 . 4

22、解: (1)法一、设 c ? ? x, y ? 。

c 与 AB 同向, AB ? ? 2,1? ,

? x ? 2 y 且 x ? 0 ;……………………… 2 分
2 2 又 c ? 2 ,? x ? y ? 4 ,……………………… 3 分

7

? 4 5 ?x ? ?4 5 2 5? ? 5 (负舍) 解得 ? ,? c ? ? ? 5 , 5 ? ? 。……………………… 5 分 ? ? ?y ? 2 5 ? 5 ?
法二、

c 与 AB 同向, AB ? ? 2,1? ,

故可设 c ? ? AB ? ? ? 2,1? ? ? 2? , ? ? , ? ? 0 ,……………………… 2 分
2 又 c ? 2 ,? ? 2? ? ? ? ? 4 ,……………………… 3 分 2

得? ?

2 5 (负舍) , 5

?4 5 2 5? ?c ? ? ? 5 , 5 ? ? 。……………………… 5 分 ? ?
(2)由题意可设 P ? t ,0 ? ,则 PA ? ? ?t , 2 ? , PB ? ? 2 ? t ,3? 。

? PA ? PB ? ? 2 ? 2t ,5? ,? PA ? PB ?
? 当 t ? 1 时, PA ? PB
min

? 2 ? 2t ?

2

? 52 ? 4 ? t ? 1? ? 25 ,
2

? 5 ,……………………… 8 分

? P ?1,0? ,此时 PA ? ? ?1, 2 ? , PB ? ?1,3? ,
? PA ? 5 , PB ? 10 , PA ? PB ? 5 ,…………………… 10 分

? cos PA, PB ?

PA ? PB PA ? PB

?

5 2 ,……………………… 11 分 ? 2 5 ? 10

PA, PB ? ? 0, ? ? ,? PA, PB ?
23、解:⑴令 x ? y ? 1 , 则 f ?1? ? 2 f (1) ? 1 ,

?
4

,即 PA 与 PB 的夹角为

? 。………………13 分 4

? f (1) ? 1 .
⑵ 设 0 ? x1 ? x2 , 则

……………………… 2 分

?x ? x2 ? 1 ,? f ? 2 ? ? 1 , x1 ? x1 ?

8

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 ) ?1 , x1 x2 ) ? 1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,……………………… 5 分 x1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

故 f ( x) 在 ? 0, ? ? ? 上是单调增函数。……………………… 6 分 ⑶ 令 x ? y ? 2 ,则 f ? 4? ? 2 f ? 2? ?1 ? 3 , 由 f ( x) 在 ? 0, ? ? ? 上是单调增函数,

? 当 x ? ? 0, 4? 时, f ? x ?max ? f ? 4? ? 3。……………………… 8 分
?t 2 ? mt ? m ? 4 ? 3 ,即 t 2 ? mt ? m ? 1 ? 0 对所有 t ? [2, 4] 恒成立。
设 g ?t ? ? t ? mt ? m ? 1, t ?[2, 4] ,则 g ?t ?min ? 0 ,……………………… 9 分
2

?当 ?

m ? 2 即 m ? ?4 时, g ?t ?min ? g ? 2? ? 5 ? m ? 0 ,得 m ? ?5 ,故 m ? ?4 ; 2 m 当 2 ? ? ? 4 即 ?8 ? m ? ?4 时, ? ? m2 ? 4 ? ?m ? 1? ? 0 , 2
得 ?2 2 ? 2 ? m ? 2 2 ? 2 ,故 ?2 2 ? 2 ? m ? ?4 ; 当?

m 17 ? 4 即 m ? ?8 时, g ? t?mi n ? g? 4? ? 3 m?17 ? 0, 得 m ? ? , 故不合, 舍 2 3
去;……………………… 12 分

综上所得, m ? ?2 2 ? 2, ?? ………………………13 分

?

?

9


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