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河南省名校2013—2014学年高三上学期第二次月考(11月)--数学文


河南省名校 2013—2014 学年上期高三 11 月月考试试卷





(文)

(120 分钟 150 分)

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分)
1.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y

? x ? 1, x ? R} ,则集合 M ? N ? (
2

)

A. (?2, ??)

B. ( ?2,3)
2

C. [1,3)

D. R

2. 关于 x 的二次方程 x ? (2 ? i ) x ? 1 ? ai ? 0, (a ? R) 有实根,则复数 z ? A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

2 ? ai 对应的点在( a?i



D. 第四象限

3.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 [ 实数 x 的取值范围是( A. (??, ?2] C. [ ?1, 2] ) B. [?2, ?1] D. [2, ??)

1 1 , ] 内,则输入的 4 2

开始 输入 x

4.直线 l 与函数 y ? sin x( x ? ? 0, ? ?) 的图像相切于点 A , 且 l // OP ,O 为坐标原点,P 为图像的极大值点, 与 x 轴交于点 B , 过切点 A 作 x

x ? [?2, 2]




??? ? ??? ? 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA?BC =(
A. 2

f ( x) ? 2



f ( x) ? 2 x

? B. 2

C.

?2
4

D.

?2 ?4
4

输出 f ( x) 结束

? ? ?? 5. 已知 a, b 为 非零向 量,则“ 函数 f ( x) ? (ax ? b) 2 为 偶函数 ”是
“ a ? b ”的 (

?

?

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

? y ? x, ? 6.已知 z=2x +y,x,y 满足 ? x ? y ? 2, 且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值为( ? x ? a, ?
A.

1 2
2 2

B.

1 4

C. 2

D. 4

7.若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 (a, b) 向圆所作的切线长的 最小值是( A. 2 ) B. 3

C. 4

D.6

8. 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD , 将 其 沿 对 角 线 BD 折 成 四 面 体 ) A'?BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A'?BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为( A.

3 ? 2

B. 3?

C.

2 ? 3

D. 2?

9、已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是( (A)两个函数的图象均关于点 ( ?

)

? , 0 ) 成中心对称 4

(B)①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移 (C)两个函数在区间 (?

? ? , ) 上都是单调递增函数 4 4

? 个单位即得② 4

(D)两个函数的最小正周期相同 10. 设 F1, F2 分别为双曲线
2 |PF | x 2 y2 1 - = 1 ( ) 的左、 右焦点, P 为双曲线右支上任一点。 若 a ? 0, b ? 0 |PF | a 2 b2 2

的最小值为 8 a ,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( A. (1, 3 ] B. (1,3) C. (1,3]

) D.[ 3 ,3)

11. 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x), 称 f ( x) 为“局部奇函数” ,若 ,则实数的取值范围是( f ( x) ? 4 x ? m2 x ?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” )

A.1 ? 3 ? m ? 1 ? 3

B.1 ? 3 ? m ? 2 2 D. ? 2 2 ? m ? 1 ? 3

C. ? 2 2 ? m ? 2 2

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的以 4 为周期的函数, ”当 x∈(-1,3]时,f(x)=
2 ? f ( x) 1 ? 1-x ,x ? (-1,1] 其中 t>0 .若函数 y = - 的零点个数是 5 ,则 t 的取值范围为 ? 5 x t (1 - x - 2 ), x ? (1,3] ? ?

(

) A. (

2 ,1) 5

B. (

2 6 , ) 5 5

C. (1,

6 ) 5

D. (1,+∞)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分
13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________. 14. 已知向量 a 与b 的夹角为 120°,且| a |?| b |? 4, 那么b(2a ? b ) 的值为_______. 15.在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n , 若

?

?

?

?

?

?

?

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于 12 10
3 , +∞) , 2

2 2 2 2

2 2 2 2

.

正视

1

1
侧视

16.设函数 f ( x ) =x -1,对任意 x ∈ [

2

x f ( ) - 4 m 2 f ( x ) ≤ f ( x -1) +4 f ( m ) 恒 成 立, m
则实数 m 的取值范围是

1 1
俯视

三、解答题:共 70 分.解答必须写出必要的文字说明或解答过程
17. (本小题满分 12 分)已知 A、B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运动, ?MCN ?

2 ? ,在 3

?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ?
M A

3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,

并求周长的最大值.
θ N B C

18. (本小题满分 12 分) 设公比大于零的等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 1 , S 4 ? 5S 2 , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n bn , n ? N .
2
?

(Ⅰ)求数列 ?a n ?、 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Cn ? ( S n ? 1)( nbn ? ? ) ,若数列 ?Cn ?是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

19. 如图,在 ?ABC 中, ? B =

?
2

, AB? BC? 2, 为 P AB 边上一动点,PD//BC 交 AC 于 点 D, 现将

?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA' ? 平面PBCD.
(1)若点 P 为 AB 的中点,E 为 AC的中点,求证:A B ? DE.
' '

(2)当棱锥 A ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;
'

20.如图,已知椭圆 C :

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 ?1 , 0 ? ,两个焦点与短轴的一个 a 2 b2
y
Q

端点构成等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q ? 4 , 0 ? 且不与坐标轴垂直的直线 ? 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,设点 A 关于 x 轴的对称点为 A 1 . (ⅰ)求证:直线 A 1B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐标; (ⅱ)求△ OA 1B 面积的取值范围.
A

O

B

x

21.已知函数 f ( x) ? ln x x? k( k 为常数, , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) e ? 2.71828... 是自然对数的底数)

e

处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x 2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0 ,

g( x) ? 1 ? e?2 .
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD//EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC =2,BD =9,求 AD 的长。

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为:? ( t 为参数) . 以 ?y ? 2 t ? ? 2
坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(Ⅰ)求曲线 C 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于点 M , N ,若点 P 的坐标为 (1, 0) ,求 | PM | ? | PN | 的值.

24.(本小题满分 10 分)已知不等式 | x ? 2 | ? | x ? m |? 3 的解集为 {x | ?2 ? x ? 1} . (Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )若 a ? 2b ? 3c ? m ,求 a ? 2b ? 3c 的取值范围.
2 2 2

2013—2014 学年上期高三 11 月月考试试卷 数 学 (文) 参考答案
一、

选择题:CDBDC BCACC BB
3 ; ?

二 、 填空题 三、

-8 ;

-2013;

(-∞, -

3 3 ]∪ [ , +∞) . 2 2

解答题:17. 解(Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,
2 1 ? , cos C ? ? , 3 2
2 2

? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又? ?MCN ?
a 2 ? b2 ? c 2 1 ?? , ? 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?

??

1 , 2

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又? c ? 4 ,? c ? 7 . (Ⅱ)在 ?ABC 中,

AC AC BC AB ? , ? ? ? sin ? sin?ABC sin? BAC sin ? ACB

BC 3 ? ?2, ?? ? sin 2? sin ? ? ? ? 3 ?3 ?

?? ? AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 2 3? ? ?2 ?
又? ? ? ? 0,

? ?

?? ? ? 2? , ? ,? ? ? ? ? 3? 3 3 3

?当 ? ?

?
3

?

?
2

即? ?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . 6

18、解: (Ⅰ)由 S 4 ? 5S 2 , q ? 0, 得 又?

q ? 2, an ? 2 n ?1

2 ? bn n ?1 ?Tn ? n bn ? ? ( n ? 1) , 2 b n ? 1 ? T ? ( n ? 1 ) b n ? 1 n ?1 ? n ?1

则得

bn bn ?1 bn ?2 b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? bn ?1 bn ?2 bn ?3 b1 n ? 1 n n ? 1 4 3 n(n ? 1)
2 ,当 n ? 1 时也满足. n( n ? 1)

所以 bn ?

n n (Ⅱ) Tn ? 2 ? 1 ,所以 Cn ? 2 (

数列,求实数 ? 的取值范围.

2 ? ? ) ,使数列 ?Cn ?是单调递减)设,若数列 ?Cn ?是单调递减 n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N ? 都成立, n ? 2 n ?1 4 2 4 2 即 ? ?? ? 0? ? ? ( ? ) max , n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 4 2 2n 2 , ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)( n ? 2) n ? 3 ? 2 n 4 2 1 1 ? ) max ? , 所以 ? ? . 当 n ? 1 或 2 时, ( n ? 2 n ?1 3 3 19 解: (1)证明:作 A?B 得中点 F,连接 EF、FP 1 由已知得: EF // BC //PD ? ED // FP 2 ?A?PB 为等腰直角三角形, A?B ? PF 所以 A?B ? DE .
则 Cn ?1 ? Cn ? 2 n ( (2)设 PA ? x ,则 VA?-PBCD ?

1 1 x2 PA ? S 底面PDCB ? x(2 ? ) 3 3 x

令 f ( x) ?

1 x2 2 x x3 x( 2 ? ) ? ? , ( x ? 0) 3 2 3 6

则 f ?( x) ?

2 x2 ? 3 2
2 3 ) 3
2 3 3

x
f ?( x) f ( x)
由上表易知:当 PA ? x ?

(0,

(

2 3 ,?? ) 3

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

2 3 时,有 V A?-PBCD 取最大值。 3

20解:(Ⅰ)因为椭圆 C 的一个焦点是 ?1 , 0 ? ,所以半焦距 c ? 1 . c 1 椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以 ? ,解得 a ? 2 , b ? 3 . a 2 2 2 x y ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 4 3 x 2 y2 ? ? 1 联立并消去 x 得: (Ⅱ)(i)设直线 l : x ? my ? 4 与 4 3 ? 3m2 ? 4 ? y2 ? 24my ? 36 ? 0 .记 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y2 ? ,
?24m 36 . , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m2 ? 4 由A关于 x 轴的对称点为 A1 ,得 A1 ? x1 , ? y1 ? ,根据题设条件设定点为 T ? t , 0 ? , y2 y ? 1 . 得 k TB ? k TA1 ,即 x 2 ? t t ? x1 y1 ? y2 ?

所以 t ?

即定点 T ?1 , 0 ?

2my1 y2 x 2 y1 ? y2 x1 ? 4 ? my2 ? y1 ? ? 4 ? my1 ? y2 ? 4? ? 4 ? 3 ?1 ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

8分

(ii)由(i)中判别式 ? ? 0 ,解得 m ? 2 . 可知直线 A1B 过定点 T ?1 , 0 ? 1 1 所以 S?OA1B ? OT ? y2 ? ? ? y1 ? ? y2 ? y1 2 2 1 24m 4 S?OA1B ? ? 4 4 2 4 ,令 t ? m ,记 ? ? t ? ? t ? ,得 ?? ? t ? ? 1 ? 2 ,当 t ? 2 时, 2 4 ? 3m 得 m? 3t 3t 3m y
4 在 ? 2 , ? ? ? 上为增函数, 3t 4 2 8 3 3 ?2? ? 所以 m ? ,得 0 ? S?OA1B ? 4 ? ? , 3m 3 3 8 2 ? 3? 故△OA1B的面积取值范围是 ? 0 , ? . ? 2?

?? ? t ? ? 0 . ? ? t ? ? t ?

A1

O

Q

x

B

A

(21)解:

1 ? ln x ? k (Ⅰ) f '( x) ? x ,依题意, f '(1) ? 1 ? k ? 0 ? k ? 1 为所求. ex e
(Ⅱ)此时 f '( x) ? x

1 ? ln x ? 1 ex

( x?0)

记 h( x) ? 1 ? ln x ? 1 , h '(x) ? ? 12 ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 (0 , ??) 单减,又 h(1) ? 0 ,

x x x 所以,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '( x) ? 0 , f ( x) 单增; 当 x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '( x) ? 0 , f ( x) 单减.
所以,增区间为(0,1) ; 减区间为(1, ??) .

(Ⅲ) g( x) ? ( x 2 ? x) f '( x) ? 1 ?x x ? (1 ? x ln x ? x) ,先研究 1 ? x ln x ? x ,再研究 1 ?x x .

e

e

① 记 i( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? 0 , i '( x) ? ? ln x ? 2 ,令 i '( x) ? 0 ,得 x ? e?2 , 当 x ? (0 , e?2 ) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单增; 当 x ? (e ?2 , ??) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单减 . 所以, imax ( x) ? i(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,即 1 ? x ln x ? x ? 1 ? e?2 . ② 记 j( x) ? 1 ?x x , x ? 0 , j '( x) ? ? x ,所以 j( x) 在 (0 , ??) 单减, x ?0 所以, j( x) ? j(0) ? 1,即 1 ?x x ? 1 综①、②知, g( x) ? 1 ?x x (1 ? x ln x ? x) ? 1 ?x x (1 ? e?2 ) ? 1 ? e?2 .

e

e

e

e

e

22. (1)证明:连接 AB , Q AC 是 e O1 的切线,??BAC ? ?D . 又 Q ?BAC ? ?E,??D ? ?E.? AD / / EC. (2) Q PA 是 e O1 的切线, PD 是 e O2 的割线,

? PA2 ? PBgPD. ? 62 ? PBg( PB ? 9) .? PB ? 3 .又 e O2 中由相交弦定理,
得 PAgPC ? BPgPE ,? PE ? 4 . Q AD 是 e O2 的切线, DE 是 e O2 的割线,

? AD2 ? DBgDE ? 9 ?16. ? AD ? 12.

23.解: (Ⅰ)由 ? ? 2 2 sin(? ?
2

?
4

) ,得 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,
2 2

当 ? ? 0 时,得 ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? , 对应直角坐标方程为: x ? y ? 2 y ? 2 x . 当 ? ? 0 ,? 有实数解,说明曲线 C 过极点,而方程 x ? y ? 2 y ? 2 x 所表示的曲线也 过原点.
2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 .
2 2

? 2 ? 2 2 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 ? , ? 2 t? ? ? ( 2 t ? 1) ? 2 ? ? 2 即 t ? 2t ? 1 ? 0 ,由于 ? ? 6 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,
则 t1t2 ? ?1 . ……5 分 ∵直线 l 过点 P (1, 0) , ∴由 t 的几何意义,可得 | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? 1. 24.解: (Ⅰ)依题意,当 x ? 1 时不等式成立,所以 3? | 1 ? m |? 3 ,解得 m ? 1 , 经检验, m ? 1 符合题意. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 2b ? 3c ? 1.根据柯西不等式,
2 2 2

2

得 (a ? 2b ? 3c) ? (1 ?
2 2

2 ? 3 )[ a 2 ? ( 2b) 2 ? ( 3c) 2 ] ? 6

2

2

所以 ? 6 ? a ? 2b ? 3c ? 6 , 当且仅当 a ? b ? c ?

6 6 时,取得最大值 6 , a ? b ? c ? ? 时,取得最小值 ? 6 , 6 6

因此 a ? 2b ? 3c 的取值范围是 [ ? 6 , 6 ] .


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