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(北师大版)数学必修五:1.2《等差数列(第2课时)》ppt课件


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
数 列

第一章

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第一章
§2
第2课时

等差数列
等差数列的性质

第一章

数 列

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1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

第一章

§1

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课前自主预习

第一章

§1

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2010年5月1日至10月31日,第41届世界博览会在中国上海
举办.展会期间,人流如织,总参观人数超过7000万.根据有 关部门统计,某展馆7月上旬每天平均参观人数为 20 万人,在

后面 70 天内,前 40 天每天增加 0.5 万人,后 30 天每天减少 1 万
人,问在这段时间内,有多少天参观人数能达到30万人?这是 一个与等差数列有关的问题,让我们进一步来认识等差数列吧.
第一章 §1 数 列

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1.等差数列的项与序号的性质 (1)两项关系 通项公式的推广:

(n-m)d m、n∈N+). an=am+________(
(2)多项关系 项的运算性质: 若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),

am+an =ap+aq. 则________
特别地,若 m+n=2p(m、n、p∈N+),

2ap 则 am+an=________.
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2.等差数列的项的对称性 有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等 于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的 2 倍),即 a1+ n+1 a an-k+1 =2a n-1 an=a2+________ =ak+________ 2 (其中 n 为奇数且 n≥3).

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§1

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3.等差数列的性质 (1)若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列: ①{c+an}(c为任一常数)是公差为________ 的等差数列; d ②{c·an}(c为任一常数)是公差为________ cd 的等差数列;

③{ank}(k∈N+)是公差为________ 的等差数列. kd
(2) 若 {an} 、 {bn} 分别是公差为 d1 、 d2 的等差数列,则数列 pd1+qd2 的等差数列. {pan+qbn}(p、q是常数)是公差为__________

第一章

§1

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1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( A.4 C.6 [答案] C [解析] ∵{an}为等差数列,∴a2+a8=2a5, ∴2a5=12,∴a5=6. B.5 D.7

)

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2 .如果等差数列 {an} 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 +?+a7=( A.14 C.28 [答案] C ) B.21 D.35

[解析] ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,
∴a4=4. ∴a1 + a2 +?+ a7= (a1 + a7) +(a2+ a6)+ (a3+ a5)+a4=7a4 =28.

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3.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则 a2=( A.3 3 C.2 [答案] A
[解析] ∵a4+a5=15,

)

B.-3 3 D.-2

∴a2+a7=a4+a5=15,
又a7=12. ∴a2=3.

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4.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=______. [答案] 13 [解析] 设公差为d,∵a5=a2+6,∴a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 5 . (2013· 重庆文 ) 若 2 , a , b , c,9 成等差数列,则 c - a =

________.
7 [答案] 2 [解析] 本题考查等差数列.

7 由题意知:c-a=2d,9-2=4d,∴c-a=2.
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课堂典例讲练

第一章

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运用等差数列性质an=am+(n-m)d (m,n∈N+)解题

若数列 {an} 为等差数列, ap = q , aq = p(p≠q) , 则ap+q为( )

A.p+q C.-(p+q)

B.0 p+q D. 2

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[分析] 本题可用通项公式求解. 利用关系式an=am+(n-m)d求解. 利用一次函数图像求解. [答案] B

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[解析] 解法一:∵ap=a1+(p-1)d, aq=a1+(q-1)d,
? ?a1+?p-1?d=q ∴? ? ?a1+?q-1?d=p

① ②

①-②,得(p-q)d=q-p.∵p≠q,∴d=-1. 代入①,有 a1+(p-1)(-1)=q,∴a1=p+q-1. 故 ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0. ∴应选 B. 解法二:∵ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即 q-p =(p-q)d. ∵p≠q,∴d=-1. 故 ap+q=ap+[(p+q-p)]d=q+q(-1)=0.∴应选 B.
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解法三:不妨设p<q,由于等差数列中,an关于n的图像是
一条直线上均匀排开的一群孤立的点,故三点 (p , ap) , (q , aq),(p+q,ap+q)共线.设ap+q=m,由已知,得三点(p,q),

(q,p),(p+q,m)共线(如图).

第一章

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AE BF 由△ABE∽△BCF,得BE=FC. q-p p-m p-m ∴ = .∴1= p . q-p ?p+q?-q 得 m=0,即 ap+q=0.∴应选 B.

[方法总结]

本题采用了三种方法,第一种方法使用的是

方程思想,由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式,通过
解方程组,达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推 广形式 an = am + (n - m)D . 第三种方法使用的是函数的思想, 通过点(p, ap) ,(q,aq) ,(p +q , ap + q) 共线求得其解,这也是 解决本类问题较简便的方法.
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已知若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
[解析] 法一:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a15=a1+14d,a60=a1+59d 64 ? ? ?a1=15 ?a1+14d=8 ∴? ,解得? ? ?a1+59d=20 ?d= 4 ? 15 64 4 ∴a75=a1+74d=15+74×15=24.
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法二:∵{an}为等差数列, ∴ a15 , a30 , a45 , a60 , a75 也为等差数列,设其公差为 d , 则a15为首项,a60为第4项. ∴a60=a15+3d,∴d=4. ∴a75=a60+d=24.
法三:∵a60=a15+(60-15)d a60-a15 4 ∴d= =15. 60-15 ∴a75=a60+(75-60)d=24.

第一章

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运用等差数列性质 am + an = ap + aq(m 、 n 、 p 、 q∈N+,且m+n=p+q)解题 在等差数列{an}中, (1)已知a2+a6+a20+a24=48,求a13; (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d; (3)已知a1+3a8+a15=120,求3a9-a11. [分析] 使用等差数列的性质,在等差数列{an}中,若m+ n=p+q,则am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+).

第一章

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[解析] (1)由等差数列的性质知 a2+a24=a6+a20=2a13, 根据已知条件 a2+a6+a20+a24=48,得 4a13=48, 解得 a13=12. (2)由等差数列的性质知,a2+a5=a3+a4, 根据已知条件 a2+a3+a4+a5=34,得 a2+a5=17,
? ?a2+a5=17, 由? ? a5=52, ?a2· ? ?a2=4, 解得? ? ?a5=13 ? ?a2=13, 或? ? ?a5=4,

a5-a2 13-4 a5-a2 4-13 故 d= = 3 =3 或 d= = 3 =-3. 5-2 5-2 (3)∵a1+a15=2a8,∴a8=24. ∴3a9-a11=a9+2a9-a11=a9+a7=2a8=48.
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[方法总结]

在等差数列中, 若 m+n=p+q=2k, 则 am

+an=ap+aq=2ak(m,n,p,q,k 都是正整数)是一条重要性 am+an 质,利用该性质可大大简化运算过程,另外 d= ,2an m-n =an-m+an+m 在解题中应用也很广泛.

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在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9- a13的值为( A.20 ) B.30

C.40
[答案] C

D.50

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[解析] ∵a3+a5+a7+a9+a11=100, 又∵a3+a11=a5+a9=2a7,

∴5a7=100,∴a7=20,
∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d) =3a7+6d-a7-6d =2a7=40.

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易混易错点睛

第一章

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已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且a11

=-26,a51=54,该数列从第几项开始为正数.
[误解] ∵a51=a11+40d, 54+26 ∴d= 40 =2. ∴an=a11+(n-11)d=-26+2(n-11) =2n-48. 由 an≥0,得 2n-48≥0, ∴n≥24. 即从第 24 项开始,各项为正数.
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[辨析]

误解的原因是忽略了对 “从第几项开始为正数”

的理解,而当n=24时,此时a24=0.
[正解] ∵a51=a11+40d, 54+26 ∴d= 40 =2. ∴an=a11+(n-11)d =-26+2(n-11)=2n-48. 由 an≥0,得 2n-48≥0, ∴n≥24. 显然当 n≥25 时,an>0. 即从第 25 项开始,各项为正数.
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本节思维导图

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等 差 ?若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 数 ?ak,ak+m,ak+2m,?成等差数列 列? 的 ?{λan+b}成等差数列 性 ?若{an},{bn}成等差数列,则{an± bn}成等差数列 质

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