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2014重庆卷(理科数学)精准解析


2014 高考真题·重庆卷(理科数学) 1.[2014 高考真题· 重庆卷] 复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.A [解析] i(1-2i)=2+i,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限. 2.[2014 高考真题· 重庆卷] 对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9,成等比数列 2.D [解析] 因为在等比数列中 an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以 a3,a6,a9 成等比数列. 3.[2014 高考真题· 重庆卷] 已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x=3,y=3.5,则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y^=0.4x+2.3 B.y^=2x-2.4 C.y^=-2x+9.5 D.y^=-0.3x+4.4 3.A [解析] 因为变量 x 与 y 正相关,则在线性回归方程中,x 的系数应大于零,排除 B,D;将 x=3,y =3.5 分别代入 A,B 中的方程只有 A 满足,故选 A. 4.[2014 高考真题· 重庆卷] 已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=( ) 9 A.- B.0 2 15 C.3 D. 2 4.C [解析] ∵2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6),又(2a-3b)⊥c,∴(2k-3)×2+(-6)=0,解得 k=3. 5.[2014 高考真题· 重庆卷] 执行如图 11 所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的条件是 ( )

图 11 1 3 A.s> B.s> 2 5 7 4 C.s> D.s> 10 5 9 9 9 8 4 5.C [解析] 第一次循环结束,得 s=1× = ,k=8;第二次循环结束,得 s= × = ,k=7;第三次 10 10 10 9 5 4 7 7 7 循环结束,得 s= × = ,k=6,此时退出循环,输出 k=6.故判断框内可填 s> . 5 8 10 10 6.[2014 高考真题· 重庆卷] 已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0,q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则 下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.綈 p∧綈 q C.綈 p∧q D.p∧綈 q 6.D [解析] 根据指数函数的图像可知 p 为真命题.由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,所以 q 为假命 题,所以綈 q 为真命题,所以 p∧綈 q 为真命题. 7.[2014 高考真题· 重庆卷] 某几何体的三视图如图 12 所示,则该几何体的表面积为( )

图 12 A.54 B.60 C.66 D.72 7.B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得,三棱柱的底面是一个两直角 边长分别为 3 和 4 的直角三角形,高为 5,截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为 3 和 4 的直角三角形,高 3×5 2+5 2+5 1 为 3,所以表面积为 S= ×3×4+ + ×4+ ×5+3×5=60. 2 2 2 2 x2 y2 8.[2014 高考真题· 重庆卷] 设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 a b 9 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( ) 4 4 5 9 A. B. C. D.3 3 3 4 8.B [解析] 不妨设 P 为双曲线右支上一点,根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a,联立|PF1|+|PF2|=3b, 2 9b2-4a2 9b2-4a2 9 b?2 b 4 c ?4? 平方相减得|PF1|· |PF2|= , 则由题设条件, 得 = ab, 整理得 = , ∴e= = 1+? = 1 + ?a? ?3? 4 4 4 a 3 a 5 = . 3 9.[2014 高考真题· 重庆卷] 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 9.B [解析] 分两步进行:(1)先将 3 个歌舞进行全排,其排法有 A3 3种;(2)将小品与相声插入将歌舞分开, 3 2 2 若两歌舞之间只有一个其他节目,其插法有 2A3种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有 C1 2A2A2种.所以由 3 1 2 2 计数原理可得节目的排法共有 A3 3(2A3+C2A2A2)=120(种). 1 10. ,[2014 高考真题· 重庆卷] 已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ , 2 面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 10. A [解析] 因为 A+B+C=π , 所以 A+C=π -B, C=π -(A+B), 所以由已知等式可得 sin 2A+sin(π 1 1 -2B)=sin[π -2(A+B)]+ ,即 sin 2A+sin 2B=sin 2(A+B)+ , 2 2 1 所以 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+ , 2 1 所以 2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+ , 2 1 1 所以 2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]= ,所以 sin Asin Bsin C= . 2 8 1 由 1≤S≤2, 得 1≤ bcsin A≤2.由正弦定理得 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C, 所以 1≤2R2· sin Asin Bsin 2 2 R C≤2,所以 1≤ ≤2,即 2≤R≤2 2,所以 bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8. 4 11.[2014 高考真题· 重庆卷] 设全集 U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则(?UA)∩B=________. 11.{7,9} [解析] 由题知?UA={4,6,7,9,10}, ∴(?UA)∩B={7,9}. 12.[2014 高考真题· 重庆卷] 函数 f(x)=log2 x·log 2(2x)的最小值为________. 1? 1 1 12.- [解析] f(x)=log2 x·log 2(2x)= log2 x·2log2(2x)=log2x·(1+log2x)=(log2x)2+log2x=? ?log2x+2? 4 2 2 1 2 1 - ,所以当 x= 时,函数 f(x)取得最小值- . 4 2 4

13.[2014 高考真题· 重庆卷] 已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点, 且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 13.4± 15 [解析] 由题意可知圆的圆心为 C(1,a),半径 r=2,则圆心 C 到直线 ax+y-2=0 的距离 d |2a-2| ?2 |a+a-2| |2a-2| 2 2 2 ? = = . ∵△ ABC 为等边三角形,∴ | AB | = r = 2. 又 | AB | = 2 r - d ,∴ 2 2 - ? 2 ? =2,即 a2 ? a +1? a2+1 a2+1 -8a+1=0,解得 a=4± 15. 14.[2014 高考真题· 重庆卷] 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C.若 PA =6,AC=8,BC=9,则 AB=________. 14. 4 [解析] 根据题意, 作出图形如图所示, 由切割线定理, 得 PA2=PB· PC=PB· (PB+BC), 即 36=PB· (PB AB PB +9)∴PB=3,∴PC=12.由弦切角定理知∠PAB=∠PCA,又∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA,∴ = , CA PA PB·CA 3×8 即 AB= = =4. PA 6

? ?x=2+t, 15.[2014 高考真题· 重庆卷] 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ?y=3+t ? 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ -4cos θ =0(ρ≥0,0≤θ<2π ),则直线 l 与曲线 C 的公 共点的极径ρ =________. 15. 5 [解析] 由题意,得直线 l 的普通方程为 x-y+1=0,曲线 C 的平面直角坐标方程为 y2=4x,联立 ?x=1, ? 直线 l 与曲线 C 的方程,解得? 所以直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ= (1-0)2+(2-0)2= 5. ?y=2, ? 1 16.[2014 高考真题· 重庆卷] 若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+ a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范 2 围是________. 1? 16.? ?-1,2? [解析] 令 f(x)=|2x-1|+|x+2|,则①当 x<-2 时,f(x)=-2x+1-x-2=-3x-1>5;②当- 1 5 1 5 2≤x≤ 时,f(x)=-2x+1+x+2=-x+3,故 ≤f(x)≤5;③当 x> 时,f(x)=2x-1+x+2=3x+1> .综合①②③ 2 2 2 2 5 1 5 1 可知 f(x)≥ ,所以要使不等式恒成立,则需 a2+ a+2≤ ,解得-1≤a≤ . 2 2 2 2 π π π 17. , ,[2014 高考真题· 重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像关于直线 x= 对 3 2 2? ? 称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . (1)求 ω 和 φ 的值; α 2π 3π 3 π (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 2π 17.解:(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?(x)的最小正周期 T=π ,从而 ω= =2. T π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ=kπ + ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ=- . 6 α? α π 3 (2)由(1)得 ?? ?2?= 3sin(2× 2 - 6 )= 4 , π 1 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2

1?2 π π 15 所以 cos?α- ?= 1-sin2?α - ?= 1-? ?4? = 4 . 6? 6? ? ? 3π 因此 cos?α + ? 2 ? ? =sin α π π =sin?(α- )+ ? 6 6? ? π π π π =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6? 6? 6 ? ? 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8 18. ,[2014 高考真题· 重庆卷] 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡 片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数) 3 C3 5 4+C3 18.解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P= = . C3 84 9 (2)X 的所有可能值为 1,2,3,且 1 3 C2 17 4C5+C4 P(X=1)= = , C3 42 9 1 1 2 1 3 C1 C C + C C 43 3 4 2 3 6+C3 P(X=2)= = , 3 C9 84 1 C2 1 2C7 P(X=3)= 3 = , C9 12 故 X 的分布列为 1 2 3 17 43 1 P 42 84 12 17 43 1 47 从而 E(X)=1× +2× +3× = . 42 84 12 28 19. , [2014 高考真题· 重庆卷]如图 13 所示, 四棱锥 P?ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形, PO⊥底面 ABCD, π 1 AB=2,∠BAD= ,M 为 BC 上一点,且 BM= ,MP⊥AP. 3 2 (1)求 PO 的长; (2)求二面角 APMC 的正弦值. X

图 13 19.解:(1)如图所示,连接 AC,BD,因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC∩ BD=O,且 AC⊥BD.以 O 为 → → → 坐标原点,OA,OB,OP的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O xyz.

π 因为∠BAD= , 3 π π 所以 OA=AB· cos = 3,OB=AB· sin =1, 6 6 → → 所以 O(0,0,0),A( 3,0,0),B(0,1,0),C(- 3,0,0),OB=(0,1,0),BC=(- 3,-1,0).

1 3 1 → 1→ 由 BM= ,BC=2 知,BM= BC=?- ,- ,0?, 2 4 4 4 ? ? 3 3 ? → → → ? 从而OM=OB+BM= - , ,0 , ? 4 4 ? 3 3 即 M?- , ,0?. ? 4 4 ? 3 3 3 → → → → 设 P(0,0,a),a>0,则AP=(- 3,0,a),MP=? ,- ,a?.因为 MP⊥AP,所以MP·AP=0,即- + 4 4 ? ?4 3 3 3 a2=0,所以 a= 或 a=- (舍去),即 PO= . 2 2 2 3? → ? 3 3 3? → ? 3 → ? (2)由(1)知,AP= - 3,0, ,MP= ,CP= 3,0, ?.设平面 APM 的法向量为 n1= 2? 2? ? ? 4 ,-4, 2 ? ? (x1,y1,z1),平面 PMC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2). → → 由 n1·AP=0, n1·MP=0,得 3 - 3x1+ z1=0, 2 5 3 ? 故可取 n1=?1, ,2 . 3 ? ? 3 3 3 x1- y1+ z1=0, 4 4 2 → → 由 n2·MP=0,n2·CP=0,得 3 3 3 x - y + z =0, 4 2 4 2 2 2 故可取 n2=(1,- 3,-2). 3 3x2+ z2=0, 2 从而法向量 n1,n2 的夹角的余弦值为 n 1· n 2 15 cos〈n1,n2〉= =- , 5 |n1|·|n2| 10 故所求二面角 APMC 的正弦值为 . 5 - 20.[2014 高考真题· 重庆卷] 已知函数 f(x)=ae2x-be 2x-cx(a,b,c∈R)的导函数 f′(x)为偶函数,且曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为 4-c. (1)确定 a,b 的值; (2)若 c=3,判断 f(x)的单调性; (3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围. - - 20.解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)=2ae2x+2be 2x-c,由 f′(x)为偶函数,知 f′(-x)=f′(x),即 2(a-b)(e2x-e 2x) =0.因为上式总成立,所以 a=b. 又 f′(0)=2a+2b-c=4-c,所以 a=1,b=1. - (2)当 c=3 时,f(x)=e2x-e 2x-3x,那么 - - f′(x)=2e2x+2e 2x-3≥2 2e2x·2e 2x-3=1>0, 故 f(x)在 R 上为增函数. - - - (3)由(1)知 f′(x)=2e2x+2e 2x-c,而 2e2x+2e 2x≥2 2e2x·2e 2x=4,当且仅当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: - 当 c<4 时,对任意 x∈R,f′(x)=2e2x+2e 2x-c>0,此时 f(x)无极值. - 当 c=4 时,对任意 x≠0,f′(x)=2e2x+2e 2x-4>0,此时 f(x)无极值. c± c2-16 2 1 当 c>4 时,令 e2x=t,注意到方程 2t+ -c=0 有两根 t1,2= >0,则 f′(x)=0 有两个根 x1= ln t1, t 4 2 1 x2= ln t2. 2 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;当 x>x2 时,f′(x)>0. 从而 f(x)在 x=x2 处取得极小值. 综上,若 f(x)有极值,则 c 的取值范围为(4,+∞). x2 y2 21. ,[2014 高考真题· 重庆卷] 如图 14 所示,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 D 在 a b |F1F2| 2 椭圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点, 且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过

? ? ? ? ? ?

不同的焦点,求圆的半径.

图 14 2 21.解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c =a -b . |F1F1| |F1F2| 2 由 =2 2得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2
2 2

1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= ,故 c=1. 2 2 2 2 9 3 2 从而|DF1|= ,由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= , 2 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2,故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0, 2 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.

→ → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1⊥F2P2 得-(x1+1)2 2 x1 4 2 2 +y1 =0.由椭圆方程得 1- =(x1+1)2,即 3x1 +4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 2 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 2 由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2,知 CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆 C 的半径|CP1|= |P1P2| 2 4 2 = 2|x1|= . 3
* 22. , ,[2014 高考真题· 重庆卷] 设 a1=1,an+1= a2 n-2an+2+b(n∈N ). (1)若 b=1,求 a2,a3 及数列{an}的通项公式. (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2n<c<a2n+1 对所有 n∈N*成立?证明你的结论. 22.解:(1)方法一:a2=2,a3= 2+1. 再由题设条件知 (an+1-1)2=(an-1)2+1. 从而{(an-1)2}是首项为 0,公差为 1 的等差数列, 故(an-1)2=n-1,即 an= n-1+1(n∈N*). 方法二:a2=2,a3= 2+1. 可写为 a1= 1-1+1,a2= 2-1+1,a3= 3-1+1.因此猜想 an= n-1+1. 下面用数学归纳法证明上式. 当 n=1 时,结论显然成立. 假设 n=k 时结论成立,即 ak= k-1+1,则 ak+1= (ak-1)2+1+1= (k-1)+1+1= (k+1)-1+1, 这就是说,当 n=k+1 时结论成立.

所以 an= n-1+1(n∈N*). (2)方法一:设 f(x)= (x-1)2+1-1,则 an+1=f(an). 1 令 c=f(c),即 c= (c-1)2+1-1,解得 c= . 4 下面用数学归纳法证明命题 a2n<c<a2n+1<1. 1 当 n=1 时,a2=f(1)=0,a3=f(0)= 2-1,所以 a2< <a3<1,结论成立. 4 假设 n=k 时结论成立,即 a2k<c<a2k+1<1. 易知 f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而 c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即 1>c>a2k+2>a2. 再由 f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1, 故 c<a2k+3<1,因此 a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1,这就是说,当 n=k+1 时结论成立. 1 综上,存在 c= 使 a2n<C<a2a+1 对所有 n∈N*成立. 4 方法二:设 f(x)= (x-1)2+1-1,则 an+1=f(an). 先证:0≤an≤1(n∈N*). ① 当 n=1 时,结论明显成立. 假设 n=k 时结论成立,即 0≤ak≤1. 易知 f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而 0=f(1)≤f(ak)≤f(0)= 2-1<1. 即 0≤ak+1≤1.这就是说,当 n=k+1 时结论成立.故①成立. 再证:a2n<a2n+1(n∈N*). ② 当 n=1 时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)= 2-1,所以 a2<a3,即 n=1 时②成立. 假设 n=k 时,结论成立,即 a2k<a2k+1. 由①及 f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2, a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2(k+1)+1. 这就是说,当 n=k+1 时②成立.所以②对一切 n∈N*成立. 由②得 a2n< a2 2n-2a2n+2-1, 2 2 即(a2n+1) <a2n-2a2n+2, 1 因此 a2n< . ③ 4 又由①②及 f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 f(a2n)>f(a2n+1),即 a2n+1>a2n+2. 1 所以 a2n+1> a2 ④ 2n+1-2a2n+1+2-1,解得 a2n+1> . 4 1 综上,由②③④知存在 c= 使 a2n<c<a2n+1 对一切 n∈N*成立. 4


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