当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三数学上学期第四次月考试卷 文(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

山东省枣庄市滕州市善国中学 2015 届高三上学期第四次月考数学试 卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 C={x∈N|1≤x≤10},则() A. 8?C B.

8? C C. 8 ?C D. 8∈C 2. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域为[﹣3,5],则函数 g(x)=f(x+1)+f(x﹣2)的定义 域是() A. [﹣2,3] B. [﹣1,3] C. [﹣1,4] D. [﹣3,5] 3. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数分 别为 900、900、1200 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从 2015 届高三年级抽取的学生人数为() A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 4. (5 分)sin15°cos165°的值是() A. B. C. D.

5. (5 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于() A. ﹣10 B. ﹣8 C. ﹣ 6 D. ﹣4 6. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A. 命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 2 2 B. “am <bm ”是”a<b”的充分不必要条件 2 2 C. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 D. 命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 7. (5 分)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视 图的面积为()

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

8. (5 分)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图) ,要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°, 就可以计算出 A,B 两点的距离为()

A. 50

m

B. 50

m

C. 25

m

D.

m

9. (5 分)已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下 面四个图象中,y=f(x)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知直线 l,m,平面 α ,β ,且 l⊥α ,m? β ,给出下列四个命题: ①若 α ∥β ,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,则 l∥m; ④若 l∥m,则 α ⊥β 其中正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

11. (5 分)已知函数

满足对任意的实数 x1≠x2 都有

成立,则实数 a 的取值范围为()

A. (﹣∞,2)

B.

C. (﹣∞,2]

D.

12. (5 分)己知 x∈[﹣1,1],则方程 2 A. 2 B. 3

﹣|x|

=cos2π x 所有实数根的个数为() C. 4 D. 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=

的最小值为.

14. (5 分)已知 x>0,y>0,若

+

>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是.

2

15. (5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若 AB=AA1=2, AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于. 16. (5 分)下面四个命题: ①已知函数 f(x)= 且 f(a)+f(4)=4,那么 a=﹣4;

②要得到函数 y=sin(2x+

)的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移

单位;

③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,则 f(x)是周期函数; ④已知奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,且 f(﹣1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集{x|x <﹣1}. 其中正确的是.

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 (Ⅰ)求 c 的值及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明: . (c 是常数, n∈N*) , a2=6.

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

18. (12 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V.

19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< 示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 ,求 cosα 的值.

)的部分图象如图所

20. (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC. (1)求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2)若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,试确定 点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

21. (12 分)设函数 f(x)=ax﹣lnx,g(x)=e ﹣ax,其中 a 为正实数. (l)若 x=0 是函数 g(x)的极值点,讨论函数 f(x)的单调性;

x

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)若 f(x)在(1,+∞)上无最小值,且 g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求 a 的 取值范围;并由此判断曲线 g(x)与曲线 y= ax ﹣ax 在(1,+∞)交点个数.
2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分【选修 4—1: 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD, CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

【选修 4—1:几何证明选讲】 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:

ρ sin θ =2acosθ (a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:

2



直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.对于任意的实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a﹣b|≥M?|a|恒成立,记实数 M 的最大 值是 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m.

山东省枣庄市滕州市善国中学 2015 届高三上学期第四次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 C={x∈N|1≤x≤10},则() A. 8?C B. 8? C C. 8 ?C D. 8∈C 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 欲元素 8 与集合 C 关系的判断,只须看元素 8 在不在集合 C 中,也就是看 8 适合不 适合不等关系 1≤x≤10. 解答: 解:因 1≤8≤10,且 8∈N C={x∈N|1≤x≤10}, ∴8∈C 故选 D. 点评: 本题主要考查了元素与集合关系的判断,注意元素与集合关系只能是属于或不属于 的关系. 2. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域为[﹣3,5],则函数 g(x)=f(x+1)+f(x﹣2)的定义 域是() A. [﹣2,3] B. [﹣1,3] C. [﹣1,4] D. [﹣3,5] 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论. 解:∵函数 y=f(x)的定义域为[﹣3,5], ,





解得﹣1≤x≤4, 故函数的定义域为[﹣1,4], 故选:C 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的 关键. 3. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数分 别为 900、900、1200 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从 2015 届高三年级抽取的学生人数为() A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义即可得到结论.

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:三个年级的学生人数比例为 3:3:4, 按分层抽样方法,在 2015 届高三年级应该抽取人 数为 人,

故选:B. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件确定抽取比例是解决本题的关键,比较基 础. 4. (5 分)sin15°cos165°的值是() A. B. C. D.

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式将 cos165°转化为﹣cos15°,再逆用二倍角的正弦即可求得答案. 解答: 解:∵cos165°=﹣cos15°, ∴sin15°cos165° =sin15°(﹣cos15°) =﹣ sin30° =﹣ . 故选 A. 点评: 本题考查诱导公式与二倍角的正弦,着重考查二倍角公式的逆用,属于中档题. 5. (5 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于() A. ﹣10 B. ﹣8 C. ﹣ 6 D. ﹣4 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意可得,a3=a1+4,a4=a1+6,根据 (a1+4) =a1 (a1+6) ,求得 a1 的值.从而得解. 解答: 解:由题意可得,a3=a1+4,a4=a1+6.∵a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴(a1+4) =a1 (a1+6) , ∴a1=﹣8, ∴a2 等于﹣6, 故选:C 点评: 本题考查等差数列的通项公式,等比数列的定义,求出 a1 的值是解题的难点. 6. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A. 命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 2 2 B. “am <bm ”是”a<b”的充分不必要条件 2 2 C. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 D. 命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 对于 A,写出逆否命题,比照后可判断真假; 对于 B,利用必要不充分条件的定义判断即可; 对于 C,写出原命题的否定形式,判断即可. 对于 D,根据复合命题真值表判断即可; 2 2 解答: 解:命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1,故 A 正确; 2 2 2 2 2 “am <bm ”? ”a<b”为真,但”a<b”? “am <bm ”为假(当 m=0 时不成立) ,故“am 2 <bm ”是”a<b”的充分不必要条件,故 B 正确; 2 2 命题 p:存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则¬p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0,故 C 正确; 命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题,故 D 错误, 故选:D 点评: 本题借助考查命题的真假判断,考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假 判定. 7. (5 分)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视 图的面积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图;由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得侧视图为三角形,且边长为边长为 1 的正三角形的高线,高等于正视图 的高,分别求解代入三角形的面积公式可得答案. 解答: 解:∵边长为 1 的正三角形的高为 ∴侧视图的底边长为 , , = = ,

又侧视图的高等于正视图的高 故所求的面积为:S=

故选 A 点评: 本题考查简单空间图形的三视图,涉及三角形面积的求解,属基础题.

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

8. (5 分)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图) ,要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°, 就可以计算出 A,B 两点的距离为()

A. 50

m

B. 50

m

C. 25

m

D.

m

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意及图知,可先求出∠BAC,再由正弦定理得到 AB= 算出 A,B 两点的距离 解答: 解:由题意及图知,∠BAC=30°,又 BC=50m,∠BCA=45° 由正弦定理得 AB= =50 m 代入数据即可计

故选 A 点评: 本题考查利用正弦定理求长度,是正弦定理应用的基本题型,计算题. 9. (5 分)已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下 面四个图象中,y=f(x)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据函数 y=﹣xf′(x)的图象,依次判断 f(x)在区间(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) , (0,1) , (1,+∞)上的单调性即可.

-9-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由函数 y=﹣xf′(x)的图象可知: 当 x<﹣1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)>0,此时 f(x)增; 当﹣1<x<0 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 0<x<1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 x>1 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)>0,此时 f(x)增. 综上所述,y=f(x)的图象可能是 B, 故选:B. 点评: 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,同时考查了分类讨论的思想,属于基 础题. 10. (5 分)已知直线 l,m,平面 α ,β ,且 l⊥α ,m? β ,给出下列四个命题: ①若 α ∥β ,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,则 l∥m; ④若 l∥m,则 α ⊥β 其中正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 等差数列的性质. 专题: 综合题. 分析: 利用直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断,成立的证明,不 成立的可举出反例. 解答: 解;①∵l⊥α ,α ∥β ,∴l⊥β ,又∵m? β ,∴l⊥m,①正确. ②由 l⊥m 推不出 l⊥β ,②错误. ③当 l⊥α ,α ⊥β 时,l 可能平行 β ,也可能在 β 内,∴l 与 m 的位置关系不能判断,③ 错误. ④∵l⊥α ,l∥m,∴m∥α ,又∵m? β ,∴α ⊥β 故选 C 点评: 本题主要考查显现,线面,面面位置关系的判断,属于概念题.

11. (5 分)已知函数

满足对任意的实数 x1≠x2 都有

成立,则实数 a 的取值范围为()

A. (﹣∞,2)

B.

C. (﹣∞,2]

D.

考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题.

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据题意,分段函数 f(x)是定义在 R 上的减函数.因为当 x<2 时,f(x)=( )
x

﹣1 是减函数,所以当 x≥2 时,函数 f(x)=(a﹣2)x 也为减函数,可得 a<2.同时还需 ,最后综合可得实

满足:在 x=2 处,指数式的取值大于或等于一次式的取值,解之得 a≤ 数 a 的取值范围. 解答: 解:∵对任意的实数 x1≠x2 都有

成立,

∴当 x1<x2 时,f(x1)>f(x2) ,可得函数 f(x)是定义在 R 上的减函数 因此,①当 x≥2 时,函数 f(x)=(a﹣2)x 为一次函数且为减函数,有 a<2?(*) ; ②当 x<2 时,f(x)=( ) ﹣1 也是减函数. 同时,还需满足:2(a﹣2)≤( ) ﹣1,解之得 a≤ 围是: 故选 B 点评: 本题以分段函数为例,在已知函数的单调性的情况下求参数的取值范围,着重考查 了函数的单调性的判断与证明的知识,属于中档题. 12. (5 分)己知 x∈[﹣1,1],则方程 2 A. 2 B. 3
﹣|x| 2 x

,再结合(*)可得实数 a 的取值范

=cos2π x 所有实数根的个数为() C. 4 D. 5

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. ﹣|x| 分析: 在同一坐标系内作出函数 f(x)=2 ,g(x)=cos2π x 的图象,根据图象交点的个 数,可得方程解的个数. ﹣|x| 解答: 解:在同一坐标系内作出函数 f(x)=2 ,g(x)=cos2π x 的图象

根据函数图象可知,图象交点的个数为 5 个 ﹣|x| ∴方程 2 =cos2π x 所有实数根的个数为 5 个 故选 D.

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查方程解的个数,考查函数图象的作法,考查数形结合的数学思想,属于中 档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

,则目标函数 z=

的最小值为 1.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论. 解答: 解:z 的几何意义为区域内点到点 G(0,﹣1)的斜率, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知,AG 的斜率最小, 由 解得 ,即 A(2,1) ,

则 AG 的斜率 k= 故答案为:1



点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及直线斜率的计算,利用数形结 合是解决本题的关键.
2

14. (5 分)已知 x>0,y>0,若

+

>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是﹣4<m<2.

考点: 函数恒成立问题;基本不等式. 专题: 计算题.

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据题意,由基本不等式的性质,可得
2

+

≥2

=8,即

+

的最小值为

8,结合题意,可得 m +2m<8 恒成立,解可得答案. 解答: 解:根据题意,x>0,y>0,则 则 若
2

>0,

>0,

+ +

≥2
2

=8,即

+
2

的最小值为 8,

>m +2m 恒成立,必有 m +2m<8 恒成立,
2

m +2m<8?m +2m﹣8<0, 解可得,﹣4<m<2, 故答案为﹣4<m<2. 点评: 本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用,关键是利用基本不等式求出 + 的最小值.

15. (5 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若 AB=AA1=2, AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于 8π . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 通过已知体积求出底面外接圆的半径,确定球心为 O 的位置,求出球的半径,然后 求出球的表面积. 解答: 解:在△ABC 中 AB=AA1=2,AC=1,∠BAC=60°, 可得 BC= , 可得△ABC 外接圆半径 r=1, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面, 三棱柱为直三棱柱,侧面 BAA1B1 是正方形它的中心是球心 O, 球的直径为:BA1=2 ,球半径 R= , 2 故此球的表面积为 4π R =8π 故答案为:8π

点评: 本题是中档题,解题思路是:先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球 的半径,这是三棱柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力,计算能力. 16. (5 分)下面四个命题: ①已知函数 f(x)= 且 f(a)+f(4)=4,那么 a=﹣4;

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ②要得到函数 y=sin(2x+ )的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移 单位;

③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,则 f(x)是周期函数; ④已知奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,且 f(﹣1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集{x|x <﹣1}. 其中正确的是③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 由分段函数函数值的求法结合 f(a)+f(4)=4 分类求解 a 的值判断①; 把函数 y=sin(2x+ )变形为 sin[2(x+ )],看自变量的变化判断②;

由已知条件求出函数周期判断③; 结合函数的单调性与奇偶性求得不等式 f(x)<0 的解集判断④. 解答: 解:对于①,∵f(x)= ∴f(4)=2, 又 f(a)+f(4)=4, ∴f(a)=2. 若 a≥0,则 f(a)= 若 a<0,则 对于②,∵y=sin(2x+ ∴要得到函数 y=sin(2x+ ,

,a=4. ,a=﹣4.∴命题①错误; )=sin[2(x+ )], 单位.∴命题②错

)的图象,只要将 y=sin2x 的图象向左平移

误; 对于③,若定义在(﹣∞,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) , 则 f(x+2)=f(x+1+1)=﹣f(x+1)=﹣[﹣f(x)]=f(x) . ∴f(x)是周期为 2 的周期函数.命题③正确; 对于④,奇函数 f(x)在(0,+∞)为增函数,则 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数, 又 f(﹣1)=0, ∴f(1)=0, 则不等式 f(x)<0 的解集{x|x<﹣1 或 0<x<1}.∴命题④错误. ∴正确的命题是③. 故答案为:③. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了函数的性质,解答此题的关键在于对函 数性质的理解与应用,是中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 (Ⅰ)求 c 的值及数列{an}的通项公式; (c 是常数, n∈N*) , a2=6.

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)证明: .

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)根据 ,令 n=1 代入求出 a1,令 n=2 代入求出 a2,由 a2=6

即可求出 c 的值,由 c 的值即可求出首项和公差,根据首项和公差写出等差数列的通项公式 即可; (Ⅱ) 利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标, 利用 ( ﹣ ) ,把各项拆项后抵消化简后即可得证. , ,解得 a1=2c, =

解答: 解: (Ⅰ)解:因为 所以当 n=1 时,

当 n=2 时,S2=a2+a2﹣c,即 a1+a2=2a2﹣c,解得 a2=3c, 所以 3c=6,解得 c=2, 则 a1=4,数列{an}的公差 d=a2﹣a1=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n+2; (Ⅱ)因为 = = = = = . .

因为 n∈N*,所以

点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值,会利用拆 项法进行数列的求和,是一道综合题. 18. (12 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积 V.

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 在 Rt△ABC, ∠BAC=60°, 可得 AC=2AB, PA=CA, 又 F 为 PC 的中点, 可得 AF⊥PC. 利 用线面垂直的判定与性质定理可得:CD⊥PC.利用三角形的中位线定理可得:EF∥CD.于是 EF⊥PC.即可证明 PC⊥平面 AEF. (2)利用直角三角形的边角关系可得 BC,CD.SABCD= V= ,即可得出. .利用

解答: (1)证明:在 Rt△ABC,∠BAC=60°, ∴AC=2AB, ∵PA=2AB, ∴PA=CA, 又 F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC. ∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD. 则 EF⊥PC. ∵AF∩EF=F, ∴PC⊥平面 AEF. (2)解:在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60°, ∴BC= ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2 ,AD=4. ∴SABCD= 则 V= = = . .

- 16 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

点评: 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角 关系、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< 示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 ,求 cosα 的值.

)的部分图象如图所

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 作图题;综合题. 分析: (I) 观察图象可得函数的最值为 1, 且函数先出现最大值可得 A=1; 函数的周期 T=π , 结合周期公式 T= 可求 ω ;由函数的图象过( ) ,从而由 f( )= . ,利用 )代入可得 φ )= ,代入整理可得 sin( )

(II)由(I)可得 f(x)=sin(2x+ = ,结合已知 0<a<

,可得 cos(α +

,代入两角

差的余弦公式可求 解答: 解: (Ⅰ)由图象知 A=1 f(x)的最小正周期 T=4×( 将点( 又|φ |< ﹣ )=π ,故 ω = =2

,1)代入 f(x)的解析式得 sin( ,∴φ =

+φ )=1,

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+



- 17 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

(Ⅱ)f(

)= ,即 sin( )= . )﹣

)= ,注意到 0<a<

,则







所以 cos(α + 又 cosα =[(α +

]=cos(α +

)cos

+sin(α +

)sin

=

点评: 本题主要考查了(i)由三角函数的图象求解函数的解析式,其步骤一般是:由函数 的最值求解 A, (但要判断是先出现最大值或是最小值,从而判断 A 的正负号)由周期求解 ω= ,由函数图象上的点(一般用最值点)代入求解 φ ;

(ii)三角函数的同角平方关系,两角差的余弦公式,及求值中的拆角的技巧,要掌握常见的 拆角技巧: ①2α = (α +β ) + (α ﹣β ) ②2β = (α +β ) ﹣ (α ﹣β ) ③α = (α +β ) ﹣β ④β = (α +β )﹣α 20. (12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC. (1)求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2)若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,试确定 点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由于已知,可得 B1C1⊥CC1,又 AC⊥BC,可得 B1C1⊥A1C1,从而 B1C1⊥平面 AC1, 又 B1C1? 平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥平面 AC1. (2)由(1)知,B1C1⊥A1C,若 AB1⊥A1C,则可得:A1C⊥平面 AB1C1,从而 A1C⊥AC1,由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1:1. (3)证法一:设 F 是 BB1 的中点,连结 DF、EF、DE.则易证:平面 DEF∥平面 AB1C1,从而 DE∥ 平面 AB1C1. 证法二:设 G 是 AB1 的中点,连结 EG,则易证 EG DC1.即有 DE∥C1G,DE∥平面 AB1C1.
- 18 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)由于 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,所以 B1C1⊥CC1; 又因为 AC⊥BC,所以 B1C1⊥A1C1,所以 B1C1⊥平面 AC1. 由于 B1C1? 平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥平面 AC1. (2)由(1)知,B1C1⊥A1C.所以,若 AB1⊥A1C,则可 得:A1C⊥平面 AB1C1,从而 A1C⊥AC1. 由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1:1. (3)点 E 位于 AB 的中点时,能使 DE∥平面 AB1C1. 证法一:设 F 是 BB1 的中点,连结 DF、EF、DE. 则易证:平面 DEF∥平面 AB1C1,从而 DE∥平面 AB1C1. 证法二:设 G 是 AB1 的中点,连结 EG,则易证 EG DC1.

所以 DE∥C1G,DE∥平面 AB1C1. 点评: 本题主要考察了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,属于基本知识的 考查. 21. (12 分)设函数 f(x)=ax﹣lnx,g(x)=e ﹣ax,其中 a 为正实数. (l)若 x=0 是函数 g(x)的极值点,讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在(1,+∞)上无最小值,且 g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求 a 的 取值范围;并由此判断曲线 g(x)与曲线 y= ax ﹣ax 在(1,+∞)交点个数.
2 x

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)求出 g(x)的导数,令它为 0,求出 a=1,再求 f(x)的导数,令它大于 0 或 小于 0,即可得到单调区间; (2)求出 f(x)的导数,讨论 a 的范围,由条件得到 a≥1,再由 g(x)的导数不小于 0 在 (1,+∞)上恒成立,求出 a≤e,令 导数,求出单调区间,判断极值与 e 的大小即可. x 解答: 解: (1)由 g′(x)=e ﹣a, g′(0)=1﹣a=0 得 a=1,f(x)=x﹣lnx ∵f(x)的定义域为: (0,+∞) , , 即 a= ,令 h(x)= ,求出

∴函数 f(x)的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) . (2)由 若 0<a<1 则 f(x)在(1,+∞)上有最小值 f( ) , 当 a≥1 时,f(x)在(1,+∞)单调递增无最小值. ∵g(x)在(1,+∞)上是单调增函数 x ∴g'(x)=e ﹣a≥0 在(1,+∞)上恒成立 ∴a≤e,

- 19 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 综上所述 a 的取值范围为[1,e], 此时 即 a= ,令 h(x)= ,h′(x)= ,

则 h(x)在(0,2)单调递减, (2,+∞)单调递增, 极小值为 .故两曲线没有公共点.

点评: 本题考查导数的综合应用:求单调区间,求极值和最值,考查分类讨论的思想方法, 曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题,属于中档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分【选修 4—1: 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,且 AD= AC,AE= AB,BD, CE 相交于点 F. (Ⅰ)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

考点: 分析法和综合法. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)依题意,可证得△BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC? ∠ADF+∠AEF=π ,即 可证得 A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)取 AE 的中点 G,连接 GD,可证得△AGD 为正三角形,GA=GE=GD= ,即点 G 是△AED 外 接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 解答: (Ⅰ)证明:∵AE= AB, ∴BE= AB, ∵在正△ABC 中,AD= AC, ∴AD=BE, 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC, 即∠ADF+∠AEF=π ,所以 A,E,F,D 四点共圆.?(5 分)
- 20 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)解:如图,

取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE, ∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= , ∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形, ∴GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= , 所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 .?(10 分) 点评: 本题考查利用综合法进行证明,着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突 出推理能力与分析运算能力的考查,属于难题. 【选修 4—1:几何证明选讲】 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C:

ρ sin θ =2acosθ (a>0) ,已知过点 P(﹣2,﹣4)的直线 L 的参数方程为:

2



直线 L 与曲线 C 分别交于 M,N. (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 L 的普通方程; (Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 考点: 参数方程化成普通方程;等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)消去参数可得直线 l 的普通方程,曲线 C 的方程可化为 ρ sin θ =2aρ cosθ , 2 从而得到 y =2ax.

- 21 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

(II)写出直线 l 的参数方程为

,代入 y =2ax 得到

2

,则有 |BC| =|AB|,|AC|,代入可求 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C: 2 2 2 ρ sin θ =2acosθ ? ρ sin θ =2aρ cosθ , 2 即 y =2ax,
2

,由

直线 L 的参数方程为:

,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x+2 即 y=x﹣2(3

分)

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

代入 y =2ax 得到 则有 因为|MN| =|PM|?|PN|,所以
2

2

, ?(8 分)

即:[2 (4+a)] ﹣4×8(4+a)=8(4+a) 解得 a=1?(10 分) 点评: 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线的参数方程中参数的几何意 义,是一道基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.对于任意的实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a﹣b|≥M?|a|恒成立,记实数 M 的最大 值是 m. (1)求 m 的值; (2)解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意可得, 由 可 对于任意的实数 a(a≠0)和 b 恒成立,再

2

得,M≤2,由此可得 m 的值.

- 22 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2) 由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, 而数轴上 和 对 应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 2,由此求得|x﹣1|+|x﹣2|≤2 的解集. 解答: 解: (1)不等式|a+b|+|a﹣b|≥M?|a|恒成立, 即 对于任意的实数 a(a≠0)和 b 恒成立,

故只要左边恒小于或等于右边的最小值.?(2 分) 因为|a+b|+|a﹣b|≥|(a+b)+(a﹣b)|=2|a|, 当且仅当(a﹣b) (a+b)≥0 时等号成立, 即|a|≥|b|时, 也就是 成立, 的最小值是 2,

故 M 的最大值为 2,即 m=2.?(5 分) (2)不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m 即|x﹣1|+|x﹣2|≤2. 由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, 而数轴上 和 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和正好等于 2, 故|x﹣1|+|x﹣2|≤2 的解集为:{x| }. (10 分)

点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档 题.

- 23 -


相关文章:
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科) Word版含解析 - 副本
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科) Word版含解析 - 副本_数学_高中教育_教育专区。www.ewt360.com 升学助考一网通 一、...
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷
中华资源库 www.ziyuanku.com 山东省枣庄市滕州市善国中学 2015 届高三上学期第四次 月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每...
山东滕州善国中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题 (Word版含答案)
山东滕州善国中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题 (Word版含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东滕州善国中学2015届高三上学期第四次月考数学...
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)_数学_...(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,...
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)
山东省枣庄市滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学试卷(文科)_数学_...(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,...
山东省滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案
暂无评价|0人阅读|0次下载 山东省滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 年山东省滕州市善...
山东省滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含答案
暂无评价|0人阅读|0次下载 山东省滕州市善国中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 年山东省滕州市善...
山东省滕州市善国中学2015届高三第一学期期中考试数学(文)试题及答案
山东省滕州市善国中学2015届高三第一学期期中考试数学(文)试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年度山东省滕州市善国中学高三第一学期期中考试 数学(...
2015山东滕州市善国中学2015年高三4月模拟考试理科数学试卷及答案
暂无评价|0人阅读|0次下载 2015山东滕州市善国中学2015年高三4月模拟考试理科数学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。山东省滕州市善国中学 2015 年高三 4 月模...
更多相关标签:
山东省枣庄市滕州市 | 枣庄市滕州市 | 枣庄市滕州市天气 | 山东省滕州市滕东中学 | 山东省滕州市 | 滕州市在山东省排第几 | 山东省滕州市黑社会 | 山东省滕州市滕东监狱 |