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2014~2015年高考文数学数列分类练习(含答案)


2014~2015 年高考文数学数列分类练习(含答案) 1.【2015 高考新课标 1,文 7】已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和, 若 S8 ? 4 S 4 ,则 a10 ? ( (A) )

17 2

(B)

19 2

(C) 10

>
(D) 12

2. 【 2015 高考广东,文 13 】若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 ,

c ? 5 ? 2 6 ,则 b ?



3.【2015 高考浙江,文 10】已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等 比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 ,则 a1 ? ,d ? .

4.【2015 高考新课标 1,文 13】数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若

S n ? 126 ,则 n ?

.

5.【2015 高考安徽,文 13】已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 (n ? 2 ) ,则数列 2

{an } 的前 9 项和等于

.

6.(大纲全国文.8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( ). A.31 B.32 C.63 D.64 7.(课标全国Ⅱ文.5)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项 和 Sn=( ). A.n(n+1) B.n(n-1) C.

n? n ? 1? 2 1 2

D.

n? n ? 1? 2

8.(天津文.5)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1=( ). A.2 B.-2 C.

1 2

D. ?

9.(重庆文.2)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 B.8 C.10 D.14
aa

).

10.(辽宁文.9)设等差数列{an}的公差为 d.若数列{ 2 1 n }为递减数列,则( ). A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 11.(广东文.13)等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+ log2a4 +log2a5=________. 12.(课标全国Ⅱ文.16)数列{an}满足

an +1 ?

1 ,a11=2,则 a1=__________. 1 ? an

数列求通项 一、等差等比数列求通项 1.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

2.【2015 高考北京,文 16】 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 ,

a4 ? a3 ? 2 .
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

3.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

4.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 公比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

5.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? 前 n 项和为

?

1 ? ?的 ? an ? an ?1 ?

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式;

6. 【2015 高考天津, 文 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式;

7.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式,

9 . 2

8. (课标全国Ⅰ文.17) (本小题满分 12 分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x - 5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;

2

9. (北京文.15) (本小题满分 13 分)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn} 满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

10. (福建文.17) (本小题满分 12 分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an;

二、递推求通项 1. 【 2015 高考湖南,文 19 】 (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an ?1 ? 3Sn ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,
(I)证明: an ? 2 ? 3an ;

2.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且

a1,a2+1,a3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;

3. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,

1 1 1 a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ), b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . 2 3 n
(1)求 an 与 bn ;

4.(安徽文.18) (本小题满分 12 分)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1), n∈N*. (1)证明:数列 ?

? an ? ? 是等差数列; ?n?

5. (大纲全国文.17) (本小题满分 10 分)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.

数列求和 一、错位相减求和 1.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 公比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

2.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? 前 n 项和为

?

1 ? ?的 ? an ? an ?1 ?

n .(I)求数列 ?an ? 的通项公式; 2n ? 1
a

(II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

3. 【2015 高考天津, 文 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = an bn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

4. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,

a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . 2 3 n
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

5. (课标全国Ⅰ文.17) (本小题满分 12 分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

6.(安徽文.18) (本小题满分 12 分)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1), n∈N*. (1)证明:数列 ?

? an ? n ? 是等差数列;(2)设 bn ? 3 ? an ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n ? ?

二、等差等比求和及分组求和 1.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且

a1,a2+1,a3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an

2.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn .

9 . 2

3. (福建文.17) (本小题满分 12 分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

4.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ? 2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

5. (北京文.15) (本小题满分 13 分)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满 足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

二、裂项求和 1.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

1.【2015 高考新课标 1,文 7】已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和, 若 S8 ? 4 S 4 ,则 a10 ? ( (A) 【答案】B 【解析】∵公差 d ? 1 , S8 ? 4 S 4 ,∴ 8a1 ? )

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) ,解得 a1 = ,∴ 2 2 2

a10 ? a1 ? 9d ?

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

【考点定位】等差数列通项公式及前 n 项和公式 2.【2015 高考广东,文 13】若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 ,

c ? 5 ? 2 6 ,则 b ?
【答案】 1



【解析】因为三个正数 a , b , c 成等比数列,所以 b ? ac ? 5 ? 2 6
2

?

??5 ? 2 6 ? ? 1 ,因

为 b ? 0 ,所以 b ? 1 ,所以答案应填: 1 . 【考点定位】等比中项. 3.【2015 高考浙江,文 10】已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等 比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 ,则 a1 ? 【答案】 ,d ? .

2 , ?1 3
2

【解析】 由题可得,(a1 ? 2d ) ? ( a1 ? d )( a1 ? 6d ) , 故有 3a1 ? 2d ? 0 , 又因为 2a1 ? a2 ? 1 , 即 3a1 ? d ? 1 ,所以 d ? ?1, a1 ?

2 . 3

【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项. 4.【2015 高考新课标 1,文 13】数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的前 n 项和,若

S n ? 126 ,则 n ?
【答案】6

.

【解析】∵ a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

∴ Sn ?

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

考点:等比数列定义与前 n 项和公式 5. 【2015 高考安徽, 文 13】 已知数列 {an } 中,a1 ? 1 ,an ? an ?1 ? ( n ? 2 ) , 则数列 {an } 的前 9 项和等于 【答案】27 【解析】∵ n ? 2 时, an ? an ?1 ? ∴ ?an ?是以a1 为首项, ∴ S9 ? 9 ? 1 ? .

1 2

1 1 , 且a2 ? a1 ? 2 2

1 为公差的等差数列 2

9?8 1 ? ? 9 ? 18 ? 27 2 2

【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前 n 项和公式的应用. 6.(大纲全国文.8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( ). A.31 B.32 C.63 D.64 解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前 n 项和的性质, 得 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列, 2 ∴(S4-S2) =S2(S6-S4), 2 即(15-3) =3(S6-15),解得 S6=63,故选 C. 7.(课标全国Ⅱ文.5)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( ). A.n(n+1) B.n(n-1) C.

n? n ? 1? 2

D.

n? n ? 1? 2
2

解析:∵a2,a4,a8 成等比数列, ∴ a42 ? a2 ? a8 ,即(a1+6) =(a1+2)(a1+14), 解得 a1=2. ∴Sn=na1+

n? n ? 1? d =2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选 A. 2 1 2 1 2 1 .故选 D. 2

8.(天津文.5)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1=( ). A.2 B.-2 C. D. ?

2 解析:由题意知 S22 ? S1 ? S4 ,则(a1+a1-1) =a1(4a1-6),解得 a1 ? ?

9.(重庆文.2)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( ). A.5 B.8 C.10 D.14 解析:由等差数列的性质,可知 a1+a7=a3+a5.因为 a1=2,a3+a5=10,所以 a7=8.故 选 B. 10.(辽宁文.9)设等差数列{an}的公差为 d.若数列{ 2 1 n }为递减数列,则( A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0
aa

).

解析:∵{ 2 1 n }为递减数列, ∴

aa

2a1an?1 ? 2a1an+1-a1an ? 2a1 ( an+1-an ) ? 2a1d ? 1 . 2a1an

∴a1d<0.故选 D. 11.(广东文.13)等比数列{an}的各项均为正数, 且 a1a5=4, 则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4 +log2a5=________. 2 解析:由等比数列性质知 a1a5=a2a4=a3 =4. ∵an>0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5 5 =(a1a5)·(a2·a4)·a3=2 , ∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 5 =log2(a1a2a3a4a5)=log22 =5. 12.(课标全国Ⅱ文.16)数列{an}满足

an +1 ?

1 ,a11=2,则 a1=__________. 1 ? an 1 1 解析:由 a11=2 及 an +1 ? ,得 a10 = . 2 1 ? an 1 同理 a9=-1,a8=2, a7 ? ,? 2
所以数列{an}是周期为 3 的数列. 所以 a1 =a10 =

1 . 2

数列求通项 一、等差等比数列求通项 1.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , a ? 3 d ? a ? 6 d ? 15 ? ? ? ? ? 1 1 ?

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 . 2.【2015 高考北京,文 16】 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 ,

a4 ? a3 ? 2 .
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

【解析】 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2, ?) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 3.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 【解析】 (Ⅰ)由题设可知 a1 ? a 4 ? a 2 ? a3 ? 8 , 又 a1 ? a4 ? 9 , 可解的 ?
3

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 或? (舍去) ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1

由 a 4 ? a1 q 得公比 q ? 2 ,故 a n ? a1 q n ?1 ? 2 n ?1 . 4.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 公比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;
1 ? a ? (2n ? 79), ? 2n ? 3 ?an ? 2n ? 1, ? ? n 9 【答案】 (Ⅰ) ? 或? ; (Ⅱ) Tn ? 6 ? n ?1 . n ?1 2 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . n ? 9 ?

5.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? 前 n 项和为

?

1 ? ?的 ? an ? an ?1 ?

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; 【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. 6. 【2015 高考天津, 文 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .

(I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; 【解析】 (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法 求和. 试 题 解 析 : ( I ) 设 {an } 的 公 比 为 q, {bn } 的 公 差 为 d, 由 题 意 q ? 0 , 由 已 知 , 有

?2q 2 ? 3d ? 2, 4 2 消去 d 得 q ? 2q ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 , 所以 {an } 的通项公式为 ? 4 ? q ? 3d ? 10,
an ? 2n ?1 , n ? N? , {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ? 1, n ? N? .
7.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 【解析】 试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得

9 . 2

3? 2 9 d= , 2 2 3 化简得 a1 + 2d = 2, a1 + d = , 2 1 解得 a1 =1,d = , 2 n- 1 n +1 故通项公式 an =1+ ,即 an = . 2 2 a1 + 2d = 2,3a1 +
8. (课标全国Ⅰ文.17) (本小题满分 12 分) 2 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x -5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; 2 解:(1)方程 x -5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d, 故d ?

1 3 ,从而 a1 ? . 2 2
1 n ?1 . 2

所以{an}的通项公式为 an ?

9. (北京文.15) (本小题满分 13 分)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn} 满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d ? 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列{bn-an}的公比为 q, 由题意得 q ?
3

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3. 3 3

b4 ? a4 20 ? 12 ? ?8, b1 ? a1 4?3

解得 q=2. n-1 n-1 所以 bn-an=(b1-a1)q =2 . n-1 从而 bn=3n+2 (n=1,2,?). 10. (福建文.17) (本小题满分 12 分) 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; 解:(1)设{an}的公比为 q,依题意, 得?

?a1q ? 3, ?a1q ? 81,
4
n-1

解得 ?

?a1 ? 1, ?q ? 3.

因此,an=3 . 三、递推求通项 1. 【 2015 高考湖南,文 19 】 (本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an ?1 ? 3Sn ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) ,
(I)证明: an ? 2 ? 3an ; 【解析】 试题解析: (I)由条件,对任意 n ? N * ,有 an ? 2 ? 3S n ? S n ?1 ? 3, (n ? N * ) , 因而对任意 n ? N , n ? 2 ,有 an ?1 ? 3S n ?1 ? S n ? 3, (n ? N * ) ,
*

两式相减,得 an ? 2 ? an ?1 ? 3an ? an ?1 ,即 an ? 2 ? 3an , (n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 a3 ? 3S1 ? S 2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1 , 故对一切 n ? N * , an ? 2 ? 3an 。 2.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且

a1,a2+1,a3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式; 【解析】(Ⅰ) 由已知 Sn=2an-a1,有

an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)
即 an=2an-1(n≥2) 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1,

又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1) 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 an=2 . 3. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,
n

1 1 1 a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ), b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . 2 3 n
(1)求 an 与 bn ; 【解析】 (1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的 数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和. 试题解析:(1)由 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,得 an ? 2 .
n

当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 . 当 n ? 2 时, 所以 bn ? n . 4.(安徽文.18) (本小题满分 12 分)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1), n∈N*.

b 1 n ?1 , bn ? bn ?1 ? bn ,整理得 n ?1 ? n bn n

? an ? ? 是等差数列; ?n? a a (1)证明:由已知可得 n ?1 ? n ? 1 , n ?1 n a a 即 n ?1 ? n ? 1 . n ?1 n a ?a ? 所以 ? n ? 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的 1 ?n?
(1)证明:数列 ? 等差数列. 5. (大纲全国文.17) (本小题满分 10 分)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 解答:(1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2.

又 b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1. 于是

? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ?1) ,
k ?1 k ?1
2 2

n

n

所以 an+1-a1=n ,即 an+1=n +a1. 2 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n -2n+2. 数列求和 三、错位相减求和 1.【2015 高考湖北,文 19】设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 公比为 q.已知 b1 ? a1 , b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

1 ? ?an ? 9 (2n ? 79), ? 2n ? 3 ?an ? 2n ? 1, ? 【答案】 (Ⅰ) ? 或? ; (Ⅱ) Tn ? 6 ? n ?1 . n ?1 2 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . n ? 9 ?

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题.

【名师点睛】这是一道简单综合试题,其解题思路:第一问直接借助等差、等比数列的通项 公式列出方程进行求解,第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为 主,以教材为蓝本,注重计算能力培养的基本方向. 2.【2015 高考山东,文 19】已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? 前 n 项和为

?

1 ? ?的 ? an ? an ?1 ?

n . 2n ? 1

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【答案】 (I) an ? 2n ? 1. (II) Tn ? 【解析】 (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 . 9

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4 n , 所以 4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4 n ? n ? 4 n ?1

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3 3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 ?4 ? ? . 9 9 9

所以 Tn ?

【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、 “错位相减法”. 【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、 “错位相减法”等,解答 本题的关键,首先是注意运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式;其 次就是能对所得数学式子准确地变形, 本题易错点在于错位相减后求和时, 弄错数列的项数,

或忘记从 ?3Tn 化简到 Tn . 本题是一道能力题,属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时,考查考生 的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型,能使考生心理更稳定,利于正常发挥. 3. 【2015 高考天津, 文 18】 (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (I)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (II)设 cn = an bn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和. 【答案】 (I) an ? 2n ?1 , n ? N? , bn ? 2n ? 1, n ? N? ;(II) S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3
n

【解析】 (I)列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法 求和. 试 题 解 析 : ( I ) 设 {an } 的 公 比 为 q, {bn } 的 公 差 为 d, 由 题 意 q ? 0 , 由 已 知 , 有

?2q 2 ? 3d ? 2, 4 2 消去 d 得 q ? 2q ? 8 ? 0, 解得 q ? 2, d ? 2 , 所以 {an } 的通项公式为 ? 4 q ? 3 d ? 10, ?
an ? 2n ?1 , n ? N? , {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ? 1, n ? N? .
(II)由(I)有 cn ? ? 2n ? 1? 2
n ?1

,设 {cn } 的前 n 项和为 S n ,则

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ?1 , 2 Sn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ,
两式相减得 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3 ? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

所以 S n ? ? 2n ? 3? 2 ? 3 .
n

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能 力. 【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项 考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的 一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视. 4. 【 2015 高 考 浙 江 , 文 17 】 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足 ,

a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N* ),
1 1 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . 2 3 n
(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ? 1)2
n n ?1

? 2(n ? N * )

【解析】 (1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的 数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和. 试题解析:(1)由 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,得 an ? 2 .
n

当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 . 当 n ? 2 时, 所以 bn ? n . (2)由(1)知, an bn ? n ? 2
2 n

b 1 n ?1 , bn ? bn ?1 ? bn ,整理得 n ?1 ? n bn n

所以 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
3

n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1
所以 Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

? (1 ? n)2n ?1 ? 2

所以 Tn ? (n ? 1)2

n ?1

?2.

【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推 关系式推理得到数列的性质和特点, 以此得到数列的通项公式, 利用错位相减法计算新组合 的数列的求和问题.本题属于中等题,主要考查学生基本的运算能力. 5. (课标全国Ⅰ文.17) (本小题满分 12 分) 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式;

(2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ? ? an ? 的通项公式,考虑到该数列是由一个等差数列和一个 n ? ?2 ?

分析:在第(1)问中,通过解出方程的根并结合{an}是递增数列可确定出 a2 与 a4 的值, 然后设出{an}的公差,通过解方程得出 a1 与 d 的值,从而求得{an}的通项公式;在第(2) 问中,由第(1)问的结果写出 ?

等比数列对应的项相乘得到.因此应采用乘公比错位相减法求其前 n 项和. 2 解:(1)方程 x -5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d, 故d ?

1 3 ,从而 a1 ? . 2 2 1 n ?1 . 2

所以{an}的通项公式为 an ? (2)设 ?

? an ? 的前 n 项和为 Sn, n ? ?2 ? a n?2 ? n ?1 ,则 由(1)知 n n 2 2 3 4 n ?1 n ? 2 Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 1 3 4 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2
两式相减,得

1 3 ?1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n? 2 2 4 ?2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2 3 ?1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? ? ? n?1 ? ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n? 2 . 4 ?2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2 n?4 所以 S n ? 2 ? n ?1 . 2
6.(安徽文.18) (本小题满分 12 分) 数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1), n∈N*.

? an ? ? 是等差数列; ?n? (2)设 bn ? 3n ? an ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
(1)证明:数列 ? 分析:在第(1)问中,观察给出的递推关系式,结合待证的数列,找第 n 项与第 n+1 项 的关系, 利用等差数列的定义进行证明, 直至得出

an ?1 an ? 的差为定值; 在第(2)问中, n ?1 n

首先由(1)的结论得出数列{an}的通项公式, 进而得出数列{bn}的通项公式, 因为数列{bn} 是由一个等差数列与一个等比数列每一项对应相乘得到的数列,所以可用错位相减法求 数列{bn}的前 n 项和 Sn,选对方法是解本题的关键,最后还要注意化简到最简形式. (1)证明:由已知可得 即

an ?1 an ? ?1, n ?1 n

an ?1 an ? ? 1. n ?1 n

所以 ?

a1 ? an ? ? 是以 ? 1 为首项,1 为公差的 1 ?n? an =1+(n-1)·1=n, n
n

等差数列. (2)解:由(1)得
2

所以 an=n . 从而 bn=n·3 . Sn=1·31+2·32+3·33+?+n·3n,① 2 3 n n+1 3Sn=1·3 +2·3 +?+(n-1)·3 +n·3 .② ①-②得, 1 2 n n+1 -2Sn=3 +3 +?+3 -n·3

3 ??1 ? 3n ? ?1 ? 2n?? 3n ?1 ? 3 ? n ? 3n+1 ? , 1? 3 2 ? 2n ? 1?? 3n ?1 ? 3 所以 Sn ? . 4 ?
二、等差等比求和及分组求和 1.【2015 高考四川,文 16】设数列{an}(n=1,2,3?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a3,且

a1,a2+1,a3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. an

【解析】(Ⅰ) 由已知 Sn=2an-a1,有

an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)
即 an=2an-1(n≥2) 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因为 a1,a2+1,a3 成等差数列 即 a1+a3=2(a2+1) 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2 所以,数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列 故 an=2 .
n

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? n 所以 Tn= ? 2 ? ...... ? n ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 1 an 2 2 2 2 2n 1? 2
【考点定位】 本题考查等差数列与等比数列的概念、 等比数列通项公式与前 n 项和等基础知 识,考查运算求解能力.

【名师点睛】数列问题放在解答题第一题,通常就考查基本概念和基本运算,对于已知条件 是 Sn 与 an 关系式的问题,基本处理方法是“变更序号作差” ,这种方法中一定要注意首项 a1 是否满足一般规律(代入检验即可,或者根据变换过程中 n 的范围和递推关系中的表达式判 断).数列求和时,一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意,对于较为简单的试 题,解析步骤一定要详细具体,不可随意跳步.属于简单题. 2.【2015 高考重庆,文 16】已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 【答案】 (Ⅰ) an = 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由已知及等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得关于数列的首项 a1 和公 式 d 的二元一次方程组, 解此方程组可求得首项及公差的值, 从而可写出此数列的通项公式, (Ⅱ)由(Ⅰ)的结果可求出 b1 和 b4 的值,进而就可求出等比数列的公比,再由等比数列 的前 n 项和公式 Tn =

9 . 2

n +1 , (Ⅱ) Tn = 2n - 1 . 2

b1 (1 - q n ) 即可求得数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 1- q

试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得

3? 2 9 d= , 2 2 3 化简得 a1 + 2d = 2, a1 + d = , 2 1 解得 a1 =1,d = , 2 n- 1 n +1 故通项公式 an =1+ ,即 an = . 2 2 15+1 (2)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 = =8. 2 a1 + 2d = 2,3a1 +
设 {bn } 的公比为 q,则 q 3 = 故 {bn } 的前 n 项和

b4 = 8 ,从而 q = 2 . b1

Tn =

b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 . 1- q 1- 2

【考点定位】1. 等差数列,2. 等比数列. 【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前 n 项的求和公式,利用方 程组思想求解. 本题属于基础题,注意运算的准确性. 3. (福建文.17) (本小题满分 12 分) 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n-1 n-m 分析:(1)等比数列中已知两项,从而求得公比 q,结合通项公式 an=a1q 或 an=amq 得 an 的通项公式. (2)借助(1)的结论,先求得 bn,可得 bn 为等差数列,利用等差数列求和公式

Sn=

n? a1 ? an ? ,求得 Sn. 2
解得 ?

解:(1)设{an}的公比为 q,依题意, 得?

?a1q ? 3,
4 ?a1q ? 81,
n-1

?a1 ? 1, ?q ? 3.

因此,an=3 . (2)因为 bn=log3an=n-1, 所以数列{bn}的前 n 项和

Sn ?

n(b1 ? bn ) n2 ? n ? . 2 2

4.【2015 高考福建,文 17】等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ? 2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

【答案】 (Ⅰ) an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 . 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 , a ? 3 d ? a ? 6 d ? 15 ? ? ? ? ? 1 ? 1

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 2 . (II)由(I)可得 bn ? 2n ? n . 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ??? ? 210 ? 10

?

? ?

?

?

?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ?

?

2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10
2

? ? 211 ? 2 ? ? 55
? 211 ? 53 ? 2101 .
【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 【名师点睛】确定等差数列的基本量是 a1 , d .所以确定等差数列需要两个独立条件,求数 列前 n 项和常用的方法有四种: (1)裂项相消法(通过将通项公式裂成两项的差或和,在前 n 项相加的过程中相互抵消) ; (2)错位相减法(适合于等差数列乘以等比数列型) ; (3)分组求和法(根据数列通项公式 的特点,将其分解为等差数列求和以及等比数列求和); (4)奇偶项分析法(适合于整个数 列特征不明显,但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征) . 5. (北京文.15) (本小题满分 13 分)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满 足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 分析:(1)先由等差数列{an}中的 a1,a4 求出公差 d,即可求其通项 an,然后根据 b1,b4 的值及{bn-an}为等比数列,从而求出该数列的第 1 项和第 4 项,得出其公比,从而写出 其通项公式,即可求得{bn}的通项. (2)根据{bn}的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得{bn}的前 n 项和. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d ? 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列{bn-an}的公比为 q, 由题意得 q ?
3

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3. 3 3

b4 ? a4 20 ? 12 ? ?8, b1 ? a1 4?3

解得 q=2. n-1 n-1 所以 bn-an=(b1-a1)q =2 . n-1 从而 bn=3n+2 (n=1,2,?). n-1 (2)由(1)知 bn=3n+2 (n=1,2,?).

3 n(n ? 1) , 2 1 ? 2n n-1 ? 2n ? 1 . 数列{2 }的前 n 项和为 1? 1? 2 3 n 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n( n+1)+ 2 ? 1 . 2
数列{3n}的前 n 项和为

四、裂项求和 1.【2015 高考安徽,文 18】已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

【答案】 (Ⅰ) an ? 2 【解析】

n ?1

2n ?1 ? 2 (Ⅱ) n ?1 2 ?1

(Ⅰ)由题设可知 a1 ? a 4 ? a 2 ? a3 ? 8 , 又 a1 ? a4 ? 9 , 可解的 ?
3

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 或? (舍去) ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1

由 a 4 ? a1 q 得公比 q ? 2 ,故 a n ? a1 q n ?1 ? 2 n ?1 . (Ⅱ) S n ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 1? q 1? 2

又 bn ?

an ?1 S ? Sn 1 1 ? n ?1 ? ? S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ?S ? S ? ??? ?S ? S ? ? ? ... ? ? ?S ? S ? ?? S ?S 2 ? 3 ? n ?1 ? 1 n ?1 ? 1 ? 2 ? n

?1

1 ? ? 1

1 ?

? 1

1 ?

1

1

? 1?

1 2
n ?1

?1

.

【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前 n 项和,以及利用裂 项相消法求和. 【名师点睛】本题利用“若 m ? n ? p ? q ,则 a m a n ? a p a q ” ,是解决本题的关键,同时 考生发现 bn ? 础运算能力.

an ?1 S ? Sn 1 1 是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基 ? n ?1 ? ? S n S n ?1 S n S n ?1 S n S n ?1


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