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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:6.3 不等式的证明


§6.3

不等式的证明

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.比较法 (

1)作差比较法

a-b>0 a-b<0 ①理论依据:a>b?________;a<b?_________;②证明步骤: 作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)作商比较法 a a a>b a<b ①理论依据:b>0, >1?______;b<0, >1?________. b b ②证明步骤:作商→变形→判断与 1 的大小关系.

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2.综合法 已证明过 性质 利用某些__________的不等式和不等式的______推导出所要 证明的不等式成立.这种证明方法叫综合法.

3.分析法
求证 从______的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如 肯定 果能够_______这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不 分析法 等式成立.这种证明方法叫做_________.

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思考探究
综合法与分析法有什么区别与联系? 提示:分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢 “已知”,其逐步推理,实际上是寻求它的充分条件;综合 法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,

其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.综合法往往是分
析法的逆过程,其表述简单、条理清楚,故证明时,常先用 分析法分析思路,再用综合法书写过程.

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课前热身
1.(教材改编)下列不等式不一定正确的是( )

A.x2+1>x
C.x2+3>3x 答案:D

B.x2+2>2x
D.x2+4>4x

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2.已知 a,b 为非零实数,且 a>b,则下列不等式一定成立的 是(
2

)
2

A.a >b

1 1 B. < a b D.2a>2b

C.|a|>|b|

答案:D

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3.已知a<0,-1<b<0,则(
A.a>ab>ab2

)

B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab2
答案:D

D.ab>ab2>a

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?x2+ 12 ?· 12+4y2? ? 4. (2011· 高考湖南卷)设 x, y∈R, xy≠0, ? 且 则 y ? ?x ?
的最小值为________.
1 ?x2+ 12 ? ? 12+4y2?=5+ 2 2+4x2y2≥5+2 解析:? y ? ?x ? xy 1 =9,当且仅当 x y = 时“=”成立. 2
2 2

1 4x2 2 2 2· y xy

答案:9

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5.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满 足的条件为________. 答案:ab≠1或a≠-2

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 比较法

(1)用作差比较法证明不等式时,通常是进行因式分解或利 用各因式的符号比较法进行判断, 或配方利用非负数的性质 进行判断. (2)作商法要弄清分母的符号,再将商式变形与 1 比较.

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例1

a2-b2 a-b 设 a>b>0,求证: 2 . 2> a +b a+b

【思路分析】
【证明】

可用作差或作商比较的方法证明.

法一:∵a>b>0,

?a-b?[?a+b?2-?a2+b2?] ∴左边-右边= ?a2+b2??a+b? 2ab?a-b? = 2 >0, 2 ?a +b ??a+b? 故原不等式成立.

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a2-b2 a2+b2 a2-b2 a+b ?a+b? 2 法二:∵ = 2 = 2 2× a-b a +b a-b a +b2 a+b 2ab =1+ 2 >1, a +b2 a-b a2-b2 且由 a>b>0,知 >0 且 2 2>0, a+b a +b a2-b2 a-b ∴ 2 . 2> a +b a+b

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考点2

综合法证明不等式

综合法的思索路线是“由因导果”,也就是从一个已知的不
等式(组)出发,不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推 导出要求证明的不等式.

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例2 已知a,b,c为互不相等的实数,

求证:a4+b4+c4>abc(a+b+c).
【思路分析】 从已知不等式a2+b2≥2ab出发,一步步由因

导果直至推出要证的结论.

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【证明】 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2. 又 a,b,c 互不相等, ∴上面三式中至少有一个式子不能取“=”号, ∴a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.① ∵a2+b2≥2ab,∴a2c2+b2c2≥2abc2, 同理 a2b2+a2c2≥2a2bc,b2c2+b2a2≥2ab2c, ∴a2b2+b2c2+c2a2>abc2+a2bc+ab2c.② 由①,②得 a4+b4+c4>abc(a+b+c).

【误区警示】

本题中a、b、c为不全相等的正数,

所以“=”舍去.
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跟踪训练
1.已知 a>0,b>0,c>0,且 a、b、c 不全相等, bc ac ab 求证: + + >a+b+c. a b c
证明:∵a>0,b>0,c>0,且不全相等, bc ac bc ac ∴ + ≥2 · =2c, a b a b ac ab ab bc 同理, + ≥2a, + ≥2b, b c c a 上述三个等号至少有一个不成立,三式相加, bc ac ab bc ac ab 得 2( + + )>2(a+b+c),即 + + >a+b+c. a b c a b c

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考点3 分析法证明不等式
分析法的思索路线是“执果索因”,即从求证的不等式出发,

不断地用充分条件来代替前面的不等式,直到找到已知不等
式为止.

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?a-b? 2 a+b 例3 已知 a>b>0,求证: < - ab. 2 8a

【思路分析】

用分析法证明,证明开方后的不等式成立.

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?a-b? 2 a+b 【证明】 要证 < - ab, 2 8a ?a-b? 2 ? a- b?2 只需证: < , 2 8a ∵a>b>0, a> b>0. a-b a- b a+ b 只需证 < ,即证: <1, 2 2a 2 2 a 只需证: a+ b<2 a,即 b< a, 该式显然成立. ?a-b? 2 a+b ∴ < - ab. 2 8a 【思维总结】 分析法中,下一步一定能推出上一步成立 .

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跟踪训练
a+b ?a-b? 2 2.已知 a>b>0,求证: - ab< . 2 8b
? a- b?2 ?a-b? 2 证明:要证原式成立.只需证 < . 2 8b ∵a>b>0, a> b>0. a- b a-b ∴只需证: < . 2 2 2b a+ b 只需证:1< ,只需证 2 b< a+ b, 2 b 即 b< a,显然成立,∴原式成立.

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考点4

证明不等式的其它方法

证明不等式的方法多样,变化多端,如放缩法、反证法、换 元法等,要根据不等式的特征,综合运用各种方法.

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例4 证明不等式:1+

【思路分析】

1 1 1 + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n 考虑不等式自身的特点,可用放缩法、

构造函数法. 【证明】 法一:(放缩法) 1 1 1 ∵ k- k-1= > ,∴ <2( k- k-1). k k+ k-1 2 k 令 k=1,2,3,?,n,则有 1 1 1 <2( 1- 0), <2( 2- 1), <2( 3- 2),? 1 2 3 1 <2( n- n-1). n 1 1 1 各式相加,1+ + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n
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法二:(构造函数法) 1 1 1 设 f(n)=2 n-(1+ + +?+ ). 2 3 n 1 则 f(k+1)-f(k)=2 k+1-2 k- k+1 2?k+1?-2 k?k+1?-1 ?k+1?-2 k?k+1?+k = = k+1 k+1 ? k+1- k?2 = >0(k∈N*). k+1 ∴f(k+1)>f(k),即 f(n)是 n∈N*上的增函数. ∴f(n)≥f(1)=2-1=1>0, 1 1 1 ∴1+ + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n
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【思维总结】

放缩法、构造法是证明不等式的常用方法,

放缩法证明不等式时,放缩要适度,必须有目标,而且要恰 到好处,常用的放缩法有增项、减项,利用公式的性质,不

等式的性质,函数的性质等,构造法证明不等式,往往利用
构造函数的单调性,几何图形的性质等解决问题.

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方法感悟
方法技巧
1.比较法往往适用于不等式成立,没有明显的条件. 2.综合法、分析法常用来证明条件不等式,当因果关系较明

显时,采用综合法.
当要证明的不等式比较复杂,两端差异难以消去或者已知条 件信息太少,已知与待证之间的联系不明显时,一般可采用

分析法.
3.反证法、放缩法、构造函数法也是证明不等式的常 用方法.

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失误防范
1.用作商比较法证明不等式时,要注意除式的符号,否则易出 A 错,因为 >1,若 B>0,则有 A>B;但若 B<0,则有 A<B. B 2.用分析法证明不等式时,要注意书写格式,其书写格式是: 要证明 B,只需证明 B1,即证 B2,只需证明 A 成立,而已知 A 成立,所以 B 成立. 3. 放缩法是不等式证明中重要的变形方法之一. 放缩必须有目 标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论进行考查.常 用的放缩技巧有增项、减项、利用公式的性质、利用不等式的 性质、利用已知不等式、利用函数的性质(有限性、单调性)等.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年的高考试题分析,不等式的证明在高考中以函数、 数列、解析几何为载体进行命题,客观题主要是判断不等式 成立,主观题主要是作为其中某一问,证明不等式. 2011年的高考中,安徽卷是单独的不等式的证明问题,大纲全 国卷利用函数性质证明不等式. 预测2014年高考还将以与其他数学知识交汇为主,渗透不等 式的证明方法,考查学生解决综合试题的能力.

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规范解答 例
(本题满分 12 分)(2011· 高考安徽卷)(1)设 x≥1,y≥1,证

1 1 1 明 x+y+ ≤ + +xy; xy x y (2)设 1<a≤b≤c, 证明 logab+ logbc+ logca≤logba+ logcb+ logac.

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1 1 1 【证明】 (1)由于 x≥1, y≥1, 所以 x+y+ ≤ + +xy?xy(x xy x y +y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1).(5 分) 由于 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明 的不等式成立.(6 分)
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1 (2)设 logab=x, bc=y, log 由对数的换底公式得 logca= , ba log xy 1 1 = ,logcb= ,logac=xy.(9 分) x y 1 1 1 于是,所要证明的不等式即为 x+y+ ≤ + +xy. xy x y (10 分) 又由于 1<a≤b≤c,所以 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.(12 分)

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【名师点评】

本题考查不等式的基本性质,不等式的最基本

的证明方法——作差法.第(2)问考查对数函数的性质和对数换 底公式,当然该问题思维跨度较大,若不能正确代换,将不会 有效地利用第(1)问的结论.

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知能演练轻松闯关

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