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北师大选修2-2第4章定积分章末复习归纳整合


章末归纳整合

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专题一

定积分的概念及其几何意义和物理意义

了解定积分概念的背景知识及概念的产生过程和其蕴含的数学 思想是本章的重要内容,与定积分的几何意义和物理意义相结

合更能体现定积分的实用价值

,也有利于理解概念.

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【例 1】 比较

?3 ? ? ?

0

5 2 3 ? 5-9x dx 与? ? ?
0

1 2 3-3x dx 的大小.

解 设 y= 设 y= ∴
?3 ? ? ?0

5 2 x2 y2 5- x ,则 + =1(y≥0). 9 9 5

1 2 x2 y2 3-3x ,则 9 + 3 =1(y≥0). 5 2 5- x dx 的几何意义是长半轴长为 3, 短半轴长为 9

5的上半个椭圆的右半部分与 x 轴,y 轴所围成的平面图
? 1? 形?该椭圆的 ?的面积; 4? ?

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?3 ? ? ?

0

1 2 3-3x dx 的几何意义是长半轴长为 3, 短半轴长为 3

的上半个椭圆的右半部分与 x 轴, y 轴所围成的平面图形
? 1? ?该椭圆的 ?的面积. 4? ?

∵ 5> 3,∴

?3 ? ? ?

0

5 2 3 ? 5-9x dx>? ? ? 0

1 2 3-3x dx.

方法点评 观察到两个被积函数结构相似,都具有明显的几 何意义,而且是同一类型的,将问题转化为比较两个平面 图形面积的大小,无需具体求出两个定积分的数值.

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【例2】 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度 为a=-0.4 m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车

站多远处开始制动?
解 因为 a=-0.4 m/s2,v0=72 km/h=20 m/s.
? ? adt=20-? 0.4dt=20-0.4t. 设 t s 后的速度为 v,则 v=v0+? ? ? ?0 ?0

t

t

当列车停止时 v=0,解得 t=50 s. 设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s,
? ? v(t)dt=? 则 s=? ? ? ?0

50

50

(20-0.4t)dt=500(m).

?0

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故列车应在进站前50 s和离车站500 m处开始制动.

总之,定积分的产生促进了物理学问题的解决,在生产、生
活中解决了很多过去不能解决的问题,从而推动了科学技术 的发展.

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专题二 定积分的计算——微积分基本定理的应用
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分是本章的另一个核心内容,也 是学好本章的基础.一方面要明确微积分基本定理揭示了原函

数与其导函数的关系,并掌握利用导数公式表,由导函数逆推
得到原函数的方法.另一方面要熟练应用一些常见的定积分的 性质.

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【例 3】

1 ? 计算? x ?-1

1-x2dx.
1-x2, 1-?-x?2=-x 1-x2=-f(x),

解 取 f(x)=x 因为 f(-x)=-x

所以函数 f(x)在区间[-1,1]上是奇函数,而 f(x)在区间[- 1,1]上连续,故? ? x
?-1
1

1-x2dx=0.

方法点评 设函数 f(x)在区间[-a, a]上连续, 如果函数 f(x)
a ? 是奇函数,那么? -af(x)dx=0. ?-a

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? |x-2|dx. 【例 4】 计算? ? ?

3 1

分析

根据定积分的几何意义知 |x-2|dx 表示的是如右

?3 ? ? ?1

图中 A1、A2 的面积.

解 如右图,

?3? ? ? ? ?1?

? x-2? ?dx ?

1 1 =SA1 +SA2 = ×1×1 + ×1×1 2 2 =1.

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方法点评 本题若采用常规解法, 需先将

?3? ? ? ? ?

? x-2? ?dx 1? ?

中的

绝对值去掉,然后再求解,过程复杂,而根据其几何意义 画出相应的图像,数形结合,解答更加简捷.

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专题三 含字母参数的定积分问题
微积分基本定理,实际上给出了微分与积分之间的联系,在解

决含有参数的定积分问题时,往往要对字母参数进行讨论,有
时解决这类问题要与其他知识联系起来,综合解决.

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2 2 ? |x -a |dx(a>0). 【例 5】 求定积分 f(a)=? ?
?

1

0

分析

要正确区分积分变量和字母,不要混为一谈,注
?x3 ? ? 2 1 3? 2 2 2 时,因为?a x-3x ?′=a -x ,? 3 -a x?′= ? ? ? ?

意分类讨论.

解 0<a≤1 x2-a2, f(a)=
a
?0 ?1 ? ? ? ? ?

0?

x -a ?dx
?
1
?a

2

2?

?

2 2 ? 2 2 ? (a -x )dx+? (x -a )dx =? ? ?



? 2 ? x3 ?? 1 3??a 2 ? a x- x ? ?0+ ? -a x? ?1 a 3 ?? ? ?3 ??
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3 1 1 a =a3- a3-0+0+ -a2- +a3 3 3 3

4 3 2 1 = a -a + . 3 3 当 a>1
?1 ? ? ?0

? 1 3? 2 时,因为?a x- x ?′=a2-x2,所以 3 ? ?
2 2

f(a)= (a -x )dx=

? 2 1 3??1 2 1 ? a x- x ??0=a - . 3 ?? 3 ?

?4 3 2 1 ?3a -a +3?0<a≤1?, ∴f(a)=? ?a2-1 ?a>1?. 3 ?
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高考命题趋势
预测对本节内容的考查为:以选择题、填空题的形式出现,主

要考查有关定积分的计算及其应用.定积分在几何或物理方面
的应用,难度为低档题.定积分为新增内容,有可能成为新的 高考热点.

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高考真题
1.(2011· 新课标全国)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴 所围成的图形的面积为 10 A. 3
解析

( 16 C. 3 D.6

).

B.4
? ?y= x, 由? ? ?y=x-2

得其交点坐标为(4,2).

因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为
?4 ? ? ?

0

? ( x -x+2)dx [ x-(x-2)]dx=? ? ?

4 0



?2 3 1 2 ?? 2 1 16 4 ? x - x +2x ??0 = ×8- ×16+2×4= . 3 2 3 ?3 2 2 ??

答案 C
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π π 2.(2011· 湖南)由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 3 3 所围成的封闭图形的面积为 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D. 3 ( ).

解析

根据定积分的定义,所围成的封闭图形的面积为
? π? π ? ? =sin3-sin?-3?= 3.

答案 D
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3 . (2012· 湖北 ) 已知二次函数 y = f (x) 的图象如图所示,则它与 x 轴 所 围 图 形 的 面 积 为 ( 2π ). 4 A. B. 5 3 π 3 C. D. 2 2 解 析 根 据 f(x) 的 图 象 可 设 f(x) = a(x + 1)(x - 1)(a<0).因为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即 a =-1.所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. 1 2 2 ?1 ? ? (1-x )dx 所以 S=? (1 - x )d x = 2 ? ?
?- 1 ?0

1 3 ?1 1 4 =2 (x- x )? 0=2(1- )= . 3 3 3 ?

答案

B
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4.(2012· 上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 1 A(0,0)、B( ,5)、C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的 2 图象与 x 轴围成的图形的面积为________. 解析 先求出 y=f(x), 再用定积分求面 积. 1 ? ?10x,0≤x≤2, y=f(x)=? ?-10x+10,1<x≤1. ? 2 1 ? 2 ?10x ,0≤x≤2, ∴xf(x)=? ?-10x2+10x,1<x≤1, ? 2
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1 ∴所求面积为 S=∫2010x2dx+∫11(-10x2+10x)dx= 2 ?1 10 3? 1 10 3 10 1 10 2 1 ? ? x + (- x +5x ) = × + (- + 5)- 3 ?20 3 3 8 3 ? 2 10 1 1 5 (- × +5× )= . 3 8 4 4 5 答案 4

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1 2 ? 5.(2012· 江西)计算定积分? ( x +sin x)dx=________. ?

解析 ∴
?1 ? ? ?- 1

1 3 ∵( x -cos x)′=x2+sin x, 3
?1 1 3 2 ? (x +sin x)dx=( 3x -cos x) = . ? -1 3
2

?- 1

答案

2 3

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6.(2012· 山东)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________.
解析
答案

S=? ?
4 9

?a ?0

2 3 4 2 3? ?a 2 xdx= x2? 0= a2=a ,∴a= . 3 9 3 ?

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