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高中数学1.3.2球的表面积和体积课件人教版必修二


1. 球的体积 设球的半径为R,它的体积只与半径R 有关,是以为自变量的函数 定理:半径为R的球的体积是:
4 3 V ? ?R 3

2. 球的表面积 设球的半径为R,它的体积由半径R惟 一确定,也是以R为自变量的函数

定理:半径为R的球的表面积是:

S ? 4?R

2

>
例题讲解

例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V ? ?R ? ? ? ( ) ? ?cm 3 3 3 2 6

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)

例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142 ? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

由计算器算得:

x ? 2.24
2 x ? 4.5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?

球内切于正方体

侧棱长为5cm

S 侧 ? 6 ? 5 ? 150cm
2

2

例题讲解
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 :Rt?B1 D1 D中 : ( 2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

D A D1 A1 B

C

O
C1 B1

3 R? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

D
A D1 A1 B1 O B

C

C1

例3 如图,圆柱的底面直径与高都等 于球的直径,求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

课堂练习

练习一
8 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3? 这个球的体积为___cm3.

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1: 2 2 : 3 3 个球的体积之比_________.

课堂练习

练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍. 2 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___倍. 4
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.
1: 3 4 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______.

课堂练习

练习三
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____. 9?
3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______. 4 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3?

课堂小结
1.熟练掌握球的体积、表面积公式:

4 3 ①V ? ?R 3 ②S ? 4?R 2
2.影响球的表面积及体积的只有一个元素, 就是球的半径.


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