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2006深圳第23届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案


23 届预赛试题及答案

第二十三届全国中学生物理竞赛
预 赛 试 题
本卷共九题,满分 200 分 一. (20 分,每小题 10 分) 1.如图所示,弹簧 S1 的上端固定在天花板上,下端连一小球 A,球 A 与球 B 之间用线相 连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、mB、mC,弹簧与线的质量 均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将 A、B 间的线突然剪断,求线刚剪断时 A、B、 C 的加速度。 2.两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁的 N、S 极如图所示,开始时平板及磁 铁皆处于水平位置,且静止不动。 (1)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触) , 并使之停在 A’B’处,结果发现两个条形磁铁碰在一起。 (2)如果将 AB 从原来位置突然竖直向上平移(磁铁与平板间始 终相互接触) , 并使之停在 A’’B’’处, 结果发现两个条形磁铁也碰在一起。 试定性地解释上述现象。 A″ 二. (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1.老爷爷的眼睛是老花眼。 (1)一物体 P 放在明视距离处,老爷爷看不清楚。试在示意图 1 中画出此时 P 通过眼睛成像的光路示意 图。 (2)戴了一副 300 度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P,试在示意图 2 中画出 P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。 (3)300 度的老花镜的焦距 f= _________m。 2. 有两个凸透镜, 它们的焦距分别为 f1 和 f2, 还有两个凹透镜, 它们的焦距分别为 f3 和 f4。 已知 f1>f2>?f3? >?f4?。如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜,要求能看到放大倍数尽可能大的 正立像,则应选取焦距为_____的透镜作物镜,应选取焦距为_____的透镜为目镜。
P 图1 眼球 P 图2 眼球

S1 A B S2 C
B′

A′ S A N S N

B

B″

三. (20 分,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分) 1.如图所示,电荷量为 q1 的正点电荷固定在坐标原点 O 处,电荷量为 q2 的正点电荷固定在 x 轴上,两电 荷相距 l,已知 q2=2 q1。 (1)求在 x 轴上场强为零的 P 点的坐标。 (2)若把一电荷量为 q0 的点电荷放在 P 点,试讨论它的稳定性(只考 虑被限制在沿 x 轴运动和被限制在垂直于 x 轴方向运动这两种情况) 。
q1 O l q2 x

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23 届预赛试题及答案

2、有一个静电场,其电势 U 随 坐标 x 的改变而变化,变化的图线如 图 1 所示,试在图 2 中画出该静电场 的场强 E 随 x 变化的图线(设场强沿 x 轴正方向时取正值,场强沿 x 轴负 方向时取负值) 。
U/V 40 20 0 2 -20 4 6 8 x/mm 0 10 12 2 4 6 8 x/mm 10 12 图1 E/V?m
-1

图2

四、 (20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭,一端开口,处于大 气中。大气压强与 H 厘米高的水银柱产生的压强相等,已知管长 L>H。现把细管弯成 L 形,如图所示。假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐 徐注入细管而不让细管中的气泄出。当细管弯成 L 形时,以 l 表示其竖直段的长度,问 l 取值满足什么条件时,注入细管的水银量为最大值?给出你的论证并求出水银量的最大值 (用水银柱的长度表示)
l

五、 (20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负 电子都以速率 v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素,电子的质量 m、 速率 v 和正、负电子间的距离 r 的乘积也满足量子化条件,即 mrv=nh/2? 式中 n 称为量子数,可取整数值 1,2,3,?;h 为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的 r 和能量 以及第一激发态与基态能量之差。

六、 (25 分)如图所示,两个金属轮 A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴 O1 和 O2 转动,O1 和 O2 相互平行,水平放置,每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1 轮的辐条长为 a1、电 阻为 R1,A2 轮的辐条长为 a2、电阻为 R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以 忽略。 半径为 a0 的绝缘圆盘 D 与 A1 同轴且固连在一起。 一轻绳的一端固定在 D 边 缘上的某点,绳在 D 上绕足够匝数后,悬挂一质量为 m 的重物 P,当 P 下落时, 通过细绳带动 D 和 A1 绕 O1 轴转动。转动过程中,A1、A2 保持接触,无相对滑动; 两轮与各自细轴之间保持良好的电接触,两细轴通过导线与一阻值为 R 的电阻相 连,除 R 和两轮 A1、A2 中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计。整个装置处在 磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行。现将 P 释放,试求 P 匀速 下落时的速度。
P ? ? D O1 a1 ? O2 a2 ? R ? ? ? ?B

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七、 (25 分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为 R,圆筒的 轴线在 O 处,圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为 B。筒壁的 H 处开有小孔,整个装置处在真空中。现有一质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子 P 以某一 初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设:筒壁是 光滑的,P 与筒壁碰撞是弹性的,P 与筒壁碰撞时其电量是不变的。若要使 P 与筒壁碰撞 的次数最少,问: 1.P 的速率应为多少? 2.P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?
H P O R

八、 (30 分)图中正方形 ABCD 是水平放置的固定的横梁的横截面,AB 是水平的,截面的边长为 l,一根 长为 2l 的柔软的轻细绳,一端固定在 A 点,另一端系一质量为 m 的小球,初始时,手持小球,将绳拉直,绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v0,使小球与 CB 边无接触地向下运动,当 v02 分别取下列 两值时,小球将打到梁上的何处? 1.v02=2(6 2.v02=2(3 2 +3 3 -1)gl 3 +11)gl
A B D C

设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。

九、 (30 分)从赤道上的 C 点发射州际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量最少,假定 地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体, R=6400 km。 已知质量为 m 的物体在地球引力作用下做椭圆运动时, Mm 其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系是 E=-G 2a 式中 M 为地球质量,G 为引力常量。 1.假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方 心 O 到发射点 C 的连线的夹角表示) 。 2.若考虑地球自转,则最小发射速度的大小为多少? Mm 3.试导出 E=-G 。 2a
O C N

向与地

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参考答案及评分标准 一、参考解答: 1.线剪断前,整个系统处于平衡状态.此时弹簧 S1 的弹力 F1=(mA+mB+mC)g (1) 弹簧 S2 的弹力 F2=mCg (2) 在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变化,但线的 拉力消失.设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC,则有 F1-mAg=mAaA (3) F2+mBg=mBaB (4) F2-mCg=mCaC (5) 解以上有关各式得 ,方向竖直向上 (6)

,方向竖直向下 (7) aC=0 (8) 2.开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡. (i)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段.起初,板向下加速移动,板与磁铁 有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动.在这过程中, 由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小.向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈 小.当板的加速度大到某一数值时, 最大静摩擦力减小到小于磁力, 于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.接着, 磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直到停在 A′B′处.在这过程中,磁铁对板的正压力增大,最 大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的,两条 磁铁吸在一起的状态不再改变. (ii)从板突然竖直向上平移到停下,板和磁铁的运动也经历两个阶.起初,板和磁铁一起作加速度方向向 上、速度向上的运动,在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦增大,作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始 终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动.接着,磁铁和板一起作加速度力减小,向下的加速度愈大,磁铁的正 压力愈小,最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着 平板相向运动并吸在一起. 评分标准:(本题 20 分) 1.10 分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分. 2.10 分.(i)5 分,(ii)5 分.(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则不给分). 二、参考答案

1. (iii) 2.f1,f4. 评分标准:(本题 20 分) 1.12 分.(i)4 分,(ii)4 分,(iii)4 分. 2.8 分.两个空格都填对,才给这 8 分,否则 0 分. 三、参考解答: 1. (i)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间.设 P 点的坐标为 x0,则有 (1) 已知 q2=2q1 (2) 由(1)、(2)两式解得 (3) (ii)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况.q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的大小分别为
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方向沿 x 轴正方向 方向沿 x 轴负方向 由于 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点. 由以上的讨论可知, 在 x 轴上, 在 P 点的两侧, 点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的方向都指向 P 点, 带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置.带负电的点 电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置. 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况.沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两侧附近,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点,因而带正电的点电荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴 的分量的电场力都背离 P 点.所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置.带负电的点电荷在 P 点附近受到的 电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置. 2. 评分标准:(本题 20 分) 1.12 分. (i)2 分. (ii)当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时, 正确论 证 q0>0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 3 分;正确 论证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 3 分.(未 列公式,定性分析正确的同样给分) 当 q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时, 正 确论证 q0>0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 2 分; 正确论证 q0<0,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分. 2.8 分.纵坐标标的数值或图线有错的都给 0 分.纵坐标的数值.图线与参考解答不同,正确的同样给分. 四、参考解答: 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位),注入少量水银后,气柱将因水银柱压 力而缩短.当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x),根据玻意耳定律,此时空气柱长度 空气柱上表面与管口的距离 (2) (1)

开始时 x 很小,由于 L>H,故 即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银 柱上表面与管口相平)时为止.何时水银柱表面与管口相平,可分下面两种情况讨论. 1.水银柱表面与管口相平时,水银柱未进入水平管 此时水银柱的长度 x≤l,由玻意耳定律有 (H+x)(L-x)=HL (3) 由(3)式可得 x=L-H (4) 由此可知,当 l≥L-H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值 xmax=L-H (5) 2.水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 x>l,由玻意耳定律有 (H+l)(L-x)=HL (6) (7) (8) 由(8)式得 l<L-H,或 L>H+l

(9)

(10) 即当 l<L-H 时,注入水银柱的最大长度 x<xmax. 由上讨论表明,当 l≥L-H 时,可注入的水银量为最大,这时水银柱的长度为 xmax,即(5)式. 评分标准:(本题 20 分)
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正确论证 l≥L-H 时,可注入的水银量最大,占 13 分.求出最大水银量占 7 分.若论证的方法与参考解答 不同,只要正确,同样给分. 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为 的圆周运动,电子的电荷量为 e,正、负电子间的库仑力是电 子作圆周运动所需的向心力,即

(1) 正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-,有 (2) 正、负电子间相互作用的势能 电子偶素的总能量 E=Ek++Ek-+Ep 由(1)、(2)、(3)、(4)各式得 (5) 根据量子化条件 ,n=1,2,3,… (6) (6)式表明,r 与量子数 n 有关.由(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为 n=1,2,3,… (7) 代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为 n=1,2,3,… (8) n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态.基态的能量为 (9) n=2 是第一激发态,与基态的能量差 (10) 评分标准:(本题 20 分) (2)式 2 分、(5)式 4 分,(7)式、(8)式各 5 分,(10)式 4 分. 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动.通过两个轮子之间无 相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速转动.由于两个轮子的辐条切割磁场线,所以在 A1 产生由周边沿辐 条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势,经电阻 R 构成闭合电路.A1、A2 中各辐条上流有沿 电动势方向的电流,在磁场中辐条受到安培力.不难看出,安培力产生的电磁力矩是阻力矩,使 A1、A2 加速转动 的势头减缓.A1、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻 力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均作匀角速转动,此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的角速度 (1) A1 带动 A2 转动,A2 的角速度 ω2 与 A1 的角速度 ω1 之间的关系为 ω1a1=ω2a2 (2) A1 中每根辐条产生的感应电动势均为 (3) 轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式. 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为
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(3) (4)

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(4) A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮功之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联,其数值为 (5) A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮功之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联,其数值为 (6) A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为 (7) 以(1)至(6)式代入(7)式,得

(8) 当 P 匀速下降时, 对整个系统来说, 重力的功率等于所有电阻的焦耳热功 率之和,即 (9) 以(8)式代入(9)式得

(10) 评分标准:(本题 25 分) (1)、(2)式各 2 分,(3)、(4)式各 3 分,(5)、(6)、(7)式各 2 分,(9)式 6 分,(10)式 3 分. 七、参考解答: 1.如图 1 所示, 设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外, 带电粒子 P 带正 电,其速率为 v.P 从小孔射入圆筒中因受到磁场的作用力而偏离入射方向,若与 筒壁只发生一次碰撞,是不可能从小孔射出圆筒的.但与筒壁碰撞两次,它就有 可能从小孔射出.在此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧 HM、 MN 和 NH 组成.现考察其中一段圆弧 MN,如图 2 所示.由于 P 沿筒的半径方向 入射,OM 和 ON 均与轨道相切,两者的夹角 (1) 设圆弧的圆半径为 r,则有 圆弧对轨道圆心 O′所张的圆心角 由几何关系得 (4) (2) (3)

解(2)、(3)、(4)式得 (5) 2.P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为 s=βr 经历时间为 (7) P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为 t=3t1 由以上有关各式得 (9) 评分标准:(本题 25 分) 1.17 分.(1)、(2)、(3)、(4)式各 3 分,(5)式 5 分.
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(6)

(8)

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2.8 分.(6)、(7)、(8)、(9)式各 2 分. 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后,由于细绳处于松弛状态,故从 C 点开始,小球沿竖直方向作初速 度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动.当小球运动到图 1 中的 M 点时, 绳刚被拉直,匀加速直线运动终止,此时绳与竖直方向的夹角为 α=30° . 在这过程中,小球下落的距离 细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式: (1)

(2) 在细绳拉紧的瞬间, 由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的, 故小球沿细绳方向的分速度 v1cosα 变为零,而与绳垂直的分速度保持不 变,以后小球将从 M 点开始以初速度 (3) 在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点, 如图 1 所示.由(1)、(2)、(3)式得 (4) 当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角为 θ,由能量关系有 (5) 用 FT 表示绳对小球的拉力,有 (6)

1. 设在 θ=θ1 时(见图 2),绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v=u1.以此 代入(5)、(6)两式得 (7) (8) 由(4)、(7)、(8)式和题设 v0 的数值可求得 θ1=45° (9) (10) 即在 θ1=45° 时,绳开始松弛.以 N1 表示此时小球在圆周上的位置, 此后,小球将脱离圆轨道从 N1 处以大小为 u1,方向与水平方向成 45° 角的 初速度作斜抛运动 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴水平向右,y 轴 竖直向上.若以小球从 N1 处抛出的时刻作为计时起点, 小球在时刻 t 的坐标 分别为 (11) (12) 由(11)、(12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程:

(13) AD 面的横坐标为 (14) 由(13)、(14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 y=0 (15) 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为 (16)
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把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75l 撞击点与 D 点的距离为△l=x-2lcos45° =0.35l (18) 2. 设在 θ=θ2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v=u2, 以此代替(5)、(6)式中的 θ1、u1,得 (19) (20) 以 θ2=90° 代入(4)式,与(19)、(20)式联立,可解得 (21)

(17)

(22) (22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中的拉力不断 增加,拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力,小球将绕以 D 点为圆心,l 为半径的圆 周打到梁上的 C 点. 评分标准:(本题 25 分) (3)式 2 分,(5)、(6)式各 1 分,(9)、(10)式各 3 分,得出小球不可能打在 AD 边上,给 3 分.得出小球能 打在 DC 边上,给 2 分,正确求出小球打在 DC 边上的位置给 2 分,求出(21)、(22)式各占 3 分,得出小球能打 在 C 点,再给 2 分. 如果学生直接从抛物线方程和 y=-(2lsin45° -l)=-( 边上. 九、参考解答: 1.这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到 N 点,则 此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内,因此导 弹的发射速度(初速度 v)必须也在此平面内,地心 O 是椭圆的一个焦点.根据对称性,注意到椭圆上的 C、N 两点 到焦点 O 的距离相等,故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的直线,即图上的直线 AB, 椭圆的另一焦点必在 AB 上.已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球构成的系统的能量 E(无 穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为 (1) 要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短.根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦点到椭圆上 任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径 R,只要位于长轴上的另一焦点 到 C 的距离最小,该椭圆的半长轴就最小.显然,当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点的距 离必最小.由几何关系可知 (2) 设发射时导弹的速度为 v,则有 (3) 解(1)、(2)、(3)式得 因 (5) (4) -1)l 求出 x=1.75l, 同样给分.不必证明不能撞击在 AD

比较(4)、(5)两式得 (6) 代入有关数据得 v=7.2km/s (7) 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线,平分两焦点到 该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角 (8) 2.由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为
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(9)

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式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24× 3600s=86400s,故 vC=0.46km/s(10) C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC, 为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7)、(8)两式的要求,导弹相对于地面(C 点)的发射速度应有一 大小等于 vC、方向与 vC 相反的分速度,以使导弹在此方向相对于地心的速度为零,导弹的速度的大小为 (11) 代入有关数据得 v′=7.4km/s (12) 它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式. 3.质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对于近地点和远地 点有下列关系式 (13) (14) 式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离.将(14)式中的 v1 代入(13)式,经整理得

(15) 注意到 r1+r2=2a 得 因 (16) (17) (18)

由(16)、(17)、(18)式得 (19) 评分标准:(本题 25 分) 1.14 分.(2)式 6 分,(3)式 2 分,(6)、(7)式共 4 分,(8)式 2 分. 2.6 分.(11)式 4 分,(12)式 2 分. 3.5 分.(13)、(14)式各 1 分,(19)式 3 分.

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