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高中数学必修5综合测试题


高中数学必修 5 综合测试题
时间:120 分钟

一、选择题 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是() (A)an=n2-(n-1) (B)an=n2-1 (C)an=
n ( n ? 1) 2

(D)an=

n ( n ? 1) 2

2.已知数列 3 ,3, 1

5 ,…, 3 ( 2 n ? 1) ,那么 9 是数列的() (A)第 12 项 (B)第 13 项 (C)第 14 项

(D)第 15 项

3.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 () A. B. C. D.

4.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 4,偶数项之和为 3,则 n 的值 是() A.3 B.5 C.7 D.9 5.△ABC 中,
cos A cos B ? a b

,则△ABC 一定是()

A.等腰三角形

B.直角三角形
3

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

6.已知△ABC 中,a=4,b=4

,∠A=30°,则∠B 等于()

A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120° 7.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6 ,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8.若
1 a ? 1 b ? 0

,则下列不等式中,正确的不等式有 ②
a ? b

()

①a ? b

? ab

③a

?b



b a

?

a b

? 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 9.下列不等式中,对任意 x∈R 都成立的是 () A.
1 x ?1
2

D.4 个 D.
4x x ? 4
2

?1

B.x2+1>2x

C.lg(x2+1)≥lg2x D.x2+x>2
1 3

≤1

10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 二、填空题: 11.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|12. 若 x
? 0, y ? 0, 且 1 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y
1 2 ? x ?

},则 a+b=________. .

的最小值是

1

13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 块. 14. 已 知 钝 角 △ ABC 的 三 边 a=k , b=k+2 , c=k+4 , 求 k 的 取 值 范 围 --------------. 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、C 为 ? ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、
b

、 c ,若 cos

B cos C ? sin B sin C ?

1 2

. ,求 ? ABC 的面积.

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a

? 2 3, b ? c ? 4

16. (本小题满分 12 分)已知数列 { a n } 是一个等差数列,且 a 2 ? 1 , a 5 (Ⅰ)求 { a n } 的通项 a n ; (Ⅱ)求 { a n } 前 n 项和 S n 的最大值.

? ?5



17.已知 0

? m ? 1 ,解关于 x

的不等式

mx x?3

?1.

2

18. (本小题满分 14 分)设函数 列
f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? f ( x n ), ?

f ( x ) ? log

a

x

( a 为常数且

a ? 0, a ? 1 ) ,已知数
? a
2

是公差为 2 的等差数列,且 x 1
? 1 2

.
? x2 ? ? ? xn ? 1 3

(Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)当 a

时,求证: x 1

.

19. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装 修费为 1 万元,以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大 时以 46 万元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方 案盈利更多?

3

参考答案: 1---10 11.-14, CCCAA, DABDC, 12.9 13. 4n+2 14. (2,6)
1 2 ? cos( B ? C ) ? 1 2

15. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?
? A ? B ? C ? ? ,? A ?

?
3

2? 3



(Ⅱ)由余弦定理 a
2

2

? b
2

2

?c

2

? 2 bc ? cos A

得 ( 2 3 ) ? ( b ? c ) ? 2 bc ? 2 bc ? cos 即: 12 ? 16 ? 2 bc ? 2 bc ? ( ?
1 2 1 2

2? 3

1 2

) ,? bc ? 4

? S ? ABC ?

bc ? sin A ?

?4?

3 2

?

3 .

16.解: (Ⅰ)设 ? a n ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a 1 ? 3 , d ? ? 2 . 所以 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? ? 2 n ? 5 . (Ⅱ) S n ? n a 1 ?
n ( n ? 1) 2

? a1 ? d ? 1 ? a1 ? 4 d ? ? 5



d ? ? n ? 4n ? 4 ? (n ? 2) .
2
2

所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 . 17. 解:原不等式可化为:[x(m-1)+3](x-3)>0
?

0<m<1, ∴-1< m -1<0, ∴
? ?

?

3 m ?1

?

3 1? m

? 3;

∴ 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ?
2

? ?. 1? m? 3

18.解: (Ⅰ)? f ( x1 ) ? lo g a a ? 2

d ? 2

? f ( x n ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n
即 : log
a

xn ? 2n
?1? ? ? ? ?4?
n

xn ? a

2n

(Ⅱ)当 a ?

1 2

时, x n

4

x1 ? x 2 ? ? ? x n

1 ?1? ?? ? ? n 1? 1 4 ?4? 4 ?1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3? 3 ?4? ? ? ? 1? 4 1

n

19.解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n ?
n ( n ? 1) 2 ?2 ? n
2

因此利润 y ? 30 n ? ( 81 ? n ) ,令 y ? 0
2

解得: 3 ? n ? 27 所以从第 4 年开始获取纯利润. (Ⅱ)年平均利润 W ?
30 n ? ( 81 ? n )
2

? 30 ?

81 n

?n

n

? 30 ? 2 81 ? 12 (当且仅当

81 n

? n ,即 n=9 时取等号)

所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 利润 y ? 30 n ? ( 81 ? n ) ? ? ( n ? 15 ) ? 144
2 2

所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.

5


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