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高中数学必修4教案


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第三章

三角恒等变换

重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 新课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例

.在用方程的思想分析 题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中 ,提出了两个问题 :① 实际问题中存在研究像 tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;② 实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α) 而提出这样的包含两角和的三角函数与 α、45° 单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再 一般化本节的研究课题进入课. 思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45° =

2 3 ,cos30° = ,由此我们能否得 2 2

到 cos15° =cos(45° -30° )=?这里是不是等于 cos45° -cos30° 呢?教师可让学生验证,经过验证可 知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢? cos(α-β)等于什么呢?这时学生急于知 道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础. 提出问题 ① 请学生猜想 cos(α-β)=? ② 利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 α、β 的三角函数来表示 cos(α-β)呢? ③ 利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α-β)=? ④ 细心观察 C(α-β)公式的结构,它有哪些特征?其中 α、β 角的取值范围如何? ⑤ 如何正用、逆用、灵活运用 C(α-β)公式进行求值计算? 活动:问题① ,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可 能就首先想到 cos(α-β)=cosα-cosβ 的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证 它的正确性.如 α=60°,β=30°,则 cos(α-β)=cos30°=

3 1? 3 ,而 cosα-cosβ=cos60°-cos30° = ,这 2 2

一反例足以说明 cos(α-β)≠cosα-cosβ. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即 可. 问题② ,既然 cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么 cos(α-β)究竟等于什么呢?由于这里涉及的是三角 函数的问题,是 α-β 这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢?

图1

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如图 1,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠ POP1=β,则∠ POx=α-β.过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, 垂足为 M,那么 OM 就是角 α-β 的余弦线,即 OM=cos(α-β),这里就是要用角 α、β 的正弦线、 余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B, 过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cosβ,AP 表示 sinβ,并且∠ PAC=∠ P1Ox=α.于 是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ. 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角 α、β、α-β 是有条件限制的,即 α、β、α-β 均为锐角,且 α>β,如果要说明此结果是否对任意角 α、β 都成立,还要做不少推广工作,并且这 项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2 问题③ ,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2,在平面直 角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α、 β,它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、 B,则 OA =(cosα,sinα), OB =(cosβ,sinβ),∠ AOB=α-β. 由向量数量积的定义有 OA · OB =| OA || OB |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有

OA · OB =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,
于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角 α-β 必须符合条件 0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于 α、 β 都是任意角,α-β 也是任意角,因此就是研究 当 α-β 是任意角时,以上公式是否正确的问题.当 α-β 是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个 角 θ∈ [0,2π),使 cosθ=cos(α-β),若 θ∈ [0,π] ,则 OA · [π,2π] ,则 2π-θ∈ OB =cosθ=cos(α-β).若 θ∈ [0,π],且 OA · OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知,对于任意角 α、β 都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β)) 此公式给出了任意角 α、β 的正弦、余弦值与其差角 α-β 的余弦值之间的关系,称为差角 的余弦公式,简记为 C(α-β).有了公式 C(α-β)以后,我们只要知道 cosα、cosβ、sinα、sinβ 的值,就 可以求得 cos(α-β)的值了. 问题④ ,教师引导学生细心观察公式 C(α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角 差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和 ”,可让学生结合推导过程及结构特征进行 记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值就可以求得 cos(α-β)的值了. 问题⑤ ,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生 的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.

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如 cos75° cos45° +sin75° sin45° =cos(75° -45° )=cos30° = cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ. 应用示例 例 1 利用差角余弦公式求 cos15° 的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15° ,它可以拆 分为哪些特殊角的差,如 15° =45° -30° 或者 15° =60° -45° ,从而就可以直接套用公式 C(α-β)计算求 值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用 法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续 探究. 解:方法一:cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° =

3 , 2

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

方法二:cos15° =cos(60° -45° )=cos60° cos45° +sin60° sin45° =

1 2 2 3 × ? ? ? 2 2 2 2

6? 2 . 4

变式训练 1.不查表求 sin75° ,sin15° 的值 解:sin75° =cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 3 2 4

sin15° = 1 ? cos2 15? = 1 ? (

6? 2 2 8?2 6? 2 6? 2 ? . ) = 16 4 4

. 2.不查表求值:cos110° cos20° +sin110° sin20° . 解:原式=cos(110° -20° )=cos90° =0. 例 2 已知 sinα=

4 ? 5 ,α∈ ( ,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 2 13

活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲 求 cos(α-β)的值,必先知道 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值,然后利用公式 C(α-β)即可求解.从已知 条件看,还少 cosα 与 sinβ 的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的 平方和关系式时,角 α、β 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己 独立完成. 解:由 sinα=

4 ? ,α∈ ( ,π),得 5 2

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cosα= ? 1 ? sin a ? ? 1 ? ( ) ? ? .
2 2

4 5

3 5

又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

sinβ= ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = (? ) ? (?

3 5

5 4 12 33 ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 65

变式训练 已知 sinα=

4 5 ,α∈ (0,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角,求 cos(α-β)的值. 5 13

解:① 当 α∈ [ 又由 cosβ= ?

? 4 4 2 3 2 ,π)时,且 sinα= ,得 cosα= ? 1 ? sin a ? ? 1 ? ( ) ? ? , 5 2 5 5

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

sinβ= ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (?

12 5 2 ) =? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

5 4 12 33 ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 65. ? 4 ② 当 α∈ (0, )时,且 sinα= ,得 5 2
= (? ) ? (? cosα= 1 ? sin a ? 1 ? ( ) ?
2 2

3 5

4 5

3 , 5

又由 cosβ= ?

5 ,β 是第三象限角,得 13
2

sinβ= ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =

3 5 4 12 63 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65

例 1 计算:(1)cos(-15° ); (2)cos15° cos105° +sin15° sin105° ; (3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 活动 :教师可以大胆放给学生自己探究 ,点拨学生分析题目中的角 -15° ,思考它可以拆分 为 哪 些 特 殊 角 的 差 , 如 -15° =15° -30°或 -15° =45° -60° ,然后套用公式求值即可.也可化

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cos(-15° )=cos15° 再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式 C(α-β)的右边一致,从而化为 特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15° =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

(2)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=cos90° =0. (3)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy. 例 2 已知 cosα=

1 11 ? ,cos(α+β)= ? ,且 α、β∈ (0, ),求 cosβ 的值. 7 14 2

活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究 α、 α+β、 β 之间的关系,也就是 寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,然 后利用公式 C(α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由 α、β 的取值范围求出 α+β 的取值范围,这 是很关键的一点,从而判断 sin(α+β)的符号进而求出 cosβ.

? ),∴ α+β∈ (0,π). 2 1 11 又∵ cosα= ,cos(α+β)= ? , 7 14
解:∵ α、β∈ (0, ∴ sinα= 1 ? cos a ?
2

4 3 , 7 5 3 . 14

sin(α+β)= 1 ? cos (a ? ? ) ?
2

又∵ β=(α+β)-α, ∴ cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα = (?

11 1 5 3 4 3 1 )? ? ? ? . 14 7 14 7 2

变式训练 1.求值:cos15° +sin15° . 解:原式= 2 (

2 2 cos15° + sin15° )= 2 (cos45° cos15° +sin45° sin15° ) 2 2

= 2 cos(45° -15° )= 2.已知 sinα+sinβ=

2 cos30° =

6 . 2

3 4 ,cosα+cosβ= ,求 cos(α-β)的值. 5 5 3 4 解:∵ (sinα+sinβ)2=( )2,(cosα+cosβ)2=( )2, 5 5
以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α-β)=1,

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∴ cos(α-β)= ?

1 . 2

4 1 ,tan(α-β)= ? ,求 cosβ. 5 3 4 3 解:∵ α 为锐角,且 cosα= ,得 sinα= . 5 5
3.已知锐角 α、β 满足 cosα=

? ? ,0<β< , 2 2 ? ? ∴ - <α-β< . 2 2 1 又∵ tan(α-β)= ? <0, 3
又∵ 0<α< ∴ cos(α-β)=

3 10

.

从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)= ?

1 10

.

∴ cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =

4 3 3 1 ? ? (? ). × 5 10 5 10

=

9 10 . 50

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