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南充李渡中学经典必考圆中考试题集锦(附答案)


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圆中考试题集锦
一、选择题 1. (北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是 CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点 A,如果 PA= 3 ,PB=1,那么∠APC 等于 ( (A) 15
?

/>) (D) 60
?

(B) 30

?

(C) 45

?

2. (北京市西城区)如果圆柱的高为 20 厘米,底面半径是高的 的侧面积是 ( )

1 ,那么这个圆柱 4

(A)100π 平方厘米 (C)500π 平方厘米

(B)200π 平方厘米 (D)200 平方厘米

3. (北京市西城区) “圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题, “今在圆材, 埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数 学语言表述是: “如图,CD 为⊙O 的直径,弦 AB⊥CD,垂足为 E,CE=1 寸,AB= 寸,求直径 CD 的长” .依题意,CD 长为 ( (A) ) (D)26 寸

25 寸 2

(B)13 寸

(C)25 寸

4. (北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为 5,PC 切⊙O 于点 C,PO 交 ⊙O 于点 A,PA=4,那么 PC 的长等于 ( (A)6 (B)2 5 (C)2 10 ) (D)2 14

5. (北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为 20π 平方厘米,它的母线长为 5 厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( (A)2 厘米 (B)2 2 厘米 ) (D)8 厘米

(C)4 厘米

6. (天津市)相交两圆的公共弦长为 16 厘米,若两圆的半径长分别为 10 厘米和 17 厘米,则这两圆的圆心距为 ( (A)7 厘米 (B)16 厘米 (C)21 厘米 ) (D)27 厘米
?

7. (重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C= 90 ,AO 的延长线交

BC 于点 D,AC=4,DC=1, ,则⊙O 的半径等于 (



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(A)

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(D)

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4 5

(B)

5 4

(C)

3 4

5 6

8. (重庆市)一居民小区有一正多边形的活动场.为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开,小区管委 会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为 2 米的扇形花台, 花台都以多边形的顶点为圆心, 比 多边形的内角为圆心角,花台占地面积共为 12π 平方米.若每个花台的造价为 400 元,则建造这些花 台共需资金 ( (A)2400 元 ) (B)2800 元 (C)3200 元 (D)3600 元

9. (河北省)如图,AB 是⊙O 直径,CD 是弦.若 AB=10 厘米,CD= 8 厘米,那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为 ( (A)12 厘米 (B)10 厘米 (C)8 厘米 ) (D)6 厘米
?

10. (河北省)某工件形状如图所示,圆弧 BC 的度数为 60 ,AB=6 厘米, 点 B 到点 C 的距离等于 AB, ∠BAC= 30 , 则工件的面积等于 ( (A)4π (B)6π (C)8π (D)10π
?



11. (沈阳市)如图,PA 切⊙O 于点 A,PBC 是⊙O 的割线且过圆心,PA=4,

PB=2,则⊙O 的半径等于 (
(A)3 (B)4

) (C)6 (D)8

12. (哈尔滨市) 已知⊙O 的半径为 3 5 厘米, ⊙ O ? 的半径为 5 厘米. ⊙

O 与⊙ O ? 相交于点 D、E.若两圆的公共弦 DE 的长是 6 厘米(圆心 O、O ? 在
公共弦 DE 的两侧) ,则两圆的圆心距 O O ? 的长为 ( (A)2 厘米 厘米 13. (陕西省)如图,两个等圆⊙O 和⊙ O ? 的两条切线 OA、OB,A、B 是切 (B)10 厘米 ) (D)4

(C)2 厘米或 10 厘米

点,则∠AOB 等于 ( (A) 30
?


?

(B) 45

(C) 60

?

(D) 90
?

?

14. (甘肃省)如图,AB 是⊙O 的直径,∠C= 30 ,则∠ABD= (



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(A) 30
?

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?

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(B) 40

?

(C) 50

(D) 60
?

?

15. (甘肃省)弧长为 6π 的弧所对的圆心角为 60 ,则弧所在的圆的半径为 ( ) (A)6 (B)6 2 (C)12
?

(D)18

16. (甘肃省)如图,在△ABC 中,∠BAC= 90 ,AB=AC=2,以 AB 为直径的 圆交 BC 于 D,则图中阴影部分的面积为 ( (A)1 (B)2 (C)1+ )

? 4

(D)2-

? 4


17. (宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为 18,那么圆的面积为 ( (A)18π (B)9π (C)6π (D)3π

18. (山东省)如图,点 P 是半径为 5 的⊙O 内一点,且 OP=3,在过点 P 的所有弦中,长度为整数的弦一共有 ( )

(A)2 条

(B)3 条

(C)4 条

(D)5 条

19. (南京市)如图,正六边形 ABCDEF 的边长的上 a,分别以 C、F 为圆心, a 为半径画弧,则图中阴影部分的面积是 ( )

(A) ?a

1 6

2

(B) ? a

1 3

2

(C) ?a

2 3

2

(D) ?a

4 3

2

20. (杭州市)过⊙O 内一点 M 的最长的弦长为 6 厘米,最短的弦长为 4 厘米,则 OM 的长为 ( (A) 3 厘米 ) (C)2 厘米 (D)5 厘米 )

(B) 5 厘米

21. (安徽省)已知圆锥的底面半径是 3,高是 4,则这个圆锥侧面展开图的面积是 ( (A)12π (B)15π (C)30π
?

(D)24π

22. (安微省)已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30 ,过 C 点的切线

PC 与 AB 延长线交 P.PC=5,则⊙O 的半径为 (



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(A)

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(C)10 (D)5

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5 3 3

(B)

5 3 6

23. (福州市)如图:PA 切⊙O 于点 A,PBC 是⊙O 的一条割线,有 PA =3 2 ,PB=BC,那么 BC 的长是 ( )

(A)3

(B)3 2

(C) 3

(D) 2 3

24. (河南省)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E 相互外离,它们的半径都是 1,顺次连结五个圆心 得到五边形 ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是 ( (A)π (B)1.5π (C)2π (D)2.5π ) )

25. (四川省)正六边形的半径为 2 厘米,那么它的周长为 ( (A)6 厘米 (B)12 厘米 (C)24 厘米

(D)12 2 厘米 )

26. (四川省) 一个圆柱形油桶的底面直径为 0.6 米, 高为 1 米, 那么这个油桶的侧面积为 ( (A)0.09π 平方米 (B)0.3π 平方米 (C)0.6 平方米 (D)0.6π 平方米

27. (贵阳市)一个形如圆锥的冰淇淋纸筒,其底面直径为 6 厘米,母线长为 5 厘米,围成这样的 冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 ( )

(A)66π 平方厘米 (B)30π 平方厘米 (C)28π 平方厘米 (D)15π 平方厘米 28. (新疆乌鲁木齐)在半径为 2 的⊙O 中,圆心 O 到弦 AB 的距离为 1,则弦 AB 所对的圆心角的度 数可以是 ( (A) 60
?

) (B) 90
?

(C) 120

?

(D) 150

?

29. (新疆乌鲁木齐)将一张长 80 厘米、宽 40 厘米的矩形铁皮卷成一个高为 40 厘米的圆柱形水桶 的侧面, (接口损耗不计) ,则桶底的面积为 ( (A) ) (B)1600π 平方厘米 (D)6400π 平方厘米

1600

? 6400 (C) 平方厘米 ?
AP∶PB=1∶5,那么⊙O 的半径是 (


平方厘米

30. (成都市)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 P,CD=10 厘米,

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(A)6 厘米 (B) 3 5 厘米

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(C)8 厘米

(D) 5 3 厘米
?

31. (成都市)在 Rt△ABC 中,已知 AB=6,AC=8,∠A= 90 .如果把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一 周得到一个圆锥,其表面积为 S 1 ;把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为 S 2 , 那么 S 1 ∶S 2 等于 ( (A)2∶3 ) (C)4∶9 (D)5∶12

(B)3∶4

32. (苏州市)如图,⊙O 的弦 AB=8 厘米,弦 CD 平分 AB 于点 E.若 CE= 2 厘米.ED 长为 ( (A)8 厘米 ) (B)6 厘米 (C)4 厘米 (D)2 厘米

33. (苏州市)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,若∠BOD= 160 ,则∠

?

BCD= (



(A) 160

?

(B) 100

?

(C) 80

?

(D) 20

?

34. (镇江市)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,E 为 DC 的中点,直线 BE 交⊙O 于点 F.若⊙O 的半径为 2 ,则 BF 的长为 ( )

(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

6 5 5
?

(D)

4 5 5


35. (扬州市) 如图, AB 是⊙O 的直径, ∠ACD= 15 , 则∠BAD 的度数为 (

(A) 75

?

(B) 72

?

(C) 70

?

(D) 65

?

36. (扬州市)已知:点 P 直线 l 的距离为 3,以点 P 为圆心,r 为半径画圆, 如果圆上有且只有两点到直线 l 的距离均为 2,则半径 r 的取值范围是 ( (A)r>1 (B)r>2 (C)2<r<3 ( ) (D)1<r<5 )

37. (绍兴市)边长为 a 的正方边形的边心距为

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(A)a (B)

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(D)2a

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3 a 2

(C) 3 a

38. (绍兴市)如图,以圆柱的下底面为底面,上底面圆心为顶点的圆锥的母线 长为 4,高线长为 3,则圆柱的侧面积为 ( )

(A)30π

(B) 6 7 π

(C)20π

(D) 4 7 π
?

39. (昆明市)如图,扇形的半径 OA=20 厘米,∠AOB= 135 ,用它做成一个 圆锥的侧面,则此圆锥底面的半径为 ( )

(A)3.75 厘米

(B)7.5 厘米

(C)15 厘米

(D)30 厘米

40. (昆明市)如图,正六边形 ABCDEF 中.阴影部分面积为 12 3 平方 厘米,则此正六边形的边长为 ( )

(A)2 厘米

(B)4 厘米

(C)6 厘米

(D)8 厘米

41. (温州市)已知扇形的弧长是 2π 厘米,半径为 12 厘米,则这个扇 形的圆心角是 ( (A) 60
?

) (B) 45
?

(C) 30

?

(D) 20

?

42. (温州市)圆锥的高线长是厘米,底面直径为 12 厘米,则这个圆锥的侧面积是 ( (A)48π 厘米 (C)48 13 ? 平方厘米 (B)24 13 ? 平方厘米 (D)60π 平方厘米



43. (温州市)如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PC 是⊙O 的切线, C 为切点, PC=2 6 , PA=4, 则⊙O 的半径等于 ( )

(A)1

(B)2

(C)

3 2

(D)

6 2

44. (常州市)已知圆柱的母线长为 5 厘米,表面积为 28π 平方厘米,则这个圆柱的底面半径是
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( ) (A)5 厘米 (B)4 厘米

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(C)2 厘米

(D)3 厘米 )

45. (常州市)半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ( (A)1∶ 2 ∶ 3 (B) 3 ∶ 2 ∶1(C)3∶2∶1 (D)1∶2∶3

46. (广东省)如图,若四边形 ABCD 是半径为 1 和⊙O 的内接正方形,则图中四个弓形(即四个阴 影部分)的面积和为 ( )

(A) (2π -2)厘米 (C) (π -2)厘米
?

(B) (2π -1)厘米 (D) (π -1)厘米

47. (武汉市)如图,已知圆心角∠BOC= 100 ,则圆周角∠BAC 的度数是 ( ) (A) 50
?

(B) 100

?

(C) 130

?

(D) 200

?

48. (武汉市)半径为 5 厘米的圆中,有一条长为 6 厘米的弦,则圆心到此弦 的距离为 ( (A)3 厘米 ) (B)4 厘米
?

(C)5 厘米

(D)6 厘米

49.已知:Rt△ABC 中,∠C= 90 ,O 为斜边 AB 上的一点,以 O 为圆心的圆与边 AC、BC 分别相切 于点 E、F,若 AC=1,BC=3,则⊙O 的半径为 ( (A) ) (D)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

4 5

50. (武汉市)已知:如图,E 是相交两圆⊙M 和⊙O 的一个交 点,且 ME⊥NE,AB 为外公切线,切点分别为 A、B,连结 AE、BE.则 ∠AEB 的度数为 ( (A) 145° 二、填空题 1. (北京市东城区)如图,AB、AC 是⊙O 的两条切线,切点分 别为 B 、 C , D 是优弧 __________度. 上的一点,已知∠ BAC = 80 ,那么∠ BDC =
?

) (B) 140° (C) 135° (D) 130°

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2. (北京市东城区)在 Rt△ABC 中,∠C= 90 ,AB=3,BC=1,以 AC 所在直线为轴旋转一周, 所得圆锥的侧面展开图的面积是__________. 3. (北京市海淀区)如果圆锥母线长为 6 厘米,那么这个圆锥的侧面积是_______平方厘米 4. (北京市海淀区)一种圆状包装的保鲜膜,如图所示,其规格为“20 厘米×60 米” ,经测量这筒 保鲜膜的内径 ?1 、外径 ? 2 的长分别为 3.2 厘米、4.0 厘米,则该种保鲜 膜的厚度约为_________厘米(π 取 3.14,结果保留两位有效数字) .

?

5. (上海市) 两个点 O 为圆心的同心圆中, 大圆的弦 AB 与小圆相切, 如果 AB 的长为 24, 大圆的半径 OA 为 13, 那么小圆的半径为___________. 6. (天津市)已知⊙O 中,两弦 AB 与 CD 相交于点 E,若 E 为 AB 的中点,CE∶ED=1∶4,AB=4, 则 CD 的长等于___________. 7. (重庆市) 如图, AB 是⊙O 的直径, 四边形 ABCD 内接于⊙O, , ,

的度数比为 3∶2∶4,MN 是⊙O 的切线,C 是切点,则∠BCM 的度数为 ___________.

8. (重庆市)如图,P 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于点 C,PC=6,BC∶AC=1∶2,则 AB 的长为___________.

9. (重庆市)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,



,若 AD=4,BC=6,则四边形 ABCD 的面积为__________.

10.(山西省)若一个圆柱的侧面积等于两底面积的和,则它的高 h 与底面半径

r 的大小关系是__________.
11. (沈阳市)要用圆形铁片截出边长为 4 厘米的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小要 ___________厘米.
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12. (沈阳市)圆内两条弦 AB 和 CD 相交于 P 点,AB 长为 7,AB 把 CD 分成两部分的线段长分别为 2 和 6,那么=__________. 13. (沈阳市) △ABC 是半径为 2 厘米的圆内接三角形, 若 BC=2 3 厘米, 则∠A 的度数为________. 14. (沈阳市)如图,已知 OA、OB 是⊙O 的半径,且 OA=5,∠AOB=15 ,AC ⊥OB 于 C,则图中阴影部分的面积(结果保留π )S=_________.
?

15. (哈尔滨市)如图,圆内接正六边形 ABCDEF 中,AC、BF 交于点 M.则

S△ ABM ∶ S△ AFM =_________.

16.(哈尔滨市)两圆外离,圆心距为 25 厘米,两圆周长分别为 15π 厘米 和 10π 厘米.则其内公切线和连心线所夹的锐角等于__________度. 17. (哈尔滨市)将两边长分别为 4 厘米和 6 厘米的矩形以其一边所在直线为轴旋转一周,所得圆 柱体的表面积为_________平方厘米. 18. (陕西省)如图,在⊙O 的内接四边形 ABCD 中,∠BCD=130 ,则∠BOD 的度数是________. 19. (陕西省)已知⊙O 的半径为 4 厘米,以 O 为圆心的小圆与⊙O 组成的 圆环的面积等于小圆的面积,则这个小圆的半径是______厘米. 20. (陕西省) 如图, ⊙O 1 的半径 O 1 A 是⊙O 2 的直径,C 是⊙O 1 上的一点,
?

O 1 C 交⊙O 2 于点 B.若⊙O 1 的半径等于 5 厘米,
则 的长是_________.

的长等于⊙O 1 周长的

1 , 10

21 . (甘肃省)正三角形的内切圆与外接圆面积之比为 _________. 22. (甘肃省)如图,AB=8,AC=6,以 AC 和 BC 为直径作半 圆,两圆的公切线 MN 与 AB 的延长线交于 D ,则 BD 的长为 _________.

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23. (宁夏回族自治区)圆锥的母线长为 5 厘米,高为 3 厘米,在它的侧面展开图中,扇形的圆心 角是_________度. 24. (南京市)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足是 G,F 是 CG 的中点,延长 AF 交⊙O 于 E,

CF=2,AF=3,则 EF 的长是_________.

25. (福州市)在⊙O 中,直径 AB=4 厘米,弦 CD⊥AB 于 E,OE= 3 ,则弦

CD 的长为__________厘米.
26. (福州市)若圆锥底面的直径为厘米,线线长为 5 厘米,则它的侧面积为 __________平方厘米(结果保留π ) . 27. (河南省)如图,AB 为⊙O 的直径,P 点在 AB 的延长线上,

PM 切⊙O 于 M 点.若 OA=a,PM= 3 a,那么△PMB 的周长的
__________. 28. (长沙市)在半径 9 厘米的圆中, 60 的圆心角所对的弧长为__________厘米. 29. (四川省)扇形的圆心角为 120 ,弧长为 6π 厘米,那么这个扇形的面积为_________. 30. (贵阳市)如果圆 O 的直径为 10 厘米,弦 AB 的长为 6 厘米,那么弦 AB 的弦心距等于________ 厘米. 31. (贵阳市)某种商品的商标图案如图所求(阴影部分) ,已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠A= 60 ,
?
?

?

是以 A 为圆心,AB 长为半径的弧,

是以 B 为圆

心,BC 长为半径的弧,则该商标图案的面积为_________. 32. (云南省)已知,一个直角三角形的两条直角边的长分别为 3 厘米、4 厘米、以它的直角边所 在直角线为轴旋转一周,所得圆锥的表面积是__________. 33. (新疆乌鲁木齐)正六边形的边心距与半径的比值为_________. 34. (新疆乌鲁木齐)如图,已知扇形 AOB 的半径为 12,OA⊥OB,C 为 OA 上一 点,以 AC 为直径的半圆 O1 和以 OB 为直径的半圆 O2 相切,则半圆 O1 的半径为 __________.

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35. (成都市)如图,PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、点 B,AC 是⊙O 的直径,PC 交⊙O 于点 D.已 知∠APB= 60 ,AC=2,那么 CD 的长为________. 36. (苏州市)底面半径为 2 厘米,高为 3 厘米的圆柱的体积为_________立方厘米(结果保留π ) . 37. (扬州市)边长为 2 厘米的正六边形的外接圆半径是________厘米,内 切圆半径是________厘米(结果保留根号) . 38. (绍兴市)如图,PT 是⊙O 的切线,T 为切点,PB 是⊙O 的割线交⊙O 于
?

A、B 两点,交弦 CD 于点 M,已知:CM=10,MD=2,PA=MB=4,则 PT 的长等于
__________. 39. (温州市)如图,扇形 OAB 中,∠AOB= 90 ,半径 OA=1,C 是线段 AB 的中点,CD∥OA,交 于点 D,则 CD=________.
?

?

40. (常州市)已知扇形的圆心角为 150 ,它所对的弧长为 20π 厘米,则扇 形的半径是________厘米,扇形的面积是__________平方厘米. 41. (常州市)如图,AB 是⊙O 直径,CE 切⊙O 于点 C,CD⊥AB,D 为垂足,AB=12 厘米,∠B=30 , 则∠ECB=__________ ;CD=_________厘米.
? ?

42. (常州市)如图,DE 是⊙O 直径,弦 AB⊥DE,垂足为 C,若 AB=6,CE=1, 则 CD=________,OC=_________. 43. (常州市)如果把人的头顶和脚底分别看作一个点,把地球赤道作一个圆, 那么身高压 2 米的汤姆沿着地球赤道环道环行一周,他的头顶比脚底多行________米. 44. (海南省)已知:⊙O 的半径为 1,M 为⊙O 外的一点,MA 切⊙O 于点 A,MA=1.若 AB 是⊙O 的弦,且 AB= 2 ,则 MB 的长度为_________. 45. (武汉市)如果圆的半径为 4 厘米,那么它的周长为__________厘米. 三、解答题: 1. (苏州市)已知:如图,△ABC 内接于⊙O,过点 B 作⊙O 的切线,交 CA 的延长线于点 E,∠EBC=2∠C. ①求证:AB=AC;
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②若 tan∠ABE=

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1 AB , (ⅰ)求 的值; (ⅱ)求当 AC=2 时,AE 的长. 2 BC

2. (广州市)如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,⊙O 的割线 PBC 过点 O 与⊙O 分别交于 B、C,PA=8cm,

PB=4cm,求⊙O 的半径.

3. (河北省)已知:如图,BC 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 C,AB 交⊙O 于 点 D,若 AD︰DB=2︰3,AC=10,求 sinB 的值.

4. (北京市海淀区)如图,PC 为⊙O 的切线,C 为切点,PAB 是过 O 的割线,CD⊥AB 于点 D,若 tanB=

1 ,PC=10cm,求三角形 BCD 的面积. 2

5. (宁夏回族自治区)如图,在两个半圆中,大圆的弦 MN 与小圆 相切,D 为切点,且 MN∥AB,MN=a,ON、CD 分别为两圆的半径,
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求阴影部分的面积.

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6. (四川省)已知,如图,以△ABC 的边 AB 作直径的⊙O,分别并 AC、BC 于点 D、E,弦 FG∥AB,S△

CDE︰S△ABC=1︰4,DE=5cm,FG=8cm,求梯形 AFGB 的面积.

7. (贵阳市)如图所示:PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,

PA=10,PB=5,求:

(1)⊙O 的面积(注:用含 π 的式子表示) ; (2)cos∠BAP 的值.

参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B 11.A 12.B
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13.C 14.D 15.D
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28.C 41.C

16.A 17.B 18.C 19.C 20.B 21.C 22.A 23.A 24.B 25.B 26.D 27.D 29.A 30.B 31.A 32.A 33.B 34.C 35.A 36.D 37.B 38.B 39.B 40.B 42.D 43.A 44.C 45.B 46.C 47.A 48.B 49.C 50.C 二、填空题 1.50 2.2π 3.18π 4. 7.5 ? 10
?4

5.5 6.5 7.30° 15.1:2

8.9 9.25 10.h=r

11.4 2 18.100° 28.3

12.3 或 4 13.60°或 120° 14. 19. 2 2 20.π 21.1:4 22.1

25? 25 ? 24 8

16.30 17.80π 或 120π 26.15π 27.

23.288 24.4 25.2

? 3 ? 2?a
33.

π

29.27π 平方厘米

30.4 31. 4 3

32.24π 平方厘米或 36π 平方厘米

3 2

34.4

35.

4 7 7

36. 12π

37. 2, 3

38.2 13

39.

3 ?1 2

40. 24, 240π

41. 60°,3 3

42. 9,

4

43.4π

44.1 或 5

45.8π

三、解答题: 1. (1)∵ BE 切⊙O 于点 B,∴ ∠ABE=∠C. ∵ ∠EBC=2∠C,即 ∠ABE+∠ABC=2∠C, ∴ ∠C+∠ABC=2∠C, ∴ ∠ABC=∠C,∴ AB=AC. (2)①连结 AO,交 BC 于点 F, ∵ AB=AC,∴ = ,

∴ AO⊥BC 且 BF=FC. 在 Rt△ABF 中,

AF =tan∠ABF, BF 1 ,∴ 2 AF 1 = , BF 2

又 tan∠ABF=tanC=tan∠ABE= ∴ AF=

1 BF. 2
2

5 ?1 ? 2 ∴ AB= AF ? BF = ? BF ? ? BF = BF. 2 ?2 ?
2 2



AB AB 5 ? ? . BC 2BF 4
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②在△EBA 与△ECB 中,

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∵ ∠E=∠E,∠EBA=∠ECB,∴ △EBA∽△ECB.



? EA AB ? 16 2 ? ,解之,得 EA =EA· (EA+AC) ,又 EA≠0, ? EB BC 5 2 ?BE ? EA ? EC ?
11 5 10 EA=AC,EA= ×2= . 5 11 11
2



2.设⊙的半径为 r,由切割线定理,得 PA =PB·PC, ∴ 8 =4(4+2r) ,解得 r=6(cm) . 即⊙O 的半径为 6cm. 3.由已知 AD︰DB=2︰3,可设 AD=2k,DB=3k(k>0) . ∵ AC 切⊙O 于点 C,线段 ADB 为⊙O 的割线, ∴ AC =AD·AB, ∵ AB=AD+DB=2k+3k=5k, ∴ 10 =2k×5k,∴ k =10, ∵ k>0,∴ k= 10 . ∴ AB=5k=5 10 . ∵ AC 切⊙O 于 C,BC 为⊙O 的直径, ∴ AC⊥BC. 在 Rt△ACB 中,sinB= 4.解法一:连结 AC.
2 2 2 2

AC 10 10 . ? ? AB 5 10 5

∵ AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上, ∴ ∠ACB=90°.

CD⊥AB 于点 D,
∴ ∠ADC=∠BDC=90°,∠2=90°-∠BAC=∠B.

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1 , 2 1 ∴ tan∠2= . 2 AD CD 1 AC ? ? ? ∴ . CD DB 2 CB
∵ tanB=

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设 AD=x(x>0) ,CD=2x,DB=4x,AB=5x. ∵ PC 切⊙O 于点 C,点 B 在⊙O 上,∴ ∠1=∠B. ∵ ∠P=∠P,∴ △PAC∽△PCB, ∴

PA AC 1 ? ? . PC CB 2

∵ PC=10,∴ PA=5, ∵ PC 切⊙O 于点 C,PAB 是⊙O 的割线, ∵ PC =PA·PB, ∴ 10 =5(5+5 x) .解得 x=3. ∴ AD=3,CD=6,DB=12. ∴ S△BCD=
2 2

1 1 CD·DB= ×6×12=36. 2 2
2

即三角形 BCD 的面积 36cm . 解法二:同解法一,由△PAC∽△PCB,得 ∵ PA=10,∴ PB=20. 由切割线定理,得 PC =PA·PB.
2

PA AC 1 ? ? . PC CB 2

∴ PA=

PC 2 102 ? =5,∴ AB=PB-PA=15, PB 20

∵ AD+DB=x+4x=15,解得 x=3, ∴ CD=2x=6,DB=4x=12. ∴ S△BCD=

1 1 CD·DB= ×6×12=36. 2 2
2

即三角形 BCD 的面积 36cm . 5.解:如图取 MN 的中点 E,连结 OE,

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∴ OE⊥MN,EN=

1 1 MN= a. 2 2

在四边形 EOCD 中, ∵ CO⊥DE,OE⊥DE,DE∥CO, ∴ 四边形 EOCD 为矩形. ∴ OE=CD, 在 Rt△NOE 中,NO -OE =EN = ?
2 2 2

?a? ? . ?2?
2

2

2 2 1 1 ?a? π 2 ∴ S 阴影= π (NO -OE )= π · ? ? = a . 2 2 8 ?2?

6.解:∵ ∠CDE=∠CBA,∠DCE=∠BCA,∴ △CDE∽△ABC. ∴

S ?CDE ? DE ? ?? ? S ?ABC ? AB ?

2



S ?CDE DE 1 1 = = = , S ?ABC AB 4 2



5 1 ? ,解得 AB=10(cm) , AB 2
1 1 FG= ×8=4(cm) , 2 2 1 1 AB= ×10=5(cm) . 2 2

作 OM⊥FG,垂足为 M, 则 FM=

连结 OF, ∵ OA=

∴ OF=OA=5(cm) . 在 Rt△OMF 中,由勾股定理,得

OM= OF 2 ? FM 2 = 52 ? 42 =3(cm) .
∴ 梯形 AFGB 的面积= 7.
2 AB ? FG 10 ? 8 ·OM= ×3=27(cm ) . 2 2

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(1) PA 是 ⊙ O的 切 线 ? 2 225 π (或 56.25π ) (平 ? ?PA =PB·PC?PC=20? 半径为 7.5? 圆面积为 4 P B是 C ⊙ O的 割 线 ?
方单位) .

(2)?C ? ?B A ?P AC PA AC 2 ? ? . ? ? ?△ACP∽△BAP? AB PB AB 1 ?P ? ?P ?
解法一:设 AB=x,AC=2x,

BC 为⊙O 的直径?∠CAB=90°,则 BC= 5 x.
∵ ∠BAP=∠C,∴ cos∠BAP=cos∠C=

AC 2x 2 ? ? 5 BC 5x 5
2 2

解法二:设 AB=x,在 Rt△ABC 中,AC +AB =BC , 即 x +(2x) =15 ,解之得 x=3 5 ,∴ AC=6 5 ,
2 2 2

2

∵ ∠BAP=∠C,∴ ∴ cos∠BAP=cos∠C=

AC 6 5 2 ? ? 5 BC 15 5

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