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2015年秋高中数学北师大版必修五课件:2三角形中的几何计算(共12张PPT)


第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算

复习回顾

正弦定理:

a b c   ? ? sin A sin B sin C
a2=b2+c2-2bccosA b2= a2+c2-2accosB

余弦定理:

c2 =a2+ b2-2abcosC

/> 复习回顾

a b c ? ? ? 2R 正弦定理: sin A sin B sin C
(其中:R为△ABC的外接圆半径) 三角形面积公式:

S ?ABC

1 1 1 ? bc sin A ? ca sin B ? ab sinC 2 2 2

例题讲解

例1 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5, AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°.求BD的长.

A 5 B

45° D

9
30° C

例题讲解 解 在ΔABC中, AB=5,AC=9,∠BCA=30°.由 正弦定理,得 AB AC
sin?BCA ? sin?ABC

AC sin?BCA 9 sin30? 9 sin?ABC ? ? ? AB 5 10

因为AD∥BC,所以∠BAD=180 °-∠ABC 9 于 是 sin?BAD ? sin?ABC ? 10 9 sin?BAD ? ∠ADB= 同理,在ΔABD中, AB=5, 10 45° 9 2 解得 BD= 2

例题讲解 例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由点 A开始作匀速直线运动,到达点B时,发现足球在 点D处正以2倍于自己的速度像点A作匀速直线滚动. 如图所示,已知 AB ? 4 2dm, AD ? 17dm, ?BAC ? 45? 若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最 快可在何处截住足球? B

45° A

D

例题讲解
分析 机器人最快截住足球的地方正式机器人与足球 同时到达的地方,设为C点.利用速度建立AC与BC之 间的 关系,再利用余弦定理便可建立方程解决问题.

B 45° A C D

例题讲解 解 设该机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段 AD上,设BC=x dm,由题意,CD=2x dm B AC=AD-CD=(17-2x) dm 在ΔABC中,由余弦定理得 45° A BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A

C

D

即 x 2 ? (4 2 )2 ? (17 ? 2 x)2 ? 2 ? 4 2 ? (17 ? 2 x) cos45? 37 解得 x1=5 (dm ), x2= (dm ) 3 所以 AC=17-2 x ? 7 (dm), 23 或AC=- (dm) (不合题意,舍去) 3

例题讲解
2 ? 2 3x ? 2 ? 0 a b x 、 是方程 例3 锐角三角形中,边 的两根,角 A、B满足2 sin (A ? B) ? 3 ? 0,求角 C 的度数,边 c 的长度及 ? ABC 的面积.

3 ? 2 sin ( A ? B) ? 3 ? 0, ? sin ( A ? B) ? 解: 2 ? ?ABC为锐角三角形

? A ? B ? 120o

?C ? 60o

例题讲解

?边a、b是方程 x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根

? a ? b ? 2 3,ab ? 2

?c ? a ? b ? 2ab cos C 2 ? (a ? b) ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ? c ? 6
2 2 2

? S ?ABC

1 1 3 3 ? ab sinC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

例题讲解

例4 如图
法. A

设A、B两点都在河的对岸(不

可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方

B

D

δ

γ

β α

C

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得 CD=a,并且在C、D两点分别测得<BCA=α, <ACD=β, <CDB=γ, <BDA=δ.在△ADC和△BDC中,应用正弦定理 得: a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? 0 sin[180 - (? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )
a sin ? a sin ? BC ? ? 0 sin[180 - (? ? ? ? ? ? )] sin(? ? ? ? ? )

计算出AC 和BC 后,再在?ABC中,应用余弦定理计算出 AB两点间的距离AB ? AC 2 ? BC 2 - 2 AC ? BC cos ? .


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