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河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)


唐山一中 2014—2015 学年度第一学期高二年级第二次月考 数学试题 (理科)
命题人:陈玉珍 审核人:姚洪琪 试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分。请把答案填涂在答题卡上) 1.下列命题是真命题的是 ( ) A. a>b是ac >bc 的充要条件 C. ?x0 ? R, e
2 2
<

br />2

2

B. a> 1, b>1是ab>1 的充分条件 D.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真

x0

?0
2

2. 若当方程 x + y + kx + 2y + k = 0 所表示的圆取得最大面积时,则直线 y = (k - 1)x + 2 的倾斜角α= ( ) 3π A. 4 π B. 4 3π C. 2
2

5π D. 4
2

3. 两 直 线 y = x + 2a,y = 2x + a 的 交 点 P 在 圆 (x - 1) + (y - 1) = 4 的 内 部 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A.- 1 <a<1 5 B.a>1 或<- 1 5 1 C.- ≤a<1 5 D.a≥1 或 a≤- 1 5 )

4. 已知: p :

1 ? 1.q :| x ? a |? 1 若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( x?2 A. (2,3] B. [2,3] C. (2,3) D. ( ??,3]
) A. 1 B.2 C.3 D. 4

5. 某四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等(

6. 已 知 m, n 为 异 面 直 线 , m ? 平 面

?

, n? 平面

?

.直线 l 满足

l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则 (
A. ?

) B. ?

// ? ,且 l // ?

? ? ,且 l ? ?

C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

7 .正 四面体 ABCD 的棱长为 1 , G 是△ ABC 的中心 , M 在 线段 DG 上,且∠ AMB = 90 ° ,则 GM 的长 为 ( A. 1 2 ) B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6

8.如图在三棱锥 S ? ABC 中,底面是边长为 1 的等边三角形,侧棱长均为 2, SO ? 底面 ABC , O 为垂足, 则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为 A. ( )

3 2

B.

1 2

S

A

C O

B

C.

3 3

D.

3 6

9.直三棱柱 ABC

? A1 B1C1 中,?BCA ? 900 ,M 、N 分别是 A1 B1、A1C1 的中点,BC ? CA ? CC1 ,则 BM
( C. )

与 AN 所成的角的余弦值为 A.

1 10
)

B. 2

5

2 2

D.

30 10

10. 若 双 曲 线 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 离 心 率 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 则 其 渐 近 线 方 程 为 ( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 11.已知双曲线错误!未找到引用源。的两条渐近线与抛物线错误!未找到引用源。的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为错误!未找到引用源。, 则 p = ( A.1 B.错误!未找到引用源。 ) D.3 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!

3 2
2 2

C. 2

12.已知双曲线错误!未找到引用源。的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 A. - =1 5 4 ( B. - =1 4 5 试卷Ⅱ(共 90 分) 二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分.请把答案写在答题纸上) 13.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图 形的面积是__________. 14. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P , 从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截面圆的半径分别为 1和 ) D. - =1 6 3

x2 y2

x2 y2

C. - =1 3 6

x2 y2

x2 y2

3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为

? ,则球 O 的表面积为 2

.

15.已知椭圆 C:错误!未找到引用源。的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意一点,若以 F1 , F2 , P 三 点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
2

.

16. 已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点 . 若该抛物线上存在点 C, 使得∠ ACB 为直角 , 则 a 的取值范围 为 .

三、解答题(本题共 6 个小题,其中第 17 题 10 分,其余各题 12 分共计 70 分。请把解答过程写在答题纸上) 17.已知 p : 关于 x 的不等式 数 m 的取值范围.

2 x ? 3 ? m (m ? 0) , q : x( x ? 3) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实

18. 已知过球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6, AB=4.计算球的表面积与体积.

19.如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (1)证明 B1C1⊥CE; (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值; (3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为

2 ,求线段 AM 的长. 6

OP x2 y 2 ? ? 1 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 20. 已知点 P 是椭圆 ? ? .求点 M 的轨迹 16 7 OM
方程,并说明轨迹是什么曲线。

21. .已知抛物线

y 2 ? 4 x( x ? 0) ,是否存在正数 m ,对于过点 (m, 0) 且与抛物线有两个交点 A, B 的任一直线

都有 FA ? FB ? 0 ?若存在求出 m 的取值范围,若不存在请说明理由。

??? ? ??? ?

22.(2009 山东) 设椭圆 E: (I)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?若存在, 写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

??? ?

??? ?

一选择题:

BAAAB

DDDDB

CA

二填空: 2 ? 2 三解答题

16?
17.

[ 2 ? 1, 2 ] 2
(0,3) 18. 54? ; 27 6?

19.解:(方法一) (1)证明:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0), B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0). 易得 B1C1 =(1,0,-1), CE =(-1,1,-1),于是 B1C1 〃 CE =0,

?????

??? ?

?????

??? ?

所以 B1C1⊥CE. (2) B1C =(1,-2,-1). 设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z),

????

???? ? ?m ? B1C ? 0, ? x ? 2 y ? z ? 0, 则? 即? ??? ? m ? CE ? 0, ?? x ? y ? z ? 0. ? ?

消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m=(-3,-2,1). 由(1),B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1, 故 B1C1 =(1,0,-1)为平面 CEC1 的一个法向量.

?????

????? ????? m ? B1C1 ?4 2 7 ????? ? ?? 于是 cos〈m, B1C1 〉= , 7 | m | ? | B1C1 | 14 ? 2 ????? 21 从而 sin〈m, B1C1 〉= . 7 21 所以二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 . 7 ???? ? ??? ? (3) AE =(0,1,0), EC1 =(1,1,1). ???? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? 设 EM =λ EC1 =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有 AM = AE + EM =(λ,λ+1,λ). ??? ? 可取 AB =(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量.
设θ为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角,则

???? ? ??? ? AM ? AB ???? ? ??? ? sin θ=|cos〈 AM , AB 〉|= ???? ? ??? ? AM ? AB


2?

? 2 ? (? ? 1) 2 ? ? 2 ? 2

?

?
3? 2 ? 2? ? 1

.

于是

?

3? 2 ? 2? ? 1 所以 AM= 2 .

?

2 1 ,解得 ? ? , 3 6

(方法二) (1)证明:因为侧棱 CC1⊥底面 A1B1C1D1,B1C1 ? 平面 A1B1C1D1, 所以 CC1⊥B1C1.

5 ,B1C1= 2 ,EC1= 3 , 2 从而 B1E = B1C ? EC1 ,
经计算可得 B1E=
2

2 1

所以在△B1EC1 中,B1C1⊥C1E, 又 CC1,C1E ? 平面 CC1E,CC1∩C1E=C1, 所以 B1C1⊥平面 CC1E, 又 CE ? 平面 CC1E,故 B1C1⊥CE. (2)过 B1 作 B1G⊥CE 于点 G,连接 C1G. 由(1),B1C1⊥CE,故 CE⊥平面 B1C1G,得 CE⊥C1G, 所以∠B1GC1 为二面角 B1-CE-C1 的平面角. 在△CC1E 中,由 CE=C1E= 在 Rt△B1C1G 中,B1G=

3 ,CC1=2,可得 C1G=

2 6 . 3

42 , 3

所以 sin∠B1GC1=

21 , 7

即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

21 . 7

(3)连接 D1E,过点 M 作 MH⊥ED1 于点 H, 可得 MH⊥平面 ADD1A1,连接 AH,AM, 则∠MAH 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角.

2 34 x ,AH= x. 6 6 1 在 Rt△C1D1E 中,C1D1=1,ED1= 2 ,得 EH= 2 MH ? x . 3
设 AM=x,从而在 Rt△AHM 中,有 MH= 在△AEH 中,∠AEH=135°,AE=1, 由 AH =AE +EH -2AE〃EHcos 135°,得 整理得 5x - 2
2 2 2 2

17 2 1 2 x ? 1 ? x2 ? x, 18 9 3

2 x -6=0,解得 x= 2 . 所以线段 AM 的长为 2 .
20.设 M ( x, y ) ,其中 x ?

? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 16( x 2 ? y 2 )
整理得 (16? (i) ? ?
2

? 9) x 2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ? ? ?4, 4? 。

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4
4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ? ? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

当0 ? ? ? 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分。 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;
21. (II)设过点 M( m,0) ( m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 设 l 的方程为 x ? ty ? m ,



? x ? ty ? m ? y1 ? y2 ? 4t 2 2 得 y ? 4ty ? 4m ? 0 , ? ? 16(t ? m) ? 0 ,于是 ? ① ? 2 ? y1 ? y2 ? ?4m ? y ? 4x

又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2

? 1, y2 ) ,


FA ? FB ? 0 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0
又x?

y2 于是不等式②等价于 4

2 y12 y2 y2 y2 ( y y )2 1 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 ? 1 2 ? y1 y2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ] ? 1 ? 0 ③ 4 4 4 4 16 4

把①式代入不等式③有 m ? 6m ? 1 ? 4t ④
2 2

对任意实数 t,4 t 的最小值是 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m ? 6m ? 1 ? 0 ,
2 2

即3? 2

2 ? m ? 3? 2 2

由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 FA ? FB ? 0 ,且 m 的 取值范围是( 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ) 22. 解:假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,设该圆

??? ?

??? ?





线







y ? kx ? m









? y ? kx ? m ? 2 得 ?x y2 ? ?1 ? 4 ?8

x 2 ? 2(kx ? m) 2 ? 8

,



(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k
2

m 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m 2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? k 2 (2m 2 ? 8) 4k 2 m 2 m 2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


,

使

??? ? ??? ? 2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 OA ? OB , 需 使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 ? ? 0 , 所 以 3m 2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
k2 ?

? m2 ? 2 3m 2 ? 8 2 6 2 6 8 2 ? 0 又 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 , 所以 m ? , 即 m ? 或m?? , 因为 8 3 3 3 ?3m ? 8
y ? kx ? m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为

直 线

m2 m2 8 2 6 8 2 2 , r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆的切线 r? ? ? ,r? 2 2 2 3m ? 8 3 3 3 1? k 1? k 1? 8
2

m

y ? kx ? m 都 满 足 m ?

2 6 2 6 2 6 或 m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 3 3 3

??? ? ??? ? x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的 8 4 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 8 2 2 圆 x ? y ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 3


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