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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:9.3 圆的方程


9.3 圆的方程

第九章

9.3

圆的方程 -2-

1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题.

第九章

9.3

圆的方程 -3-

1.圆的定义 在平面内

,到 圆. 确定一个圆最基本的要素是 2.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中

定点 的距离等于

定长 的点的

// 集合 叫做

圆心 和 半径 .

(a,b) 为圆心, r 为半径长. 2 2 2 特别地,当圆心在原点时,圆的方程为 x +y =r .

第九章

9.3

圆的方程 -4-

3.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, (1)当
1 2

D2+E2-4F>0

时,表示圆心为 - ,-

2

2

,半径长为

2 + 2 -4F的圆; (2)当 (3)当

D2+E2-4F=0 D2+E2-4F<0

时,表示一个点 - ,-

2

2

;

时,它不表示任何图形;

(4)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 ① A=C≠0 , ② B=0 , ③ 2 + 2 -4AF > 0 .

第九章

9.3

圆的方程 -5-

想一想 A=B≠0 是方程 Ax2+By2+Dxy+Ex+Fy+H=0 表示圆的什么条 件?
答案:必要不充分条件.

第九章

9.3

圆的方程 -6-

4.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点 M(x0,y0),

(x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; 2 2 2 (2)点在圆外: (x0-a) +(y0-b) >r ; 2 2 2 (3)点在圆内: (x0-a) +(y0-b) <r .
(1)点在圆上:

第九章

9.3

圆的方程 -7-

基础自测
1.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是( A. <m<1 C.m<
1 4 1 4

)

B.m>1 D.m< 或 m>1
1 4

关闭

方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是(4m)2+(-2)2-4×5m>0, 即 m< 或 m>1.
关闭

1 4

D
解析 答案

第九章

9.3

圆的方程 -8-

2.圆心在 y 轴上,半径为 1 且过点(-1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-3)2=1 C.(x-2)2+y2=1 B.x2+(y-2)2=1 D.(x+2)2+y2=1

)

关闭

设圆心(0,b),半径为 r,则 r=1.∴ x2+(y-b)2=1.又圆过点(-1,2),代入得 b=2, ∴ 圆的方程为 x2+(y-2)2=1.
关闭

B
解析 答案

第九章

9.3

圆的方程 -9-

3.方程|x|-1= 1-(-1)2 所表示的曲线是( A.一个圆 C.半个圆
由题意得

)

B.两个圆 D.两个半圆
关闭

2 2 ( 1 ) + ( y 1 ) = 1, 即 ≥ 1 ( + 1)2 + (y-1)2 = 1, 或 ≤ -1. 故原方程表示两个半圆.

(||-1)2 + (y-1)2 = 1, ||-1 ≥ 0.

关闭

D
解析 答案

第九章

9.3

圆的方程 -10-

4.圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为

.

关闭

设圆的方程为 x2+y2=a2(a>0),由 ∴ x2+y2=2.

|-2| =a,∴ a= 1+1

2.
关闭

x +y =2
解析 答案

2

2

第九章

9.3

圆的方程 -11-

5.圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d=

.

关闭

圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心为 C(1,2), 所以圆心 C 到直线的距离为
|3×1+4×2+4| 32 +42

=

15 =3. 5
关闭

3
解析 答案

第九章

9.3

圆的方程 -12-

考点一 求圆的方程
【例 1】圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0 )

关闭

设圆心为(0,b),半径为 R,则 R=|b|, ∴ 圆的方程为 x2+(y-b)2=b2. ∵ 点(3,1)在圆上,∴ 9+(1-b)2=b2,解得 b=5. ∴ 圆的方程为 x2+y2-10y=0.
B
解析 考点一 考点二 考点三

关闭

答案

第九章

9.3

圆的方程 -13-

方法提炼 常见的求圆的方程的方法有两种:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐 标和半径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法,它的应用关键是根据 已知条件选择标准方程还是一般方程.如果给定的条件易求圆心坐标和半 径长,则选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及 圆上多点,常选用一般方程求解.

考点一

考点二

考点三

第九章

9.3

圆的方程 -14-

举一反三 1 圆心在抛物线 x2=2y(x>0)上,并且与抛物线的准线及 y 轴
都相切的圆的方程是( A.x2+y2-x-2y+1=0 B.x2+y2-2x-y+1=0
2 2 设圆心坐标为
关闭

)

C.x +y

2 1 2 0 , ( x > 0), ∵ 抛物线 x =2 y 0 0 -x-2y+2 =0 4

的准线方程为 y=- , 1,
1 2

1 2

2 1 0 由题意知 x = + ? 所求圆的圆心坐标为 1 x0=1,∴ 2 02 2 2 D.x +y -2x-y+ =0

,半径为 1.
关闭

4

∴ 所求圆的方程为(x-1) + D

2

1 2 =1 . 2

解析 考点一 考点二 考点三

答案

第九章

9.3

圆的方程 -15-

考点二 与圆有关的最值问题
【例 2】 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.则 y-x 的最大值为 x2+y2 的最小值为 . ;

关闭

圆的标准方程为(x-2) +y =3.(1)y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距, 当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时
|2-0+| 2

2

2

= 3,解得

b=-2± 6.所以 y-x 的最大值为-2+ 6. (2)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,原点与圆 心的连线上,与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离 关闭
-2+ (2 6-0)7 2 -4 3 为 + (0-0)2 =2,所以 x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.
解析 考点一 考点二 考点三 答案

第九章

9.3

圆的方程 -16-

方法提炼 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如 μ=
- 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; -

(2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平 方的最值问题.

考点一

考点二

考点三

第九章

9.3

圆的方程 -17-



+1

举一反三 2 若实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0,则+1的最大值为
=
-0 ,∴ 表示过点 -(-1) +1 . 的最大值和最小值分别是过 +1 || 3 2 又∵ kPA= = = , || 2 6



关闭

,

P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3 上的点(x,y)的直线的斜率. P 与圆相切的直线 PA,PB 的斜率.

最小值为 由图象知

2 2

2 -kPB=-||=- 6=- 2 ,即+1的最大值为 2 ,最小值为- 2 . 2

||

3

2



2

2

关闭

解析 考点一 考点二 考点三

答案

第九章

9.3

圆的方程 -18-

考点三

与圆有关的轨迹问题
关闭

解:以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系,则 O1(-2,0),O2(2,0).

【例 3】 如图所示,圆 O1 和圆 O2 的半径长都等于 1,|O1O2|=4.过动点 P 分 别作圆 O1,圆 O2 的切线 PM,PN(M,N 为切点),使得|PM|= 2|PN|.试建立平面 直角坐标系 ,并求动点 P ,的轨迹方程 . 2.因为两圆的半径长均为 1, 由已知|PM|= 2|PN| 得|PM|2=2|PN|
所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设 P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 化简,得(x-6)2+y2=33, 所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
答案 考点一 考点二 考点三

第九章

9.3

圆的方程 -19-

方法提炼 1.解答与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: 直接法——直接根据题目提供的条件列出方程;定义法——根据圆、直线等 定义列方程;几何法——利用圆的几何性质列方程;代入法——找到所求点 与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有 不同:若求轨迹方程,把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程, 指出轨迹是什么样的曲线.

考点一

考点二

考点三

第九章

9.3

圆的方程 -20-

举一反三 3 设定点 (动点 N 在圆 x +y =4 上运动 OM,MN ON 的 为 解:如图所示 ,设 P(x,yM ),N (3,4), x0,y0), 则线段 OP 的中点坐标为 , ,以 ,线段 2 2 0 -3 0 +4 0 -3 中点坐标为 , . 由于平行四边形的对角线互相平分 , 故 = , = 邻边作平行四边形 MONP ,求点 P 的轨迹. 2 2 2 2 2 0 +4
2 2

关闭

2

.

0 = x + 3, 从而 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为 0 = y-4. 9 12 21 28 圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点 - , 和 - , (点 P 在直线 OM 上时的
5 5 5 5

情况).
答案 考点一 考点二 考点三

第九章

9.3

圆的方程 -211 2 3 4

1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3) B.(-2,3) D.(2,-3)

)

关闭

∵ D=-4,E=6, ∴ 圆心坐标为(2,-3). D
解析

关闭

答案

第九章

9.3

圆的方程 -221 2 3 4

2.平移直线 x-y+1=0 使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1 相切,则平移的最短距离为 ( C. 2 ) B.2- 2 D. 2-1 与 2+1 A. 2-1

关闭

如图,圆心(2,1)到直线 l0:x-y+1=0 的距离 d=

|2-1+1| 2

= 2,圆的半径为 1,则直

线 l0 与 l1 的距离为 2-1,所以平移的最短距离为 2-1.

关闭

A
解析 答案

第九章

9.3

圆的方程 -231 2 3 4

3.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1

)

A

2 2 设圆上任一点坐标为(x0,y0),则0 + 0 =4,连线中点坐标为(x,y), 2 = 0 + 4, 0 = 2x-4, 2 2 则 ? 代入0 + 0 =4 中得(x-2)2+(y+1)2=1. 2 = 0 -2 0 = 2y + 2.

关闭

关闭

解析

答案

第九章

9.3

圆的方程 -241 2 3 4

4.从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3)向该圆引切线,求切线方程.

关闭

解:当切线斜率存在时,设切线方程为 y-3=k(x-2),即 kx-y+3-2k=0.因为圆心 为(1,1),半径长 r=1, 则
|-1+3-2| 2 +(-1 )2

=1,所以 k= .
3 4

3 4

故所求切线方程为 y-3= (x-2), 即 3x-4y+6=0. 当切线斜率不存在时,因为切线过点 P(2,3),且与 x 轴垂直,此时切线的方程 为 x=2. 综上,所求切线方程为 x=2 或 3x-4y+6=0.
答案


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