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两角和与差二倍角公式常见题型


两角和与差及二倍角公式常见题型
理解并记忆:
两角和与差公式(6 个) :二倍角公式(5 个) :六四二一公式(13 个) :

题型一:特殊角求值
例一:co s 1 5 ? ? sin 1 5 ?
sin 7 5 ? sin 1 5
? ?

习题: 1 ? co t 1 5 ? (1) 1 ? tan 7 5 ?

题型二:根据两角关系求值
例一:设α 、β 均为锐角,cosα =
3 5

,cos(α +β )=

12 13

,求 cosβ

例二:已知 sin( 2?

? ? ) ? 2 sin ? ? 0

求证 tan?=3tan(?+?)

例三:求 tan20°+4sin20°的值

例四: (2006 江苏竞赛)已知 5 sin 2? ? sin 2 ,求
0

tan( ? ? 1 )
0

tan( ? ? 1 )
0

的值

习题: (2)求值:

sin 7 ? co s 1 5 sin 8
0 0

0 0

co s 7 ? sin 1 5 sin 8
0 0

(3)已知 3 sin ? ? sin ? 2? ? ? ?

, 求证: tan ?? ? ? ? ? 2 tan ? 。

(4)已 知 ? ? ? ? 3? , 0 ? ? ? ? , co s( ? ? ? ) ? 3 , sin ( 3? ? ? ) ? 5
4 4 4 4 5 4 13 求 sin (? ? ? ) 的 值

(5)求

2 cos 10

?

? sin 20
?

?

的值。

cos 20

题型:含
例一,
1 sin 1 0
?

3

的求值与化简
3 co s 1 0
?

?

例二,

2 sin 50

0

? sin 80 (1 ?
0

3 tan 10 )
0

0

1 ? cos 10

例三, (2008 广西竞赛)求值:

3 sin 2 0
2 ?

?

1 co s 2 0
2 ?

? 6 4 sin 2 0
2

?

习题: ? ? ? (6)求 值 : 2 sin 5 0 ? sin 1 0 (1 ?
?

3 tan 1 0 ) ? ? ?
?

2 sin 8 0 .

2

?

(7)求值:

?
sin 12

3 tan 12
0

0 2

?4 cos

?3
0

?
?2

12

?

题型:连乘式求值
例一:求值: co s
?
17 co s 2? 17 co s 4? 17 co s 8? 17

例二:求值: (1)sin18
o

cos36o

(2) (2000 全国竞赛模拟) cos

2? 5

? cos

4? 5

(3) co s 3 6

0

习题: (8)求值: sin 1 0 sin 3 0 sin 5 0 sin 7 0
0 0 0 0

(9) (2004 湖北竞赛模拟)化简 (1 ? sin ? )( 1 ? sin
3

2 ? 4 ? 2 )( 1 ? sin ) ? (1 ? sin 3 3

n

?
3

)

(10)计算:

3 tan 48 ? ? 1 2 sec 48 ?

? cos 36 ? .

题型:对偶式求值
例一:
若 sin ? ? sin ? ? ? 1 3 , co s ? ? co s ? ? 1 2 , 求 co s(? ? ? )

例二: 若 co s(? ? ? ) ?

1 3

, co s(? ? ? ) ?

1 5

, 求 tan ? tan ?

例三: (2006 全国竞赛模拟)cos

2

20o+cos250o-

3

cos20ocos50o

习题: (11) 已 知 角 ? 、 ? 、 ? 足 sin ? ? sin ? ? sin ? , (12) 若 sin α co s β ?
1 2

cos ? ? cos ? ? cos ? , 求 ? ? ? 的 值 .

,求 co s α sin β 的 取 值 范 围 .

(13)求值:sin217o+cos247o+cos47osin17o

题型:含 tan ? ? tan ? 与 tan ? tan ? 的处理策略
例一:求值
tan 1 7 ? tan 4 3 ?
? ?

3 tan 1 7 tan 4 3

?

?

? 例二:(1) 已 知 ? 、 ? 满 足 ? ? ? ? , 求 ? 1 ? t a n ? ? ? 1 ? tan ? ? 的 值 . 4 (2)利用上题结论 求 值 ? 1 ? tan 1? ? ?1 ? tan 2 ? ? ?1 ? tan 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? tan 4 5 ? ? .

例三: (1) 求 证 : 3? ? tan 2? ? tan ? ? tan 3? tan 2? tan ? . tan (2) (2002 全国竞赛训练)利用上题思想,求证:
tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n ? ? tan n ? tan ? ?n.

例四:已知 tan?和 tan(

?
4

?? )

是方程 x

2

? px ? q ? 0

的两个根,证明:p?q+1=0

习题: (14)求证: 3 tan 18 ? ? tan 18 ? tan 12 ? ? 3 tan 12 ? ? 1 .

(15)已知 tan?,tan?是关于 x 的一元二次方程 x2+px+2=0 的两实根, 求
sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? )

的值。 且???= ,求 x 的值。
6

(16)若 tan?=3x,tan?=3?x,

?

习题综合题:
**(17)已知 sinα+sinβ= 3 (cosβ-cosα),α,β∈(0, **(18)求值:sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- 3 cos(θ +15°) **(19)已知 tan(α+β)=
2 5

?
2

),求 sin3α+sin3β的值

,tan(β-

?
4

)?

1 4

,求 sin(α+

?
4

)·sin(

?
4

-α)的值

**(20)已知 cotβ= 5 ,

sin ? sin ?

=sin(α+β),求 cot(α+β)的值.

***(21)已知△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,且
A?C 2

1 cos A

?

1 cos C

? ?

2 cos B

,

求 cos

的值.
2 3

***(22)是否存在锐角α 和β ,使得(1)α +2β =

π ;(2)tan

?
2

tanβ =2- 3 同时成立?

若存在,则求出α 和β 的值;若不存在,说明理由.


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