当前位置:首页 >> 数学 >>

谢梅--一道高考题的解法引发的思考


一道高考题的解法引发的思考

作者:谢梅 职务:高中数学老师 职称:中教二级 单位:甘肃省嘉峪关市一中 手机:13993776026 邮编:735100

一道高考题的解法引发的思考
谢 梅

2009 年浙江文科高考题第 21 题: 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x 2 ? a(a

? 2) x ? b(a, b ? R) . (I)略; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调, 求 a 的取值范围. .w.w. .... 给出参考答案: 解: (Ⅰ)略; (Ⅱ)函数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x ) 在 ( ?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 解答过程正确与否,先不考虑。就结果而言,是否正确?不妨带一个特殊植验证一下:令 a=0,得 f ( x) ? x ? x ? b ,只需要讨论 f ( x) ? x ? x ? b 在区间(-1,1)上的单调性即
3 2 3 2

可。 f ?( x ) =0 得:x=0 或 x= 答案不正确。 接下来,分析一下为什么。

2 都在区间(-1,1)内,因此,a=0 时也满足条件。说明参考 3

“函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调 ” ... .? f ?( x) ? 0 在区间(-1,1)内至少有一个实根。 参考答案只给出了区间内有一个实根的情形,忽略了有两个不相等的实根这一情形。因此, 过程补充如下:

?? ? 0 ? ?? 1 ? a ? 1 ? 1 1 1 ? ?? ? -1 ? a ? ? 或 ? ? a ? 1 。 3 2 2 ? f ' (?1) ? 0 ? ? ? f ' (1) ? 0

综上所述:a 的取值范围是 a ? (?5,? ) ? (?

1 2

1 ,1) 。 2

根据上述解题过程中判别式恰好是完全平方式,判断导数 f ?( x ) 可以分解因式。从而产生解 法二:

f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
? ( x ? a)(3x ? a ? 2)
由 f ?( x) ? 0 得: x1 ? a, x2 ? ?

a?2 3

根据题意: f ?( x) ? 0 在区间(-1,1)内至少有一个实根。

a?2 ? a?2 ? a ? ? ? ? ? a?? 3 ?? 3 或? a ? 2 ?? 1 ? ? ?1 ?? 1 ? a ? 1 ? 3 ?
解得: a ? (?5,? ) ? (?

1 2

1 ,1) 2

感悟: 对于三次函数在给定区间 (a,b) 上存在极值或者不单调的问题, 都能转化为 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实根,且在区间上至少有一个实根,进而求参数的取值范围的问题。解决这 一类问题,首先要观察,能否分解因式。 ⑴ 如果能分解因式,即可得到 f ?( x) ? 0 的两根 x1 , x2 .接下来,把问题转化为解不等式组:

? x1 ? x2 ? x ? x2 或? 1 。 ? ?a ? x1 ? b ?a ? x2 ? b
⑵如果不能分解因式,有时也采用 ⑴ 的思路利用一元二次方程的求根公式得到 f ?( x) ? 0 的两根 x1 , x2 .再把问题转化为解不等式组:

?? ? 0 ?? ? 0 ? ? ? x1 ? x2 或 ? x1 ? x2 。这种方法的缺点是解不等式比较复杂,运算量大。 ? a ? x ? b ?a ? x ? b 1 2 ? ?
例: (2011 年文科全国 II)已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x+12a ? 4 ? a ? R ?

(Ⅰ)略; (Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得最小值,x0 ? 求 a 的取值范围。 (1,3),
2 (II)由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0

(i)当 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 时, f ( x ) 没有极小值; (ii)当 a ?

2 ? 1或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得

x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ? a ? a 2 ? 2a ? 1

故 x0 ? x2 。由题设知 1 ? ?a ? a ? 2a ?1 ? 3 ,
2

当a ?

2 ? 1时,不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解;
2

当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a ? 2a ?1 ? 3 得 ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?

5 ? a ? ? 2 ?1 2

5 , ? 2 ? 1) 。 2

⑶ 分 类 讨 论 : 情 形 一 : f ?( x) ? 0 有 两 个 相 异 实 根 且 在 区 间 ( a,b ) 上 恰 有 一 个 实 根

? f ?(a) f ?(b) ? 0 ;
情形二: f ?( x) ? 0 在区间(a,b)上有两个相异实根,记 y ? f ?( x) 的对称 轴为 x ? m ,则原命题

?? ? 0 ? a?m?b ? ,求两种情形的并集得到结果。 ?? ? f ' (a) ? 0 ? ? f ' (b) ? 0
⑷区间端点的导数值或者导数值的符号确定,可以确定 f ?( x) ? 0 的跟的个数,省去分类讨 论的过程。 ⑷讨论 f ?( a ) 和 f ?( b) 的符号,如果能确定其中一个或两个的符号,也可以确定区间上根的 个数,然后转化为不等式求解。 例:函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

(Ⅰ)略; (Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围。 解: (Ⅱ)由已知, f ?( x) ? 0 在区间(1,3)至少有一个实根,且较大的实根一定在区间内。 根据前文的分析,当 f ?( x) ? 0 在区间( 1,3 )恰好有一个实根,则必须有 f ?(1) ? 0 ,

f ?(3) ? 0 。而实际上 f ?(1) ? 6 ? 0 恒成立,所以, f ?( x) ? 0 在区间(1,3)有两个不相等

?? ? 0 5 ? 的实根,则 ? ?1 ? ? a ? 3 , .? a ? ( ? 2 ,?1 ? 2 ) 。 ? f ' (3) ? 0 ?
在处理同类型的问题时,从以上几个方面为切入点,寻找突破口,快速、准确的完成解 题过程。


相关文章:
谢梅--一道高考题的解法引发的思考
谢梅--一道高考题的解法引发的思考_数学_高中教育_教育专区。一道高考题的解法引发的思考 作者:谢梅 职务:高中数学老师 职称:中教二级 单位:甘肃省嘉峪关市一中...
更多相关标签:
网红现象引发的思考 | 徐玉玉事件引发的思考 | 景海鹏引发的教育思考 | 引发思考 英文 | 飞天引发的教育思考 | 双十一引发的思考 | 景海飞天引发教育思考 | 雾霾引发的思考 |