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指数与对数运算(教师版)


一 公式讲解
1.写出下列各式的值: (a ? 0, a ? 1)

(3 ? ? ) ? ? ? 3 ;
2

8 ? ____4____;

2 3

81

?

3 4

?

1 ; 27

r />
loga 1 ? ___0_____;
2.化简下列各式: (a ? 0, b ? 0)
2 ? 1 3

loga a ? ____1____;

log 1 4 ? __-4__.
2

(1) 4a 3 b

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) ? ?6a ; 3
?2 2 ?2

(2) (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) ?
2

a2 ?1 . a2 ? 1

3.求值: (1) log

1 2

(83 ? 45 ) ? ___-38____;

(2) (lg 2)3 ? 3lg 2 ? lg5 ? (lg5)3 ? ____1____; (3) log2 3? log3 4 ? log4 5 ? log5 6 ? log6 7 ? log7 8 ? _____3____.

巩固训练:
1

1、下 列 各 式 :( 1 ) ? x ? (? x) 2

(2) x

?

1 3

? ?3 x

(3)

x ? y ( ) 4 ? 4 ( ) 3 ( xy ? 0) y x
1

3

(4) 6 y 2 ? y 3 ,其中正确的是______________
7 27 ? 2、 (2 ) 2 ? (lg 5) 0 ? ( ) 3 ? 9 64
1

1

1

___________,

1002

lg 9 ? lg 2

? _________________
l o g 2 ?1) (3 ? 2 2 ) ? _____________ (

3、 lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 ? __________ __ 4、设 x 3 ?
1 1 ? 2, 求 x ? 的值 3 x x

5、已知 log18 9 ? a,18b ? 5, 求 log36 45

答案 1、 (3)

2、4;

9 4

3、1;-2

4、2

5、

a?b 2?a

二 提高精练:
例 1. 化简求值: (1)若 a ? a
?1
1 1

? 3 ,求 a 2 ? a 2 及

?

a 4 ? a ?4 ? 4 的值; a 2 ? a ?2 ? 8

23 x ? 2?3 x (2)若 x log 3 4 ? 1 ,求 x 的值. 2 ? 2? x
分析:先化简再求值. 解: (1)由 a ? a
?1

? 3 ,得 (a 2 ? a 2 )2 ? 1 ,故 a 2 ? a
2 ?2

1

?

1

1

?

1 2

? ?1 ;

又 (a ? a?1 )2 ? 9 , a ? a

? 7 ;? a 4 ? a ?4 ? 47 ,故

a 4 ? a ?4 ? 4 ? ?43 . a 2 ? a ?2 ? 8

23 x ? 2?3 x 7 ? 4 x ? 1 ? 4? x ? . (2)由 x log 3 4 ? 1 得 4 ? 3 ;则 x ?x 2 ?2 3
x

点评:解条件求值问题: (1)将已知条件适当变形后使用; (2)先化简再代入求值.

1 1 ? lg 9 ? lg 240 2 例 2.(1)求值: ?1 ; 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5
(2)已知 log 2 3 ? m , log3 7 ? n ,求 log42 56 . 分析:化为同底.

1 lg 1 lg10 ? lg 3 ? lg 240 解: (1)原式= (2)由 log 2 3 ? m ,得 log 3 2 ? ; ?1 ? 8 ? 1 ? 0 ; 36 lg 8 m lg10 ? lg 9 ? lg 5
所以 log 42 56 ?

log3 56 3log3 2 ? log3 7 3 ? mn . ? ? log3 42 1 ? 3log3 2 ? log3 7 m ? 1 ? mn

点评:在对数的求值过程中,应注意将对数化为同底的对数. 例 3. 已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,求 c 的值. a b

分析:将 a,b 都用 c 表示. 解:由 3 ? 5 ? c ,得
a b
2

1 1 1 1 ? log c 3 , ? log c 5 ;又 ? ? 2 ,则 logc 3 ? logc 5 ? 2 , a b a b

得 c ? 15 .? c ? 0 ,?c ? 15 .

点评:三个方程三个未知数,消元法求解.

课堂练习:
例 1、(1)若 log2 [log3 (log4 x)] ? 0 ,则 x =___________ (2 ( ) 对 于 ) (A) 若M ? N , 则loga M ? loga N (C) 若loga M 2 ? loga N 2 , 则M ? N (3) 已知 1 ? m ? n , a ? (o 令 lg (A)a<b<c 例 2、求值或化简 (1)
n

a ? 0, a ? 1 , 下 列 说 法 中 , 正 确 的 是

(B) 若 loga M ? loga N , 则M ? N (D) 若M ? N , 则loga M 2 ? loga N 2
n

m) 2 , b ? l g n m2 , c ? l g n (o o o lg
(C)b<a<c

则( m) ,

)

(B)a<c<b

(D)c<a<b

1 ? ( ) 2? 4
1 2

1

( 4ab?1 ) 3 (0.1) ?2 (a 3b )
? 1 2

1 ?3 2
3 2 ? 3 2

(2)

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0.1

例 3、若 x ? x

? 3 ,求

x ? x ?3 的值。 x 2 ? x ?2 ? 2

答案:1(1)64

(2)B

(3)D

2(1)

4 25

(2)-4

3、

1 3

三 课后作业:
A 组:
1.若 10
2x

? 25 ,则 10? x ?

1 . 5

2.设 lg 321 ? a ,则 lg 0.321 ? a ? 3 . 3.已知函数 f ( x) ? lg

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? -b. 1? x

?2 ? x ? 1, x ? 0, ? 4.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是(-∞,-1)∪(1, , ?x 2 x?0 ?
+∞) . 5.设已知 f (x6) = log2x,那么 f (8)等于

1 . 2

6.若 3 ? 0.618, a ? [k , k ? 1) ,则 k =__-1__.
a

?cx ? 1 ? 7.已知函数 f ( x) ? ? ? x 2 ?2 c ? 1 ?
(1)求实数 c 的值; (2)解不等式 f ( x)>

(0<x<c) (c ? x<1)

,且 f (c ) ?
2

9 . 8

2 ?1. 8
2

解: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c , 由 f (c ) ?
2

1 9 9 3 ,即 c ? 1 ? , c ? . 2 8 8

?1 ? 2 x ?1 ? (2)由(1)得: f ( x) ? ? ?2?4 x ? 1 ? ?
由 f ( x) ? 当

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?

1 2 2 1 ? 1 得,当 0 ? x ? 时,解得 ?x? . 2 8 4 2

1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8

所以 f ( x) ?

? 2 5? 2 ? ? ? x ? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

B 组:
1.若 a>1,b>1, p ? ( A.1
1 3
logb (logb a ) logb a

,则 ap 等于

) B.b
1 3

C.logba ( C. (-3,-2)

D. a logb a ) D. (2,3)

2.设 x ? (log1 ) ?1 ? (log1 ) ?1 ,则 x 属于区间
2 5

A. (-2,-1) B. (1,2) 2x x 3.若 3 +9=10·3 ,那么 x2+1 的值为 ( ) A.1 B.2 4.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 ( )
x y

C.5

D.1 或 5

的值为

A.1

B.4

C.1 或 4

D. 或 4 )
1 35

1 4

5. 如果方程 lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7· lg5=0 的两根为α 、 , β 则α · 的值是 β ( A.lg7·lg5 6. log 64 32 ? ________, 若 log 5 B.lg35 C.35 D.

1 ? log 3 6 ? log 6 x ? 2, 则x ? ________ 3 若 log 3 2 ? a, 则log12 3 ? __________

7、 f (52 x?1 ) ? x ? 2, 则f (125) ? _________ 10 8、 已知a ? b ? 1, 且 loga b ? logb a ? 则 loga b ? logb a的值为_________ 3, 9、求值或化简 (1) a ?4 b 2 ? 3 ab 2 (a ? 0, b ? 0) =
( 2) log2

7 1 ? log2 12 ? log2 42 ? 1= 48 2
5 1 1 6、 ; ; 6 25 a ? 1

;

答案:1—5、CDDBD (2) ?
3 2

7、0

8 8、- 3

9(1)a b

?

11 6

4 3


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