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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例)


课时作业(十四) [第 14 讲 用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例]

[时间:35 分钟 基础热身

分值:80 分]

lnx 1.函数 y= 的最大值为( ) x 1 10 A. B.e C.e2 D. e 3 2.已知 x≥0,y≥0,x+3y=9,则 x2y 的最大值为( ) A.36 B.18 C.

25 D.42 3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示, 从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 1 3 629 关系可近似地用如下函数给出:y=- t3- t2+36t- .则在这段时间内,通过该路段用时 8 4 4 最多的时刻是( ) A.6 时 B.7 时 C.8 时 D.9 时 4.设正三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( ) 3 A. 4V B.2 V 能力提升 1-x 1 ? 5.已知函数 f(x)= +lnx,则 f(x)在? ) ?2,2?上的最大值和最小值之和是( x A.0 B.1-ln2 C.ln2-1 D.1+ln2 3 2 ? ?2x +3x +1?x≤0?, ? 6.[2011· 哈三中三模] 函数 f(x)= ax 在[-2,2]上的最大值为 2,则 ?e ?x>0? ? a 的取值范围是( ) ln2 ln2 ,+∞? B.?0, ? A.? 2? ?2 ? ? ln2? C.(-∞,0] D.? ?-∞, 2 ? 7.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10 km 时的燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,则使行驶每千米的费 用总和最小时,此轮船的航行速度为( ) A.20 km/h B.25 km/h C.19 km/h D.18 km/h 3 C. 4V 1 D. V 2

图 K14-1 8.[2011· 江苏四市联考] 今有一块边长为 a 的正三角形的厚纸,从这块厚纸的三个角, 按图 K14-1 那样切下三个全等的四边形后, 做成一个无盖的盒子, 要使这个盒子容积最大, x 值应为( ) 2a a a A.a B. C. D. 3 2 6 9.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的 1 关系式为:p=24 200- x2,且生产 x t 的成本为 R=50 000+200x(元).则该厂每月生产 5

________ t 产品才能使利润达到最大.(利润=收入-成本) 10.[2011· 潮州模拟] 在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为________ 时它的面积最大.

图 K14-2 11.[2011· 宁化模拟] 如图 K14-2,用半径为 R 的圆铁皮,剪一个圆心角为 a 的扇形, 制成一个圆锥形的漏斗,则圆心角 a 取________时,漏斗的容积最大. 12.(13 分)[2011· 无锡模拟] 甲、乙两村合用一个变压器,如图 K14-3 所示,若两村 用同型号线架设输电线路,问:变压器设在输电干线何处时,所需电线最短?

图 K14-3

难点突破 13.(12 分)[2011· 长沙模拟] 广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生 产,按国际惯例以美元为结算货币,依据以往加工生产的数据统计分析,若加工产品订单的 1 金额为 x 万美元,可获得的加工费近似地为 ln(2x+1)万美元,受美联储货币政策的影响, 2 美元贬值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间,收益将因美元贬值而损失 mx 万 1 美元(其中 m 为该时段美元的贬值指数,m∈(0,1)),从而实际所得的加工费为 f(x)= ln(2x+ 2 1)-mx(万美元). 1 (1)若某时期美元贬值指数 m= ,为确保企业实际所得加工费随 x 的增加而增加,该 200 企业加工产品订单的金额 x 应在什么范围内? 1 (2)若该企业加工产品订单的金额为 x 万美元时共需要的生产成本为 x 万美元, 已知该 20 企业加工生产能力为 x∈[10,20](其中 x 为产品订单的金额),试问美元的贬值指数 m 在何范 围时,该企业加工生产将不会出现亏损.

课时作业(十四) 【基础热身】 ?lnx?′x-lnx· x′ 1-lnx [解析] 令 y′= = 2 =0,得 x=e,当 x>e 时,y′<0;当 x2 x 1 1 x<e 时,y′>0,故 y 极大值=f(e)= ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax= . e e x? 2 2.A [解析] 令 f(x)=x2y=x2? ?3-3?,x∈[0,9],令 f′(x)=6x-x =0,得 x=0 或 x=6, 可以验证 x=6 时 f(x)有最大值 36. 3 3 3 3. C [解析] y′=- t2- t+36=- (t+12)(t-8), 令 y′=0 得 t=-12(舍去)或 t=8, 8 2 8 当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t<9 时,y′<0,∴当 t=8 时,y 有最大值. 4V 4.C [解析] 设底面边长为 x,则高为 h= , 3x2 4V 3 4 3V 3 ∴S 表=3× x+2× x2= + x2, 2· 4 x 2 3x 1.A 4 3V 3 ∴S′表=- 2 + 3x,令 S′表=0,得 x= 4V. x 3 经检验知,当 x= 4V时 S 表取得最小值. 【能力提升】 x-1 5.B [解析] 对 f(x)求导得 f′(x)= 2 . x 1 ? (1)若 x∈? ?2,1?,则 f′(x)<0; (2)若 x∈(1,2],则 f′(x)>0, 1 ? 故 x=1 是函数 f(x)在区间? ?2,2?上的唯一的极小值点, 也就是最小值点,故 f(x)min=f(1)=0; 1? 1 又 f? ?2?=1-ln2,f(2)=-2+ln2, 1? lne3-ln16 3 所以 f? - f (2) = - 2ln2 = , ?2? 2 2 因为 e3>2.73=19.683>16, 1? 所以 f? ?2?-f(2)>0, 1? 即 f? ?2?>f(2), 1 ? ?1? 即函数 f(x)在区间? ?2,2?上最大值是 f?2?. 1 ? ?1 ? 综上知函数 f(x)在区间? ?2,2?上最大值是 1-ln2,最小值是 0.即 f(x)在?2,2?上的最大 值和最小值之和是 1-ln2. 6.D [解析] 当 x≤0 时,f′(x)=6x2+6x,函数的极大值点是 x=-1,极小值点是 x =0,当 x=-1 时,f(x)=2,故只要在(0,2]上 eax≤2 即可,即 ax≤ln2 在(0,2]上恒成立,即 ln2 ln2 a≤ 在(0,2]上恒成立,故 a≤ . x 2 7.A [解析] 设船速度为 x(x>0)时,燃料费用为 Q 元,则 Q=kx3,由 6=k×103 可得 3 3 k= ,∴Q= x3, 500 500

3 3 6 96 ? 1= 3 x2+96, ∴总费用 y=? y′= x- 2 , 令 y′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20) ?500x +96?· x 500 x 500 x 时,y′<0,此时函数单调递减,当 x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增,∴当 x =20 时,y 取得最小值,∴此轮船以 20 km/h 的速度行驶每千米的费用总和最小. a 3 0<x< ?,高为 h=x· 8.D [解析] 折成盒子后底面正三角形的边长为 a-2x? tan30° = 2? ? 3 x, 设容积为 V,则 1 3 V=Sh= (a-2x)2sin60° · x, 2 3 a2 =x3-ax2+ x, 4 a2 2 V′=3x -2ax+ , 4 a a a a a 令 V′=0 得 x= 或 x= (舍去),当 0<x< 时,V′>0;当 <x< 时,V′<0. 6 2 6 6 2 a a3 a3 a3 4a3 a3 ∴x= 时,V 最大= - + = = . 6 216 36 24 216 54 1 1 9.200 [解析] 每月生产 x 吨时的利润为 f(x)=24 200- x2x-(50 000+200x)=- x3 5 5 +24 000x-50 000(x≥0). 3 由 f′(x)=- x2+24 000=0 得 x1=200,x2=-200,舍去负值.f(x)在[0,+∞)内有唯 5 一的极大值点,也是最大值点. 3 10. R [解析] 设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h,那么 h=R+ R2-x2,解 2 得 x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为 S=x· h= ?2Rh-h2?· h= 2Rh3-h4, 1 1 从而 S′= (2Rh3-h4)- (2Rh3-h4)′ 2 2 h2?3R-2h? 1 1 = (2Rh3-h4)- (6Rh2-4h3)= , 2 2 ?2R-h?h3 3 令 S′=0,解得 h= R,由于不考虑不存在的情况,所以在区间(0,2R)上列表如下: 2 h S′ S

?0,3R? ? 2 ?

+ - 增函数 减函数 3 由此表可知,当 x= R 时,等腰三角形面积最大. 2 2 6 11. π [解析] 解法一:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,那么由 r2+h2= 3 R2,Ra=2πr, 1 1 Ra?2 R3 a6 2 ?Ra?2 4 代入 V= πr2h,得 V= π·? · R - = · a - , ? 2π ? 12π 3 3 ? 2π ? 4π2 a6 3a5 再令 T(a)=a4- 2,求它的导数得 T′(a)=4a3- 2,令 T′(a)=0. 4π 2π 5 3a 2 6 即 4a3- 2=0,求得 a= π, 2π 3

3 R 2 0 最大值

?3R,2R? ?2 ?

2 2 6 2 6 检验,当 0<a< 6π 时,T′(a)>0;当 π<a<2π 时,T′(a)<0,所以当 a= π 时, 3 3 3 T(a)取得极大值,并且这个极大值就是最大值,且 T(a)取得最大值时,V 也就取得最大值, 2 6 所以当 a= π 时,漏斗的容积最大. 3 1 解法二:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,那么 r2+h2=R2,因此 V(r)= πr2h 3 1 2 1 = πr · R2-r2= π R2r4-r6 (0<r<R).令 T(r)=R2r4-r6,求它的导数 T′(r)=4R2r3-6r5. 3 3 6 6 再令 T′(r)=0,即 4R2r3-6r5=0,求得 r= R,可以检验当 r= R 时,T(r)取得最大值, 3 3 6 6 2 6 2 6 也就是当 r= R 时, V(r)取得最大值. 再把 r= R 代入 Ra=2πr 得 a= π.所以当 a= 3 3 3 3 π 时,漏斗的容积最大. 12.[解答] 设 CD=x(km),则 CE=3-x(km). 由题意知所需输电线的长 l 为:l=AC+BC= 1+x2+ 1.52+?3-x?2(0≤x≤3), -2?3-x? 2x l′= , 2+ 2 1+x 2 1.52+?3-x?2 3-x x 令 l′=0,得 =0, 2- 2 1+x 1.5 +?3-x?2 3-x x 即 , 2= 2 1+x 1.5 +?3-x?2 ?3-x?2 x2 平方得 = , 1+x2 1.52+?3-x?2 1.52x2+x2(3-x)2=(3-x)2+x2(3-x)2, 1.52x2=(3-x)2,1.5x=3-x, 2.5x=3,x=1.2, 故当 CD=1.2(km)时所需输电线最短. 【难点突破】 1 13.[解答] (1)由已知 m= , 200 1 x f(x)= ln(2x+1)- ,其中 x>0, 2 200 199-2x 1 1 ∴f′(x)= - = . 200 2x+1 200?2x+1? 由 f′(x)>0,即 199-2x>0,解得 0<x<99.5, 即加工产品订单金额 x∈(0,99.5)(单位: 万美元), 该企业的加工费随 x 的增加不断增长. 1 1 (2)依题设,企业加工生产不出现亏损,则当 x∈[10,20]时,都有 ln(2x+1)-mx≥ x, 2 20 ln?2x+1? 1 1 1 由 ln(2x+1)-mx≥ x,得 +m≤ . 2 20 20 2x ln?2x+1? 令 g(x)= ,x∈[10,20], 2x 2 · x-ln?2x+1? 2x+1 则 g′(x)= 2x2 2x-?2x+1?ln?2x+1? = . 2x2?2x+1? 令 h(x)=2x-(2x+1)ln(2x+1), 2 则 h′(x)=2-?2ln?2x+1?+?2x+1?2x+1?=-2ln(2x+1)<0, ? ?

可知 h(x)在[10,20]上单调递减. 从而 h(20)≤h(x)≤h(10), 又 h(10)=20-21ln21<21(1-ln21)<0. 故可知 g(x)在[10,20]上单调递减, ln41 ln41 1 因此 g(x)min= ,即 m≤ - . 40 40 20 ln41-2? 故当美元的贬值指数 m∈?0, 时,该企业加工生产不会亏损. 40 ? ?


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