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高中物理奥赛《静电场》内容讲解


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《静电场》
【全国物理竞赛知识要点 2003】 库仑定律、电荷守恒定律、电场强度、电场线、点电荷的场强、场强叠加原理、均匀带电球壳壳内的场 强和壳外的场强公式(不要求导出) 、匀强电场、电场中的导体、静电屏蔽、电势和电势差、等势面、点 电荷电场的电势公式(不要求导出) 、电势叠加原理、均匀带电球壳壳内的电势和壳

外的电势公式(不要 求导出) 、电容、电容器的连接、平行板电容器的电容公式(不要求导出) 、电容器充电后的电能、电介 质的极化、介电常数 【内容讲解】 (一) 场强、电势的计算 1、点电荷的电场

2、均匀线分布电荷产生的场强 净电荷均匀分布在一条线上,在空间某点产生的场强,通常可用微积分的方法进行定量计算,但运 用微积分的方法进行定量计算,必须确定场强的方向才能方便可行。下面将介绍一种等效方法来求解均 匀线分布电荷的场强问题。 如图所示,线段 AB 上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷,其旁边有一点 P,P 点到直线 AB 的距 离为 R,则 P 点的电场强度大小、方向如何确定?现以 P 点为圆心以 R 为半径做一个与直线 AB 相切的 圆弧,认为圆弧上也均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷,今在 AB 上 C 点取一微元△L,在圆弧上对应 取下微元△L/(取法如图) ,令 PC=r,则微元△L 在 P 点产生的场强是:

Ei = k


ρ .?L
, sin θ

r2 r?θ ?L = sin θ =k

=

所以: E i

ρ .?θ
R

R r

?l

/

在 P 点产生的场强是:

Ei = k
/

ρ .?L/
R
2

=k

ρ .R.?θ
R2

所以: E i

/

=k

ρ .?θ
R

由以上论证可知: E i

= Ei

/

,且二者方向也相同。可见 ?L 在 P 点产生的场强可由 ?L 在 P 点产
/

第1页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 生的场强代替,不难得出,AB 直线上的电荷在 P 点产生的场强,可由图中 MEN 弧在 P 点产生的场强 来代替。下面将介绍均匀分布在圆弧上的电荷在圆心处产生的场强的计算公式。

如图所示,半径为 R 的圆弧 AB,其圆心角为θ,其上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷,圆心 O 点的场强设为 E o,由对称性可得,E o 的方向一定沿 AB 的连线的中垂线向右,即图中 x 方向,取圆弧上 一微元△Li,它在 O 点的场强为 E i

=k

ρ .?Li
R2

,所以:

E o = ∑ E i cos α = ∑ k


ρ .?Li
R
2

cos α =

kρ R2

∑ ?L cosα
i

∑ ?.L cosα = AB
i

则: E 0

=

所以: E 0

=

2kρ θ sin R 2

kρ kρ θ AB = 2 .2 R sin 2 2 R R

---------------------------------------------------------①

若对于无限长均匀带电直线,在距离直线为 R 的一点(相当于①式中θ=π) ,场强为

E=

2kρ R

---------------------------------------------------------②

若在均匀带电线段的延长线上一点,场强公式又如何? 如图所时,在线段 AB 上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷,其旁边有一点 P,P 点到线段 AB 的 A、B 两点的距离分别为 d1、d2,点 P 到线段 AB 的垂直距离为 R,线段 AB 的长为 L,点 P 与 A、B 两 点的连线之间的夹角为θ,则由公式①得,P 点的场强为:

E=

2kρ θ sin R 2

1 1 d 1 d 2 sin θ = LR 2 2


R=

d1 d 2 sin θ L

代入 P 点的场强公式整理得:

E=

Lkρ d 1 d 2 cos

θ
2

若在长为 L 的均匀带电(线电荷密度为ρ)线段 AB 的延长线上一点 P,P 点距离线段 AB 较近的一 第2页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 点的距离为 d,则根据上述表达式, d 1

=d

d 2 = d + L θ = 0 ,代入得: E =

Lkρ d (d + L)



E=

kρ kρ ? -----------------------------------------------------③ d d+L
3、均匀面分布电荷的场强 (1)无限大的带电平面的场强

(2)均匀带电球面的场强 参考均匀带电圆弧在圆心处产生的场强公式的推导,同样可推出面电荷密度为σ的均匀带电球冠在 球心处产生的场强为:

E=

kσ S R2 kσ π (2 Rh ? h 2 ) 2 R

式中 S 为球冠的底面积,R 为球面半径。若球冠的高为 h,则面电荷密度为σ的均匀带电球冠在球 心处产生的场强还可表示为:

E=

(3) 、球面分布电荷的电场 均匀球分布电荷对球外空间产生的电场,等价于置于球心的等量点电荷产生的电场。处理不均匀球 分布电荷的电场问题时,一般是列出球心的电势方程来解决问题。 半径为 R、带电量为 Q 的球面,在球心处产生的电势为: ? 球面上的电荷在球面内各点产生的电势均为 ? 4、均匀体分布电荷的场强 问题、把半径为 R 的球体用过球心的三个平面分割成八等分,取其中一份使之均匀带电,电荷体密 度为ρ,求此八分之一带电球体在球心处产生的场强。

=k

Q ;若电荷在球面上均匀分布,则 R

=k

Q ,在球面内各点产生的场强均为零。 R

第3页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 5、电偶极子的电场

例 1、例 1、线电荷密度为ρ的无限长均匀带电线,弯成图中所示的形状,若圆弧半径为 R,图中 O 点的场强为 。

例 2、边长为 L 的正方形 ABCD,现将电荷+q,-q,+q,-q 依次放在 A,B,C,D,四点上,求此过程中外力做 的总功。

例 3、图中实线代表三根首尾相接的绝缘细棒,上面均匀分布着相同的电荷,A 点是三角形 abc 的中 心,B 点是和 A 点关于 bc 边对称的点。已知 A、B 两点的电势分别为 ? A 、 ? B ,若将棒 ab 去掉,而其 它两棒的带电情况不变,求这时 A、B 两点的电势分别为多少?

例 4、如图所示,有一绝缘材料的半球面上均匀分布着正电荷,AOB 为其底面的一条直径,OC 与 AOB 垂直,P 为 OB 上一点,D 与 C 关于 O 对称。回答下列问题: (1) 将一正电荷从 P 移到 C 电场力做正功还是负功? 第4页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 (2) (3) 将一正电荷从 P 移到 D 电场力做正功还是负功? 将一正电荷从 P 移到 A 电场力做正功还是负功?

例 5、一个半径 r = 10cm 的金属球放置于半径 R = 20cm 的薄金属空心球内,两球同心。内球靠一根 长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量 Q = 10-8C,求外球电位。

例 6、如图所示 A、B、C 为三个金属薄球壳,三者的半径分别为 rA=10cm、rB=5cm、rC=20cm,所带 的电量分别为 QA=10-9C,QB=0,QC=-2×10-9C。A 和 B 为同心放置,C 远离 A、B。现在 A 上开一小孔, 并用一金属细丝穿过此小孔将 B 与 C 连接,然后立即取走此金属细丝。试问经此连接后球壳 B 将带上多 少电量?(被金属丝带带走的电量极少,可忽略不计。 )

例 7、半径为 r 的金属球远离其他物体,通过一电阻为 R 的电阻器接地,电子束从远处以速度 v 落到 金属球上,每秒钟落到球上的电子数为 n,试求金属球每秒钟释放的能量 Q 及球上的电量 q。

例 8、一球壳内外半径分别为 R1、R2,球壳均匀带电,体电荷密度为ρ,试求离球心距离为 r 处一点 的场强及电势。

第5页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 (二)电场中的导体、电像法、感应电荷 1、导体对电场的屏蔽现象

图甲
/ /

图乙

在图甲中,电荷 + q 与导体表面上的感应电荷 ? q 和 + q 对导体表面 S 以内空间的场强总贡献为 零(在 S 面以内各点产生的场强为零) ;在图乙中,导体内有两个空腔,空腔内各有一点电荷 q1 、 q 2 , 则 q1 与它在内壁上的感应电荷对 S1 以外的空间电场总贡献为零, q 2 与它在内壁上的感应电荷对 S 2 以 外的空间电场总贡献为零。 2、电像法之无限大金属平面的电像

3、电像法之金属球壳的电像 在计算球壳外部电场的问题时,球壳上的感应电荷可等价为 q :
/

q/ = ?

R q L

x=

R2 L

例 1、如图所示,半径为 R 的金属球内有两个空腔,空腔 A 内有一点电荷+q1, B 是一个半径为 r 的球形空腔,在其球心处有一点电荷+q2,在金属球外有一点 M 距离球心为 l1 ( l1 内有一点 N,距离点电荷+q2 为 l 2 ( l 2

> R) ,在球形空腔 B

< r ) M、N 两点的场强和电势。 ,求

第6页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 2、如图所示,无限大的金属板接地,距金属板距离为L的A点,有一正电荷+Q,金属板上一点 P,P距O为x.求P点的场强大小和方向.O点、P点的电荷面密度各为多少?

例 3、两个互成直角的很大的金属板间有一距两板距离均为d的点电荷,试确定q受的电场力大小和 方向。

例 4、一个接地的无限大的金属板前垂直放置一半无限长均匀带电直线,该带电直线的一端距金属 板距离为 d,如图所示,带电直线上电荷的线密度为ρ,求 ①垂足 O 处的面电荷密度为多少? ②平面上距 O 的距离为 x 处的面电荷密度为多少?

例 5、如图所示,半径为 R 的接地薄球壳内放一点电荷 q,该点电荷距球心的距离为 荷受到感应电荷的吸引力。

R ,求该点电 2

例 6、有一半径为 R 的接地金属球,离球心距离为 L(L>>R)处放一正点电荷,将此系统放入一匀 第7页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 强电场 E 中,E 的方向与 L 平行,如图所示。求点电荷的电量为多少时,才能使它受到的电场力为零。

例 7、如图所示,内外半径分别为 R1、R2 的均匀金属球壳,球心为 O ,其内有一点电荷+Q 距 O 点 为 R/2。 (1) P 点距电荷+Q 为 r,且 P、O、Q 在一条直线上。已知 P 点场强为 E,求(1)内壁上感应电 荷在 P 点产生的场强为多大?(2) M 为球内壁上的一点, ∠ OMQ=α, ∠ MQO 为锐角,M 点场强为 Eo,求内壁上感应电荷在 M 点产生的场强为多大?

例 8、如图所示,两不带电的金属球壳同心放置,内外球壳的半径分别为 a、b(a<b) ,内球壳接地。 在距离球心为 L 处放置一点电荷+Q,平衡时,求内球壳的带电量及外球壳的电势。

第8页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 9、半径为 R1 的金属球与半径为 R2 ( R2 > R1 )的薄金属球壳同心放置,且用细导线连接,在金 属球和金属球壳之间距离球心为 R 处固定一正点电荷+Q,如图所示。求: (1)金属球上的感应电荷 (2)薄金属球壳内外壁上的感应电荷

例 10、如图所示,在电场强度为 E 的匀强电场中,放着一个半径为 R 的金属球,求平衡后金属球上 各处的感应电荷面密度 σ

(三)平行板导体组的带电问题、电容、电容器 1、平行板导体组的带电问题

2、几种常见电容器的电容 ①平行板电容器 ②球形电容器

C=

εS
d

真空中孤立球体: C

= 4πε 0 R
第9页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 同心球壳,内外半径各为 R1、R2: C

=

4πε 0 R1 R2 R1 R2

(球壳间为真空)

③圆柱电容器

长 L,内外柱面半径各为 R1、R2,其间为真空: C

=

2πε 0 L R ln 2 R1

④电容器储存的静电能

W=

1 1 Q2 CU 2 = QU = 2 2 2C

[论证]:给电容器充电克服电场力所做的功就是电容器增加的静电能,所以,电容器储存的能量为:

W = ∑ U ?q = ∑

q 1 ?q = ∑ q?q C C

∑ q?q = 2 q
∴W =

1

2

q2 1 1 = CU 2 = qU 2C 2 2

⑤电容器的连接:串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和;并联总电容等于每个电容之和。 例 1、两个面积均为 S 的圆形金属板 A、B,带电量各为 Q、2Q,今将两金属板正对平行靠近,距离为 d(d 很小) ,求两板间的电势差。

例 2、三块面积均为 S 且靠得很近的金属板,分别带电,电量分别为 Q、2Q、-Q,试求六个导体面上 的电荷面密度各是多少?

例 3、如图所示,空气平行板电容器是由两块相距为 0.5mm 的薄金属平板 A、B 构成,若将此电容 器放在一金属盒 K 内,金属盒上下两壁与 A、B 分别相距 0.25mm,在不计边缘效应时,电容器电容变 为原来的 倍。若将盒中电容器的一极板与金属盒连接,这时电容又变为原来的 倍。

例 4、 由许多电容量都为 C 的电容器组成一个多级网络,如图所示,当无限地增加级数,整个网络 第 10 页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 的中电容为 。

例 5、将一只电容为 Co 的空气平行板电容器接在电源上,并维持两板间的电势差 Uo 不变。若用外力 将两平行板的距离增加一倍(不考虑边缘效应) 。问: (1)静电势能改变多少? (2)电场力对电源做多少功? (3)外力克服静电力做多少功?

例 6、如图所示,开始时断开 K,给 C1 充电到电压 U, 再闭合 K, C2 的带电量为 (C2=C3)

则稳定后 C1 的带电量为



例 7、3 个相同的电容与 2 个电池连接成如图所示的电路,已知ε1=3V, ε2=4.5V,当 S1、S2 接通 后,求 Uao、Ubo、Uco 。

例 8、如图所示,平行金属板 A、B、C 正对面积为 S,A 与 B、B 与 C 间距离分别为 d 1 、 d 2 ,AB 间为真空,BC 间充有相对介电常数为 ε r 的电解质,现在使 BC(C 板接地)间充电至电压为 U(B 板电 势高) ,然后再闭合开关 S,电源提供的电压为 U 0 ,求稳定后 AB 间的场强。

第 11 页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 9、如图所示的电路,电源电动势为 ε ,三个电容器电容均为 C,两个电阻阻值都是 R,开始时 三个开关都处于断开状态。现闭合 K1,稳定后再断开 K1,再将 k 2 、 k 3 同 时闭合,求 (1)每个电阻上释放的热量是多少? (2)当中间的电容器电压减到

ε
10

时,流过两电阻的电流是多少?

例 10、如图所示,电容器 C1=C2=C3=C,电源电动势为 E,单刀双掷开关先接 a,再接 b,然后再接 a,而后接 b,如此反复。且每次接通前电路都达到了稳定,求 (1) (2) 开关第 n 次接 b 稳定后,各电容器两端的电压各是多少? 当开关反复接通的次数无限增多时,线路中电阻上消耗的总热量为多少?

例 11、电容式电压计是空气平行板电容器,它一个极板固定不动,另一个极板可以垂直板面方向平 动。劲度系数为 k0 的弹簧固定在可动极板上,如图所示。两极板之间空隙的变化作为待定电压的量度, 求使用此仪器可以测量的最大电压。已知极板面积为 s ,当电压为零时两极板之间空隙为 d 。

第 12 页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 12、长方形板伸出水平放置的电容器中部,板可以在电容器两极板之间无摩擦的滑动。电容器接 到恒定电压为 U 的电源上,如图所示。在某一时刻无推动地放开板,释放时,板有一半长度在电容器中。 求板的速度与时间的关系, 并作出此关系图像。 已知板的几何尺寸为 b × b × d , 它的绝对介电常数为 ε , 密度为 ρ ,电容器两极板间的距离恰好为 d ,其几何尺寸为 b × b 。

(四)带电粒子在电场中的运动 1、运用开普勒定律解决带电粒子在电场中的运动问题 例 1、如图所示,固定的点电荷+Q 的电场中有一点 P,P 距+Q 距离为 R,质量 m,电量-e 的一个电 子运动到 P 点时的速度为 v (1) (2) (3)

=

2kQe mR

,v 的方向与 PQ 连线成 600 角,试问:

电子还能再次返回 P 点吗? 运动中电子距+Q 的最小距离为多少? 当电子距+Q 距离为 2R 时,其速度大小、方向如何?

第 13 页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 2、固定的点电荷+Q 的电场中有一点 P,P 距+Q 距离为 R,质量 m,电量-e 的一个电子运动到 P 点时的速度为 v

=

kQe mR

,v 的方向与 PQ 连线成 300 角,如图所示。试问电子还能返回 P 点吗?若能

试求出再次返回 P 点的时间;若不能,试说明理由。

例 3、质量为 m 、电量为 Q 的粒子放在离无限大导体板 l 处,现释放该粒子,求它经过多长时间飞 到板上?重力不计。

2、运用简谐运动规律解决带电粒子在电场中的运动问题 例 1、在-d≤x≤d 的空间区域内,电荷(体)密度ρ>0 为常数,其他区域均为真空。若在 x=2d 处 将质量为 m、电量为-q,不计重力的带负电质点由静止释放,试问经多长时间它能到达 x=0 的位置?

第 14 页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 2、边长为 L 的正方形四个顶点各固定电量均为+Q 的点电荷,在对角线交点上放置一质量为 m、 电量为+q 的自由点电荷,今将+q 沿对角线方向移动一小距离,若电荷+q 只受库仑力作用,试证明它将 做简谐运动,并求出其周期。

例 3、如图所示,两同轴带电无限长半圆柱面,内外半径分别为 a、b,在两柱面之间只有沿径向向 外的电场,场强分布为: E

=

k r

,式中 k 为常数,r 为观察点到圆心的距离。有一质量为 m、电量为-q

(q>0)的不计重力的粒子,以一定初速度 vo 从左端射入,初速度方向既与圆柱面轴线垂直由与入射处 直径垂直。 (1)初速度 v o

= ? 粒子可沿半径为 R 的圆周以圆柱面轴线为圆心做匀速圆周运动。

(2) 若入射方向与上述 vo 方向偏离一个很小的角度 β , 其他条件不变, 则粒子将偏离原来的轨道, 设新轨道与原来的轨道相交于 P 点,求 ∠AOP

=?

第 15 页

清大基石国际教育科技(北京)有限公司 例 4、 长为 l 的轻杆上端可绕 O 点在竖直面内自由旋转, 下端固定一质量为 m 的小球, 小球带有 Q 的正电荷,在 O 点正上方固定一负点电荷 q ,点电荷 q 到 O 点的距离为 d ,求小球绕 O 点在竖直面内 做为振动的周期,并确定 Q 满足什么条件时才能发生上述振动。

第 16 页


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