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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件:第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标表示


成才之路 · 数学
人教B版 · 高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第五章
平面向量

第五章

平面向量

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<

br />第五章 第二节 平面向量基本定理

及向量的坐标表示

第五章

平面向量

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第五章

平面向量

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自主预习学案

第五章

平面向量

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了解平面向量的基本定理及其意义. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平

面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量
共线的条件.

第五章

平面向量

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向量的坐标表示和平面向量基本定理是高考考查平面向量 的主要命题方向,用坐标表示的平面向量共线条件是考查的重 点.

第五章

平面向量

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1.平 面 向 量 基 本 定 理 1 () 如 果 e1、e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 , 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a, 有 且 只 有 一 对 实 数 a1、a2, 使 得 a

a a2e2 =_ _ _ _ _ ____ _ . 我 们 把 不 共 线 的 向 量 1 e1 +

e1、e2 叫 做 表 示 这 个 平 面 内

所 有 向 量 的 一 组

基底 _ _ _ _ _ _ _ _

. A、B 是 直 线 l上 两 点 , O为l

2 () 直 线 的 向 量 参 数 方 程 式 : 外 一 点 , 点 为 参 数 ).

P在 直 线 l上 的 充 要 条 件 是

→ → → OP=(1-t)OA+tOB (t

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平面向量

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→ 1 → → 中点 3 () OM= (OA+OB)?M 是 线 段 AB 的_ _ _ _ _ _ _ _ 2 2. 已 知 两 个 非 零 向 量 =θ 叫做 a 与 b 的 夹 角 .



→ → a 与 b,作OA=a, OB=b,则∠A O B 0 (° ≤θ≤1 8 0 ° ) ; 当 θ=1 8 0 ° 时 ,a与b

相同 当 θ=0° 时 , a 与 b 方向_ _ _ _ _ _ _ _ 相反 方 向_ _ _ _ _ _ _ _

垂直 ;当 θ=9 0 °时 , 称 a 与 b_ _ _ _ _ _ _ _ . 正交 _ _ _ _ _ _ _ _

3. 如 果 基 底 的 两 个 基 向 量 互 相 垂 直 , 则 称 其 为 基 底 , 把 一 个 向 量 分 解 为 两 个 互 相 垂 直 的 向 量 , 叫 做 把 向 量 正 交 分 解 .

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平面向量

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4. 平 面 向 量 的 直 角 坐 标 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 分 别 取 与 两 个 单 位 向 量 一 对 实 数

表示 x轴 、y轴 正 方 向 相 同 的 a, 有 且 只 有 (x,y)叫 做 向 量 a的

i、j 作 为 基 底 , 对 平 面 内 任 一 向 量 x,y, 使 得 a=xi+yj, 则 实 数 对
( x a=_ _ _ _ _ _ _ _ . ,y)

直 角 坐 标 , 记 作

5. 平 面 向 量 的 直 角 坐 标 运 算 1 () 已 知 点 → A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB=(x2-x1,y2-y1),

→ |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.
第五章 平面向量

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2 ( ) 已 知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+ y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).
x y -x2y1=0 ,a⊥b?_ x x +y1y2=0 a∥b?_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 2 1 2

3 ( ) 非 零 向 量

a的 单 位 向 量 为

a ± . |a|

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1 2 ( . 0 1 4 ·

沈阳 检 测 )设 向 量 )

a=(m,1),b=(-2 3 ,)

, 若 满 足

a

∥b,则 m=( 1 A. 3 2 C. 3
[ 答案] D

1 B.- 3 2 D.- 3

[ 解析]

2 依题意得 3m=-2×1, 解 得 m=- ,选 D. 3

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平面向量

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2.(2014·福建)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示 出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) [答案] [解析] B 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平

面的基底,它能表示出平面内的其他向量.A中,e1=0,且e2
与a不共线;C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线, 故表示不出a.B中的两个向量不共线,可以作为平面的一组基

底,故可表示出a,
第五章 平面向量

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3. (文2 ( ) 0 1 3 · O为 坐 标 原 点 , 点

安 庆 示 范 中 学 联 考 C在 第 二 象 限 , 且 ) B.2

)已 知 两 点

A1 ( 0 , )

, B(1, 3),

→ ∠A O C =1 2 0 ° ,设OC= -

→ → 2OA+λOB(λ∈R), 则 λ等 于( A. -1 C.1
[ 答案] C

\

D.-2

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平面向量

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[ 解析] +λ, 3λ),

→ → → 由OC=-2OA+λOB=-2 1 ( 0 , )

+λ(1, 3)=(-2

又 点 C在 第 二 象 限 , 则 由∠A O C =1 2 0 ° 得 , c o s 1 2 0 ° → → OC· OA = → → |OC||OA|

? ?-2+λ<0, ? ? ? 3λ>0,

得 0<λ<2,

-2+λ 1 = - , 解 得 λ=1. 2 2= 2 ?-2+λ? +? 3λ?
第五章 平面向量

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(理2 ( ) 0 1 5 · AB 上 的 一 点 ,

北 师 大 附 中 期 中

)如 图 , 在

△O A B

中,P 为 线 段 )

→ → → → → OP=xOA+yOB, 且 BP=2PA, 则(

2 1 A.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4

1 2 B.x= ,y= 3 3 3 1 D.x= ,y= 4 4
第五章 平面向量

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[答案] A

[ 解析]

→ → → → → → → 由题可知OP=OB+BP, 又BP=2PA, 所以OP=OB

2→ → 2 → → 2→ 1→ 2 1 + BA=OB+ (OA-OB)= OA+ OB,所以 x= ,y= ,故 3 3 3 3 3 3 选 A.

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4.2 ( 0 1 4 ·

福 建 质 检

)如 图 , 设 向 量

→ OA=3 ( 1 , )

→ ,OB=1 ( 3 , ) C点 所 有 可 能



→ → → 若OC=λOA+μOB, 且 λ≥μ≥1, 则 用 阴 影 表 示 的 位 置 区 域 正 确 的 是 ( )

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[答案] D

[ 解析]

→ → → 设 C(x,y),因为OC=λOA+μOB,

? ?λ=3x-y, ? 8 ? ?x=3λ+μ, 所以? 解得? ? ?y=λ+3μ, ? 3y-x μ= . ? 8 ? 3x-y 3y-x 因为 λ≥μ≥1,所以 ≥ ≥1, 8 8 ?3x-y-8≥0, ? 即?x-3y+8≤0, ?x≥y. ?

故选 D.
第五章 平面向量

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典例探究学案

第五章

平面向量

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向量的坐标运算

(文)(2014· 山东莱芜模拟)如图所示,已知△OCB → 中,点 C 是点 B 关于点 A 的对称点,点 D 是将OB分成 2 → → 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b. 1

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平面向量

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1 ( ) 用a和b表 示 向 量

→ → OC,DC;

→ → 2 ( ) 若OE=λOA, 求 实 数
[ 分析]

λ 的值. → → → → → 1 ( ) 由条件可得出OD与OB的关系和OA与OB 、OC
→ → OC,DC; → → DC与EC共线.

的 关 系 , 依 据 向 量 加 减 法 法 则 可 表 示 出 2 ( ) 由 D、E、C 三 点 共 线 知

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[解 析]

1 () 由 题 意 知 ,

A 是 BC 的 中 点 , 且

→ 2→ OD= OB.由 平 3

行 四 边 形 法 则 , 可 得

→ → → → → → OB+OC=2OA, 所 以 OC=2OA-OB=2a

2 5 → → → -b,DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3 2 () 如 题 图 , → → EC∥DC, 又 因 为 → → → EC=OC-OE=(2a-b)-λa

2-λ -1 5 4 → =(2-λ)a-b, 且 DC=2a- b, 所 以 = , 所 以 λ= . 3 2 5 5 - 3

第五章

平面向量

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( 理2 ( ) 0 1 4 · A1 (, ) → ,AB=6 ( 0 , )

河 南 豫 北 名 校 联 考

)在 平 行 四 边 形

A B C D

中,

,点 M 是 线 段 AB 的 中 点 , 线 段

CM 与 BD 交

于点 P. → 1 () 若AD=3 ( 5 ,) , 求 点 C的 坐 标 ;

→ → 2 () 当|AB|=|AD|时,求点 P 的 轨 迹 .
[ 分析] 出C点 坐 标 ; → → 2 () 由|AB|=|AD|可知四边形 A B C D 此 可 求 出 轨 迹 方 程 .
第五章 平面向量

→ → → 1 () 由平行四边形的性质可知AC=AD+AB,可求

→ → 为 菱 形 , ∴AC⊥BD,据

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[解 析] +6 ( 0 , ) 点 C1 ( 0 6 ,) =9 ( 5 , ) .

→ → → 1 () 设 点 C坐 标 为 (x0,y0),∵AC=AD+AB=3 ( 5 , ) , 即 (x0-1,y0-1)=9 ( 5 ,) ,∴x0=10,y0=6, 即

2 () 设 P(x,y), 由 题 意 知 , -1,y-1)-6 ( 0 , )

→ → → → → MC=3MP,则BP=AP-AB=(x

→ → → 1→ → =(x-7,y-1),AC=AM+MC= AB+3MP 2 =(3x-

1→ → 1→ → → = AB+3(AP- AB)=3AP-AB=(3x-3 , y-3)-6 ( 0 , ) 2 2 9 3 , y-3).

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平面向量

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→ → ∵|AB|=|AD|,∴四边形 A B C D → → ∴AC⊥BD,即(x-7,y-3 1 ( · )

为菱形, x-9 3 , y-3)=0.

∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1).故点 P 的轨迹是以5 ( 1 , ) 为圆心,2 为 半 径 的 圆 去 掉 与 直 线 y=1 的 两 个 交 点 .

[ 解法探究]

→ 由于 A 与AB的 坐 标 已 知 ,

∴M 为 定 点 , 当

D

点确定时, C点 随 之 确 定 , 的 运 动 而 运 动 , 故 可 先 求 出 点 P 的轨迹.

P 为 CM 与 BD 的 交 点 , 点 D的 轨 迹 , 用 坐 标 代 入 法 求 出 点

P 随点 D

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平面向量

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→ → ∵|AB|=|AD|, ∴D 的 轨 迹 方 程 为 (x-1)2+(y-1)2=3 6 ( y≠1).

1 → ∵M 为 AB 中 点 , ∴P 分BD的 比 为 . 2 设 P(x,y).∵B7 ( 1 ,) ∴P 的 轨 迹 方 程 为 ,∴D(3x-1 4 3 , y-2).

(3x-1 5 ) 2+(3y-3)2=3 6 ( y≠1),

整 理 得 (x-5)2+(y-1)2=4(y≠1). 故 点 P的 轨 迹 是 以 =1 的 两 个 交 点 .
第五章 平面向量

5 ( 1 , )

为 圆 心 , 2为 半 径 的 圆 去 掉 与 直 线

y

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[ 方法总结]

1.向 量 的 坐 标 运 算 主 要 是 利 用 向 量 加 、 减 、 数

乘运算的法则来进 行 求 解 的 , 若 已 知 有 向 线 段 两 端 点 的 坐 标 , 则 应 先 求 向 量 的 坐 标 . 2. 要 准 确 把 握 向 量 平 行 、 垂 直 、 模 、 夹 角 等 的 坐 标 表 示 . 3. 解 题 过 程 中 , 常 利 用 向 量 相 等 的 条 件 列 方 程 组 求 解 .

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(文2 ( ) 0 1 3 ·

厦 门 一 中 期 末

)已 知 向 量 ) B.12 1 D. 2

a=2 ( 1 , )

,b=(-1,k),

若 a∥(2a-b),则 k 等于( A.-12 1 C.- 2
[ 答案] C

[ 解析]

∵2a-b=5 ( 2 ,

-k),a∥(2a-b),

1 ∴2 2 ( -k)-5=0,∴k=- . 2
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(理2 ( ) 0 1 4 · 7 A.- 2 3 C. 2
[ 答案]

云 南 检 测

)设 向 量

a=(-1 2 , ) 1 B.- 2 5 D. 2

,b=(m,1), 如 果 向 ( )

量 a+2b 与 2a-b 平 行 , 那 么

a与b的 数 量 积 等 于

D

[ 解析]

a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3), 由 题 意 1 m=- ,所以 a· b=- 2

得 3(-1+2m)-4(-2-m)=0, 解 得 1 5 1×(- )+2×1= . 2 2

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平面向量基本定理

(文)如图所示, 在△ABC 中, 点 M 是 AB 的中点, → 1→ → → 且AN= NC,BN 与 CM 相交于点 E,设AB=a,AC=b,用基 2 → 底 a,b 表示向量AE=________.

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[ 答案]

2 1 a+ b 5 5

[ 分析]

先 利 用 三 点 共 线 进 行 转 化 , 再 通 过 用 基 底 表 示 向

量 的 唯 一 性 进 行 求 解 .
[ 解析] → 1→ 1 → 1→ 1 易得AN= AC= b,AM= AB= a,由 N、E、B 3 3 2 2 → → → 1 m,满足AE=mAN+(1-m)AB= mb+(1 3

三 点 共 线 知 存 在 实 数 -m)a.

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由 C、E、M 三 点 共 线 知 存 在 实 数 → 1 -n)AC= na+(1-n)b. 2 1 1 所 以 mb+(1-m)a= na+(1-n)b. 3 2

→ → n, 满 足 AE=nAM+(1

由 于 a、b 为 基 底 , 所 以

1 ? ?1-m=2n, ? ?1m=1-n, ?3

3 ? ?m=5, 解 得? ?n=4. ? 5

→ 2 1 所 以 AE= a+ b. 5 5
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(理)在?A B C D

→ 1→ → → 中 , AB=8,BC=6,AE= EB,BF+2CF= 3

→ → 0, 设 AB=a,AD=b. → → → 1 () 设DB=λDE+μDF, 求 λ+μ 的 值 ; → 2 () 设 AF 与 DE 交 于 点 G, 用 a,b 表 示 AG.

[ 分析]

→ 1→ → → → 1 ( ) 由 条 件 “AE= EB,BF+2CF=0”可 以 将 DE, 3

→ DF用 a,b 线 性 表 示 , 依 据 平 面 向 量 基 本 定 理 可 用 待 定 系 数 法 求出 λ,μ.
第五章 平面向量

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2 ( ) 由于 G 为 AF 与 DE 的 交 点 , 所 以 D、G、E 三 点 共 线 , 因 此 可 设 面 向 量 基 本 定 理 建 立

A、G、F 三 点 共 线 ,

→ → → → DG=mDE,AG=nAF, 利 用 平

m、n 的 方 程 求 解 .

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[ 解析]

→ 1→ → → → → 1 1 ( ) ∵AE= EB,AB=AE+EB=a,∴AE= a, 3 4

→ → → 1 ∴DE=AE-AD= a-b. 4 1 → → → → ∵BF+2CF=0,BC=b,∴CF=- b, 3 1 → → → → → → ∴DF=DC+CF=a- b,DB=DA+DC=a-b. 3 1 1 → → → ∵DB=λDE+μDF=λ( a-b)+μ(a- b) 4 3 1 1 =( λ+μ)a+(-λ- μ)b=a-b, 4 3
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由 平 面 向 量 基 本 定 理 知

?1 ?4λ+μ=1, ? ?-λ-1μ= - 1, 3 ?

8 ? ?λ=11, ∴? ?μ= 9 , 11 ?

17 ∴λ+μ= . 11 → → → → → 1 → 2 () 设DG= mDE ,AG=nAF,则DG= ma- mb, AG=na 4 2n → → → 1 + b, 由 于 AG=AD+DG= ma+(1-m)b, 3 4

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由 平 面 向 量 基 本 定 理 知

? 1 ?n=4m, ? ?2n=1-m, ?3

6 ? ?m=7, ∴? ?n= 3 . ? 14 6 3 1 → 1 6 ∴AG= × a+(1- )b= a+ b. 4 7 7 14 7

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[方法总结]

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是

利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数 乘运算,基本方法有: (1)运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行化简,直 至用基底表示为止;

(2)将向量用含参数的基底表示,然后列方程或方程组,利
用基底表示向量的唯一性求解. 2.0和共线向量不能取作基底的基向量.合理地选取基底 会给解题带来方便.

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2 (0 1 5 · 1 ( 3 ,)

大 连 二 十 中 期 中

)已 知 平 面 直 角 坐 标 内 的 向 量

a= xa

,b=(m,2m-3),若 该 平 面 内 不 是 所 有 的 向 量 都 能 写 成 ) 9 B. 7 D.3
C

+yb(x,y∈R), 则 m的 值 为 ( 9 A. - 7 C. -3
[ 答案]

[ 解析]

∵平 面 内 的 向 量 不 能 都 用

xa+yb(x,y∈R)的形式

m 2m-3 表示,∴a 与 b 共 线 , ∴ = ,∴m=-3. 1 3
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易错警示系列

考虑问题不周到致误

已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0), (3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.

[ 错解]

设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).

∵四边形 ABCD 是平行四边形, → → ∴AB=DC.

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→ 而AB=3 ( 0 , )

-(-1 0 , )

=4 ( 0 , )



→ DC=(1,-5)-(x,y)=(1-x,-5-y), ∴4 ( 0 , )
? ?4=1-x, =(1-x,-5-y),即? ? ?0=-5-y,

? ?x=-3, 解之得? ? ?y=-5.

∴点 D 的 坐 标 为

(-3,-5).

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[辨 析]

1 ( ) 此 解 错 因 是 思 维 定 势 , 认 为 平 行 四 边 形 只 是 如

图 所 示 中 的 一 种 情 形 , 其 实 题 目 中 给 出 了 平 行 四 边 形 的 三 个 顶 点 , 并 没 有 规 定 顺 序 , 就 可 能 有 三 种 情 形 , 如 解 答 中 的 图 所 示 . ?A B C D C D 1、 ? A C B D 2B 、 ? A
3

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[正 解] y). 若 四 边 形

1 () 如 图 所 示 ,

A(-1 0 , )

,B3 ( 0 , )

,C(1,-5),D(x,

A B C D

平 行 四 边 形 , 则 1为

→ → AD1=BC,

→ → 而AD1=(x+1,y),BC=(-2,-5).
? - 2, ?x+1= → → 由AD1=BC, 得? ? - 5. ?y= ? - ?x= ∴? ? - ?y=

3, 5.

∴D1(-3, - 5).
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2 () 若 四 边 形 → 而AB=4 ( 0 , )

A C D

2B

为 平 行 四 边 形 , 则

→ → AB=CD2.

→ ,CD2=(x-1,y+5).
? ?x=5, ∴? ? - 5. ?y=

? ?x-1=4, ∴? ? ?y+5=0.

∴D2(5, - 5). 3 () 若 四 边 形 A C B D 平 行 四 边 形 , 则 3为 , → → AD3=CB.

→ → 而AD3=(x+1,y),CB=2 ( 5 , )

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? ?x+1=2, ∴? ? ?y=5.

? ?x=1, ∴? ? ?y=5.

∴D31 ( 5 , )

. (-3, -5)或(5,

综 上 所 述 , 平 行 四 边 形 第 四 个 顶 点 的 坐 标 为 -5)或1 ( 5 , )
[ 警示]


解 答 平 面 向 量 问 题 时 , 尽 量 画 出 图 形 , 仔 细 分 析

其所有可能情形,特别注意特殊情形.还要注意向量平行与线 段 平 行 , 向 量 共 线 与 三 点 共 线 的 联 系 与 区 别 .

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名 师 点 睛 一 个 区 别 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 起 点 的 向 量 标 相 同 , 但 表 达 方 式 不 同 , 点 → OA与 点 A 的坐

→ A(x,y), 向 量 OA=(x,y), 起 点

不 是 原 点 的 向 量 的 坐 标 与 向 量 终 点 的 坐 标 不 同 , 要 加 以 区 分 . 三 个 防 范 1 () 已 知 向 量 的 始 点 和 终 点 坐 标 求 向 量 的 坐 标 时 , 一 定 要 搞 清 方 向 , 用 对 应 的 终 点 坐 标 减 去 始 点 坐 标 .
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2 ( ) 只 有 不 共 线 的 两 个 向 量 才 可 以 作 为 基 底 , 应 用 平 面 向 量 基 本 定 理 的 前 提 条 件 是 两 向 量 3 ( ) 防 范 将 两 向 量 a,b 不 共 线 . a,b 平 行 与 垂 直 的 条 件 混 淆 .

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课时作业
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