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20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(练习+详细答案)


提能拔高限时训练 20 一、选择题

y=Asin(ωx+φ)的图象 的图象

1.把函数 y=f(x)的图象沿直线 x+y=0 的方向向右下方平移 2 2 个单位,得到函数 y=sin3x 的图 象,则( ) A.f(x)=sin(3x+6)+2 B.f(x)=sin(3x-6)-2 C.f(x)=sin(3x+2)+2 D.f(x)=s

in(3x-2)-2 解析:实质上是将 y=f(x)向右平移 2 个单位,向下平移 2 个单位,得到 y=sin3x,逆向思维即得 解析 y=f(x)=sin[3(x+2)]+2=sin(3x+6)+2.故选 A. 答案:A 答案 2.把函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< 则 ω、φ 的值分别为( )

π
2

)的图象向左平移

π
3

个单位,所得曲线的一部分如图所示,

A.1,

π
3

B.1, ?

π
3
)的图象向左平移

C.2,

π
3

D.2, ?

π
3

解析:将 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< 解析

π

π
3

2

个单位,得到 y = sin[ω ( x +

π
3

) + ?] .

? π π ?ω ( 3 + 3 ) + ? = π , ? ∴? ?ω ( 7π + π ) + ? = 3π . ? 12 3 2 ?
?ω = 2, ? 解得 ? π 故选 D. ?=? . ? 3 ?
答案:D 答案 3.已知函数 f(x)=sinωx 在 [0, 个值可以是( A. ) B.

π
4
8 3

]上单调递增且在这个区间上的最大值为

3 ,则实数 ω 的一 2 10 3 3 .检验, 2

2 3

C.

4 3

D.

解析: 解析 ∵f(x)=sinωx 在[0,

π
4

]上单调递增,∴当 x =

π
4

时, f ( x ) max = sin

π
4

?ω =

当ω =

4 π 3 时,有 sin = ,符合题意.故选 C. 3 3 2
)

答案:C 答案 4.已知函数 f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论中正确的是( A.函数 y=f(x)·g(x)是偶函数 B.函数 y=f(x)·g(x)的最大值为 1 C.将 f(x)的图象向右平移 D.将 f(x)的图象向左平移

π π
2 2

个单位长度后得到 g(x)的图象 个单位长度后得到 g(x)的图象

解析: 解析 ∵f(x)=sinx 是奇函数,g(x)=cosx 是偶函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数.故 A 错;

1 ·sin2x, 2 1 ∴y=f(x)·g(x)的最大值为 .故 B 错; 2
∵y=f(x)·g(x)=sinx·cosx= ∵ g ( x ) = cos x = sin( x +

π

2

),

∴将 f(x)=sinx 的图象向左平移

π
2

个单位长度后得到 g(x)的图象.故选 D.

答案:D 答案 5.函数 y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示,则此函数的解析式可以写成(

)

A. y = sin( x +

π
8

) )

B. y = sin( 2 x + D. y = sin( 2 x ?

π π
8 4

) )

C. y = sin( 2 x +

π
4

解析:由图象可知

y = sin(2 x +

π
4

1 π π 周期是 , 所 以 周 期 是 π, 再 根 据 原 点 向 左 平 移 了 ,可知 4 4 8

) .故选 C.

答案:C 答案 6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图,则 f(x)的解析式及 S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 006)的值分 别为( )

1 sin 2πx + 1 ,S=2 006 2 1 π 1 B. f ( x ) = sin x + 1 , S = 2007 2 2 2 1 π 1 C. f ( x ) = sin x + 1 , S = 2006 2 2 2 1 π D. f ( x ) = sin x + 1 ,S=2 007 2 2
A. f ( x ) = 解析:观察题中图象可知, 解析

1 π sin x + 1 , 2 2 3 1 f(0)=1, f (1) = ,f(2)=1, f (3) = ,f(4)=1,∴f(x)以 4 为周期. 2 2 f ( x) =
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4, 2 006=4×501+2, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 006)=4×501+f(2 004)+f(2 005)+f(2 006)

= 2004 + 1 +
答案:B 答案 7.

3 1 + 1 = 2007 .故选 B. 2 2 x π + ) ,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sinx,x∈R 的图象上所有 3 6

为了得到函数 y = 2 sin( )

的点(

A.向左平移

1 倍(纵坐标不变) 6 3 π 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

π

C.向左平移 D.向右平移

π

π

6 6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

解析:2sinx 解析

2sin(x+

π
6

)

x π 2 sin( + ) .故选 C. 3 6
答案:C 答案

8.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是( A. y = 4 sin( 4 x + C. y = 2 sin( 4 x + )

π
2

,直线 x =

π
3

是其图象

π π
4

) )+2

B. y = 2 sin( 2 x + D. y = 2 sin( 4 x +

π π
6 3

)+2 )+2

3

解析:由最大值为 4,最小值为 0,得 A=2,m=2. 解析 由T = 由x =

π π
2

,得 ω=4. 是一条对称轴得 4 ×

π
3

3

+ ? = kπ +

π
2

.

∴ ? = kπ ?

5π π .令 k=1 得 ? = , 6 6

∴ y = 2 sin( 4 x + 答案:D 答案

π

6

)+ 2.

9.把函数 y = cos x ? 3 sin x 的图象沿向量 a=(-m,m)(m>0)的方向平移后,所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. )

π
6

B.

π
3

C.

解析: 解析 y = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x +

π
3

2π 3

D.

5π 6

),

y=cosx(x∈R)的图象关于 y 轴对称,将 y=cosx 的图象向左平移 π 个单位时,图象仍关于 y 轴对 称.故选 C. 答案:C 答案 10.如果 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是 T,且当 x=2 时取得最大值,那么( ) A.T=2, θ = C.T=2,θ=π 解析:∵ 解析 T =

π
2

B.T=1,θ=π D.T=1, θ =

π
2



π

= 2,

又∵x=2 时,有 2π + θ = 2kπ + ∴ θ = 2(k ? 1)π +

π
2

,

π
2

,k∈Z.

又 0<θ<2π,则 k=1, θ = 故选 A. 答案:A 答案 二、填空题

π
2

.

11.曲线 y = 2 sin( x +

π
4

) cos( x ?

π
4

) 和直线 y =

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 2

次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4|=____________. 解析: 解析 y = 2 sin( x +

π

4

) cos( x ?

π

4

) = sin 2 x + 1 ,

1 ? ?y = , 联立方程组 ? 2 ? y = sin 2 x + 1, ?
∴|P2P4|=|x2-x4|=π. 答案:π 答案 12.要得到 y = cos(2 x ?

π
4

) 的图象,且使平移的距离最短,则需将 y=sin2x 的图象向_______平

移____________个单位,即可得到. 解 析 : 由 y=sin2x 的 图 象 向 左 平 移

π
8

个 单 位 , 得 到 y = sin 2( x +

π
8

) 的图象.而

y = sin 2( x +
答案:左 答案

π
8

) = sin(2 x +

π
4

) = cos[

π
2

? (2 x +

π
4

)] = cos(

π
4

? 2 x) = cos(2 x ?

π
4

).

π
8

13.函数 f ( x ) = sin(

π
3

? x) 的单调递增区间为___________.若将函数的图象向左平移 a(a>0)

个单位,得到的图象关于原点对称,则 a 的最小值为______________. 解析:(1)∵ f ( x ) = sin( 解析 ∴ 2kπ +

π
3

? x) = ? sin( x ?
≤ 2kπ +

π
3

),

π
2

3 5π 11π [ 2kπ + , 2kπ + ](k∈Z). 6 6

≤ x?

π

3π 时 ,f(x) 单 调 递 增 , 解 得 函 数 增 区 间 为 2

(2)向左平移 a 个单位,得 g(x)=-sin(x+a∴a ?

π
3

).因其关于原点对称,

π
3

3 3 5π 11π π 答案:[ , 2kπ + ](k∈Z) 答案 2kπ + 6 6 3

= kπ ? a = kπ +

π

,a 的最小值为

π

.

14.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取 值范围是_____________. 解析: 解析 f ( x) = ? 作图如下:

?3 sin x, x ∈ [0, π ], ?? sin x, x ∈ [π ,2π ].

由图知 k∈(1,3). 答案:(1,3) 答案 三、解答题 15.已知函数 f ( x ) = 2 cos( x ?

π
3

) + 2 sin(

3π + x) . 2

(1)用“五点法”画出函数 f(x)在[0,

5π ]上的简图; 3

(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,f(A)=1, a = 解:(1) f ( x) = 2(cos x cos

3 ,b+c=3(b>c),求 b,c 的长.

π

+ sin x sin ) ? 2 cos x 3 3

π

= 3 sin x + cos x ? 2 cos x = 3 sin x ? cos x
= 2(
列表: x y 0 -1

3 1 π sin x ? cos x) = 2 sin( x ? ) . 2 2 6

π
6
0

2π 3
2

7π 6
0

5π 3
-2

描点、连线可得函数 f(x)的图象如下:

(2)∵f(A)=1,即 2 sin( A ? ∴ sin( A ?

π
6

) = 1,

π
6

)=

1 . 2 5π . 6

∵0<A<π, ∴-

π
6

<A?

π
6
.



∴ A? ∴A=

π π
3 6

=
.

π

6

由 cos A =

1 b2 + c2 ? a2 = , 2 2bc

即(b+c)2-a2=3bc, ∴bc=2. 又 b+c=3(b>c), ∴?

?b = 2. ?c = 1.

16.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)(x∈R)的最大值是 1,其图象经过点 M( (1)求 f(x)的解析式; (2)已知 α,β∈(0,

π 1
3 2
,

).

π
2

),且 f (α ) =

3 12 , f (β ) = ,求 f(α-β)的值. 5 13

解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最大值是 1, ∴A=1. ∵f(x)的图象经过点 M( ∴ sin(

π 1
3 2
,

),

π
3

+ ?) =

1 . 2

∵0<φ<π ? ? = ∴ f ( x) = sin( x + (2)∵f(x)=cosx, ∴ f (α ) = cos α =

π
2

,

π

2

) = cos x .

3 12 , f ( β ) = cos β = . 5 13

已知 α,β∈(0,

π
2

),∴ sin α = 1 ? ( ) =
2

3 5

4 12 2 5 , sin β = 1 ? ( ) = . 5 13 13

故 f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =

3 12 4 5 56 . × + × = 5 13 5 13 65

数学参考例题 志鸿优化系列丛书 【例 1】如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)由题图,知最大温差为 30-10=20(℃). (2)题图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象. ∴

1 2π ? = 14 ? 6 = 8 . 2 ω

∴ω =

π

8

.

由题图所示 A = 这时 y = 10 sin(

π

30 ? 10 30 + 10 = 10 , b = = 20 . 2 2 x + ? ) + 20 ,将 x=6,y=10 代入上式,可得 ? =

8

综上,所求解析式为 y = 10 sin(

π
8

x+

3π ) + 20 ,x∈[6,14]. 4

3π . 4

【例 2】作出函数 y=|sinx|+|cosx|,x∈[0,π]的图象,并写出函数的值域.

π π ? ? 2 sin( x + 4 ), x ∈ [0, 2 ], ? 解: y = ? ? 2 sin( x ? π ), x ∈ [ π , π ]. ? ? 4 2
如下图,函数的值域为[1, 2 ].


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