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武昌区2013届高三五月供题训练(文数定稿)


武昌区2013届高三年级五月供题训练

文 科 数 学 试 卷
本试题卷共 5 页,共 22 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★ 祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上

试卷类型 A 后的方 框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上 无效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题 区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔 涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题 区域内,答在试题卷、草稿纸上无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? x ? 3 ? x ? 1 , B ? x log 2 x ? 1 ,则 A ? B 等于 A. ?? 3,0? ? ?0,1? B. ?? 1,0? ? ?0,1? C. ?? 2,1? D. ?? 2,0? ? ?0,1?

?

?

?

?

2.已知 ? ? ?0,2? ? ,复数 z ? A.1 B. cos 4?

cos ? ? i sin ? ,则 z = cos ? ? i sin ?
D. tan 4?
开始 输入 p

C. sin 4?

3.某程序框图如图所示,若输入的 p 为 24 ,则输出的 n , S 的值分别为 A. n ? 4, S ? 30 B. n ? 4, S ? 45 C. n ? 5, S ? 30 D. n ? 5, S ? 45 4.已知指数函数 f ?x ? ? a
x

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

?a ? 0, a ? 1? 、对数函数 g ?x? ? logb x ?b ? 0, b ? 1? 和幂函数

1 x 如果 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? h?x3 ? ? 4 , 那么, 1 ? h?x? ? x c ?c ? Q? 的图象都经过点 P( ,2) , 2

x 2 ? x3 ?
A.

7 6

B.

6 5

C.

5 4

D.

3 2

5.函数 y ? f ?x ? 的图象如图所示,则导函 数 y ? f ?(x) 的图象的大致形状是 y y y
y ? f ??x?

y

O

y=f(x) y x

x

O

y ? f ??x?
A.

x

O

y ? f ??x?

x

O

O

y ? f ??x?

x

B.

C.

D.

6.设 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m ? ? 的 是 A. ? ? ? , m ? ? B. m ? ? , ? ? ? C. m ? n, n ? ? 2 俯视图 D. m / / n, n ? ? 2 侧视图

7.如图,已知三棱锥的俯视图是边长为 2 的正 三角形,侧视图是有一直角边长为 2 的直角 三角形,则该三棱锥的正视图可能为

2 1 1 A.

2 1 B. 1

2 1 C. 1

2 1

2 1 D.

? 8.如图,在 ?OAB 中, ?AOB ? 120 , OA ? 2 , OB ? 1 ,

B D C O A

C 、D 分别是线段 OB 和 AB 的中点,那么 OD ? AC ? A. ? 2 B. ?

3 2

C. ?

1 2

D.

3 4

9. 乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时, 甲、 假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达, 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A.

9 16

B.

1 2

C.

7 16

D.

3 8

10.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0) 2 a b 2

的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k = A.1 B. 2 C. 3 D.2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题号的 位置上. 11.若命题“存在实数 x,使 x2+ax+1<0”的否定是真命题,则实数 a 的取值范围为 12.用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示: .

? ① ② ③ (用 n 表示) .
频率

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 13.已知直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 a 和 b ?a ? 0, b ? 0? , 且经过点 M ?1,4? ,则 a ? b 的最小值为 14.某校高三年级有 500 名同学,将他们的身高(单 位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图) , 现用分层抽样的方法选取 x 名学生参加某项课 外活动,已知从身高在 [160,170) 的学生中选取 9 人,则 x = .
0.020 0.010 0.005


0.035

组距

O

140 150 160 170 180 190

身高/cm

15.已知数列 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 39 ,公差 d ? ?2 ,前 n 项和为 S n ;数列 ?bn ? 是等比数列,首项 b1 ? 5 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Tn .如果从第 m 项开始,对所有的

n ? N ? 都有 Tm ? S n ,则 m ?



16.已知函数 f ?x? ? 3 sin 2x ? cos2x , x ? R ,给出以下说法: ①函数 f ?x ? 的图像的对称轴是 x ? k? ? ②点 P (

?
3

,k ?Z ;

7? ,0) 是函数 f ?x ? 的图像的一个对称中心; 12 1 ? ③函数 f ?x ? 在区间 [ , ? ] 上的最大值是 ; 2 2 ? ④将函数 f ?x ? 的图像向右平移 个单位,得到函数 g ?x? ? sin 2x ? 3 cos2x 的图象. 12
其中正确说法的序号是 . 17. 某工厂产生的废气经过过滤后排放, 过滤过程中废气的污染指数量 P mg / L 与时间 t h 间的关系为 P ? P0 e ? kt .如果在前 5 个小时消除了 10 % 的污染物,则 10 小时后还剩 __________ % 的污染物. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边, 边 且满足 b cos C ? (3a ? c) cos B . (Ⅰ)求 cos B ; (Ⅱ)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.

??? ??? ? ?

19. (本小题满分 12 分) 为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的 7 次数学测试成绩(满分 100 分) 进行统计,作出如下的茎叶图,其中 x, y 处的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位数 是 83,乙同学成绩的平均分是 86 分. (Ⅰ)求 x 和 y 的值; (Ⅱ)现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲 同学试卷的概率. 甲 6 3 7 7 8 9 8 3 0 3 乙

x 1
2 3

y

1 6

20. (本小题满分 13 分) 1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 2 AA1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 DC1 和 BB1 所成的角; (Ⅱ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC. A1 C1

B1

D C A B

21. (本小题满分 14 分) 已知直角坐标平面内一动点 P 到点 F (2,0) 的距离与直线 x ? ?2 的距离相等. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 M (m,0) m ? 0 ) ( 作斜率为 3 的直线与曲线 C 相交于 A, B 两点, ?AFB 若 为钝角,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)过点 M (m,0) ( m ? 0 )作直线与曲线 C 相交于 A, B 两点,问:是否存在一条 垂直于 x 轴的直线与以线段 AB 为直径的圆始终相切?若存在,求出 m 的值;若 不存在,请说明理由.

22.(本大题满分 14 分) 若函数 f ?x ? 满足:在定义域内存在实数 x0 ,使 f ?x0 ? k ? ? f ?x0 ? ? f ?k ? (k 为常数), 则称“f(x)关于 k 可线性分解” . (Ⅰ)函数 f ?x? ? 2 ? x 是否关于 1 可线性分解?请说明理由;
x 2

(Ⅱ)已知函数 g ?x ? ? ln x ? ax ? 1 ?a ? 0? 关于 a 可线性分解,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 a 取最小整数时,求 g ?x ? 的单调区间,并证明不等式:

武昌区2013届高三年级五月供题训 ?1? 2 ? 3 ??? n?2 ? e n?n?1? ?n ? N? ? . 练

文科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题: 1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B

二、填空题: 11. [?2,2] 12. 6n ? 2 13.9 14.30 15.7 16.②④ 17.81

三、解答题: 18.解:(Ⅰ)由正弦定理和 b cos C ? (3a ? c) cos B ,得

sin B cos C ? (3sin A ? sin C ) cos B ,
化简,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ,

( ? 即 sin B ? C) 3sin A cos B ,
故 sin A ? 3sin A cos B . 因为 sinA≠0,

1 . ?????????????????????6 分 3 ??? ??? ? ? (Ⅱ)因为 BC ? BA ? 4 ,
所以 cos B = 所以 BC ? BA ?| BC | ? | BA | ? cos B ? 4 . 所以 BC ? BA ? 12 ,即 ac ? 12 .

??? ??? ? ?



又因为 cos B =

a 2 ? c2 ? b2 1 ? , 2ac 3
2

整理,得 a ? c ? 40 .
2



联立①② ?

?a 2 ? c 2 ? 40, ?ac ? 12,



解得 ?

?a ? 2, ?a ? 6, 或? ?????????????????????12 分 ?c ? 6, ?c ? 2.

19.解:(Ⅰ)? 甲同学成绩的中位数是 83, ? x ? 3. ? 乙同学的平均分是 86 分,

1 ? (78 ? 83 ? 83 ? 80 ? y ? 90 ? 91 ? 96) ? 86 , 7

? y ? 1.??????????? 6 分
(Ⅱ)甲同学成绩在[90,100]之间的试卷有二份,分别记为 a1 , a2 , 乙同学成绩在[90,100]之间的试卷有三份,分别记为 b1 , b2 , b3 , “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:

? a1, a2 ? ,? a1, b1 ? ,? a1 , b2 ? ,? a1, b3 ? ,? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? ,? a2 , b3 ? ,?b1, b2 ? ,?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共有 10 种情况.
记“从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份,恰抽到一份甲同学试卷”为事 件 M ,则事件 M 包含的基本事件为:

? a1, b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? ,共有 6 种情况.
则 P( M ) ?

6 3 ? , 10 5 3 .????????????????????12 分 5

答:从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析,恰抽到一份甲同学试 卷的概率为

20.解:(Ⅰ)由题设知 AA1//BB1, 所以异面直线 DC1 和 BB1 所成的角为 ?A1 DC1 . 因为侧棱垂直底面, A1 C1

B1

??DA1C1 ? 90? .
1 又 AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点, 2

? ?DA1C1 是等腰直角三角形.

C A
?

B

? ?A1 DC1 ? 45? .

所以,异面直线 DC1 和 BB1 所成的角为 45 . ???????????????6 分 (Ⅱ)由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C , ∴ BC ? 面 ACC1 A1 . 又∵ DC1 ? 面 ACC1 A , 1 ∴ BC ? DC1 . 由题设知 ?A1 DC1 ? ?ADC ? 45 ,
?

∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC .
?

又∵ DC ? BC ? C , ∴ DC1 ⊥面 BDC . ∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

∴面 BDC ⊥面 BDC1 .????????????????13 分

21.解: (Ⅰ)由抛物线的定义,知所求 P 点的轨迹是以 F (2,0) 为焦点,直线 x ? ?2 为准 线的抛物线.其方程为 y 2 ? 2 px ,其中

p ? 2, p ? 4. 2

所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 8x .???????????????4 分 (Ⅱ)由题意知,直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? m) . 代入 y 2 ? 8x ,得 3x 2 ? (6m ? 8) x ? 3m 2 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

6m ? 8 , x1 x 2 ? m 2 . 3

? ?AFB 为钝角,? FA ? FB ? 0 .
又 FA ? ( x1 ? 2, y1 ) , FB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,

? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 .
即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 3[ x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ] ? 0 ,

? 4x1 x2 ? (2 ? 3m)(x1 ? x2 ) ? 4 ? 3m2 ? 0 .
因此 3m ? 36m ? 4 ? 0 ,
2

?

18 ? 4 21 18 ? 4 21 ?m? . 3 3 18 ? 4 21 18 ? 4 21 ,2) ? (2, ) .???????8 分 3 3
2

综上,实数 m 的取值范围是 (

(Ⅲ)设过点 M 的直线方程为 x ? ?y ? m ,代入 y ? 8x ,得

y 2 ? 8?y ? 8m ? 0 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 8? , y1 y 2 ? ?8m .
于是 x1 ? x2 ? ? ( y1 ? y2 ) ? 2m ? 8? ? 2m .
2

? AB 的中点坐标为 (4?2 ? m,4? ) .
又 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? ?2 )( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? ?2 )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ? (1 ? ?2 )( 64 ?2 ? 32 m) .

设存在直线 x ? x0 满足条件,则 2 | 4?2 ? m ? x0 |?
2 化简,得 (16 ? 8x0 )?2 ? 8m ? m2 ? x0 ? 2mx0 ? 0 .

(1 ? ?2 )( 64?2 ? 32 m) .

2 所以, (16 ? 8x0 )?2 ? 8m ? m2 ? x0 ? 2mx0 ? 0 对任意的 ? 恒成立,

所以 ?

?16 ? 8 x0 ? 0,
2 2 ?8m ? m ? x0 ? 2m x0 ? 0.

解得 x0 ? ?2 , m ? 2 .

所以,当 m ? 2 时,存在直线 x ? ?2 与以线段 AB 为直径的圆始终相切.??13 分 22.解: (Ⅰ)函数 f ?x? ? 2 x ? x 2 的定义域是 R,若是关于 1 可线性分解, 则定义域内存在实数 x0 ,使得 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? . 构造函数 h?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? ? f ?1? ? 2 x?1 ? ?x ? 1? ? 2 x ? x 2 ? 2 ? 1
2

? 2 2 x?1 ? x ? 1 .
∵ h?0? ? ?1 , h?1? ? 2 且 h?x ? 在 ?? 1,1?上是连续的, ∴ h?x ? 在 ?? 1,1? 上至少存在一个零点. 即存在 x0 ? ?? 1,1? ,使 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? . ??????????? 4 分 另解:函数 f ?x? ? 2 ? x 关于 1 可线性分解,
x 2

?

?

由 f ?x ? 1? ? f ?x? ? f ?1? ,得 2 x?1 ? ?x ? 1? ? 2 x ? x 2 ? 3 .
2

即 2 ? ?2 x ? 2 .
x

作函数 g ?x? ? 2 与 h?x? ? ?2 x ? 2 的图象,
x

由图象可以看出,存在 x0 ?R,使 2 ? ?2 x ? 2 ,
x

即 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? )成立.???????????????? 4 分 (Ⅱ) g ?x ? 的定义域为 ?0,??? . 由已知,存在 x0 ? 0 ,使 g ?x0 ? a ? ? g ?x0 ? ? g ?a ? . 即 ln?x0 ? a? ? a?x0 ? a? ? 1 ? ln x0 ? ax0 ? 1 ? ln a ? a ? 1.
2

整理,得 ln?x0 ? a ? ? ln x0 ? ln a ? 1,即 ln?x0 ? a ? ? ln(ax0 e) .

a . ae ? 1 a 1 ? 0 且 a ? 0 ,得 a ? . 由 x0 ? ae ? 1 e
∴ a ? x0 ? ax0 e ,所以 x0 ? ∴a 的取值范围是 ? ,?? ? .

?1 ?e

? ?

???????????????? 10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1, g ?x ? ? ln x ? x ? 1, g ?( x ) ?

1 1? x ?1 ? . x x

当 x ? ?0,1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴g (x)的单调递增区间是 ?0,1? ; 当 x ? ?1,??? , g ?( x) ? 0 ,∴g (x)的单调递减区间是 ?1,??? . 因此 x∈(0,+∞)时, g ?x ? 的最大值为 g ?1? ,所以 g ?x ? ? g ?1? ? 0 , 即 ln x ? x ? 1 ? 0 , ln x ? x ? 1 . 由此,得 ln 1 ? 0 , ln 2 ? 1 , ln 3 ? 2 , ? ln n ? n ? 1 . 以上各式相加,得 ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?n ? 1? , 即 ln?1? 2 ? 3 ? ?? n? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?n ? 1? . ∴ ln?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ?
2

n?n ? 1? , 2

? ln?1? 2 ? 3 ? ?? n? ? n?n ? 1? ,
所以, ?1? 2 ? 3 ? ?? n? ? e n?n?1?
2

?n ? N ? .???????????14 分
?


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