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2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:第1章 常用逻辑用语 1.4.3 含有一个量词的命题的否定


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人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
常用逻辑用语

第一章

常用逻辑用语

成才之路 ·高中新课程 ·学习

指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1

第一章 1.4 全称量词与存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

第一章

1.4

1.4.3

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第一章

1.4

1.4.3

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自主预习学案

第一章

1.4

1.4.3

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1.加深对特称命题、全称命题的理解.
2.掌握含有一个量词的命题的否定.

第一章

1.4

1.4.3

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重点:1.特称命题与全称命题的否定.

2.求参数的取值范围问题.
难点:准确作出命题的否定.

第一章

1.4

1.4.3

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含有一个量词的命题的否定

新知导学
1 . 全 称 命 题 p : ? x∈M , p(x) , 它 的 否 定 ?p : ?x∈M,?p(x) . ________________

2 . 特 称 命 题 p : ? x∈M , p(x) , 它 的 否 定 ?p : ?x∈M,?p(x) . ________________
3 .全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称 命题,因此,我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题.
第一章 1.4 1.4.3

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常见的命题的否定形式有:
原语 句 否定 形式 至少有 一个 至多有 一个 对任意 x∈A使 p(x)真



都是

>

一个 至少 存在x∈A ≤ _____ _____ ____ 不是 不都是 也没有 _______ 有两个 ________ 使p(x)假 _______

第一章

1.4

1.4.3

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牛刀小试
1.命题“存在实数x,使x>1”的否定是( A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 )

D.存在实数x,使x≤1
[答案] C [解析] 特称命题的否定为全称命题.

“ 存 在 实 数 x , 使 x>1” 的 否 定是 “ 对 任 意 实 数 x ,都 有
x≤1”.
第一章 1.4 1.4.3

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2.(2015·湖北文)命题“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的
否定是( ) A.?x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.?x?(0,+∞),ln x=x-1 C.?x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1

D.?x0?(0,+∞),ln x0=x0-1
[答案] A [解析] A.
第一章 1.4 1.4.3

特称性命题的否定是全称性命题,且注意否定结

论,故原命题的否定是: “?x∈(0,+∞) ,lnx≠x -1”.故选

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3 .设 x∈Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则( A.?p:?x∈A,2x∈B C.?p:?x∈A,2x?B ) B.?p:?x?A,2x∈B D.?p:?x?A,2x?B

[答案] C
[解析] 本题考查全称命题与特称命题的转化问题. 由命题p:?x∈A,2x∈B得?p:?x∈A,2x?B.

第一章

1.4

1.4.3

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4.已知命题p:?x∈R,sinx≤1,则( A.?p:?x∈R,sinx≥1 B.?p:?x∈R,sinx≥1 C.?p:?x∈R,sinx>1

)

D.?p:?x∈R,sinx>1
[答案] D [解析] 将“?”改为“?”,将“≤”改为“>”即可.

第一章

1.4

1.4.3

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典例探究学案

第一章

1.4

1.4.3

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全称命题、特称命题的否定 写出下列命题的否定,并判定真假. (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)有些实数的绝对值是正数; (3)某些平行四边形是菱形. [分析] 首先弄清楚是全称命题还是特称命题,再针对不 同的形式从量词和结论两个方面加以否定.

第一章

1.4

1.4.3

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[解析] (1)存在一个矩形不是平行四边形.假命题. (2)所有实数的绝对值都不是正数.假命题. (3)每一个平行四边形都不是菱形.假命题.

[ 方法规律总结 ]

一般地,写含有一个量词的命题的否

定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到其 量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量 词,存在量词改成全称量词,同时否定结论. 对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写

成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.

第一章

1.4

1.4.3

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写出下列命题的否定. (1)p:?x∈R,x2+2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:所有能被3整除的整数是奇数; (4)p:每一个四边形的四个顶点共圆.

[解析] (1)?p:?x∈R,x2+2x+2>0.
(2)?p:所有的三角形都不是等边三角形. (3)?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数. (4)?p:存在一个四边形的四个顶点不共圆.
第一章 1.4 1.4.3

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利用全称命题与特称命题求参数的取值范围 若命题p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命 题,则实数a的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-2,+∞) ) B.[2,+∞) D.(-2,2)

第一章

1.4

1.4.3

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[解析] ax2+4x+a≥-2x2+1 是真命题,即不等式 ax2+ 4x+a≥-2x2+1 对?x∈R 恒成立, 即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0 恒成立. 当 a+2=0 时,不符合题意.
? ?a+2>0 故有? ? ?Δ≤0 ? ?a+2>0, ,即? ? ?16-4?a+2??a-1?≤0



解得 a≥2.

[答案] B

第一章

1.4

1.4.3

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[方法规律总结 ]
常见题型

应用全称命题与特称命题求参数范围的

1 .全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为 真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性 质,所以可以代入,也可以根据函数等数学知识来解决.

2 .特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论 “存
在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达.解答这类问 题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设

出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存
在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.
第一章 1.4 1.4.3

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若存在 x0∈R, 使 ax2 则实数 a 的取值范围是 0+2x0+a=0, __________.

[答案] -1<a<1
[解析] 当 a=0 时,x0=0 满足题意. 当 a≠0 时,由题意知方程 ax2+2x+a=0 有实数根,
? ?a≠0 ∴? 2 ? ?Δ=4-4a ≥0

,∴-1<a<0 或 0<a<1.

综上可知-1<a<1.
第一章 1.4 1.4.3

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(2015·北京朝阳区期中)已知函数f(x)=x2-4x+
a+3,a∈R. (1)若函数y=f(x)的图象与x轴无交点,求a的取值范围; (2)若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a的取值范围; (3)设函数g(x)=bx+5-2b,b∈R.当a=0 时,若对任意的 x1∈[1,4] , 总 存 在 x2∈[1,4] ,使 得 f(x1) = g(x2) ,求 b 的取值范 围.

第一章

1.4

1.4.3

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[解题思路探究 ]

第一步,审题,审条件发掘解题信息,

给出含参数的二次函数,其图象开口向上. 审结论明确解题方向,求参数的取值范围. 第二步,找联系,确定解题方案. 第(1)问中f(x)的图象与x轴无交点,故方程f(x)=0无实根,

对应 Δ<0 ;第 (2) 问中 f(x) 在 [ - 1,1] 内存在零点,由于是二次函
数,故可能存在一个零点,可用零点存在性定理求解;也可能 存在两个零点,可利用二次函数图象借助函数值的符号转化为

不等式组求解.

第一章

1.4

1.4.3

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本题关键是第(3)问的理解,“对任意的x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4] ,使 f(x1) = g(x2)”表明 f(x) 的值域为 g(x) 值域的子集,

故解答第三问需求先f(x)、g(x)的值域,再利用子集关系求参数
取值范围. 第三步,规范解答.
[解析] 3)<0,∴a>1. (2)∵f(x)的对称轴为 x=2,∴f(x)在[-1,1]上单调递减,欲 使 f(x)在[-1,1]上存在零点,应有
? ?f?1?≤0, ? ? ?f?-1?≥0. ? ?a≤0, 即? ? ?8+a≥0,

(1)∵f(x)的图象与 x 轴无交点,∴Δ=16-4(a+

∴-8≤a≤0.
第一章 1.4 1.4.3

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(3)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2), 只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)值域的子集即可. ∵函数 y=f(x)在区间[1,4]上的值域是[-1,3],当 b>0 时,g(x)在[1,4]
? ?5-b≤-1, 上的值域为[5-b,2b+5],只需? ? ?2b+5≥3,

∴b≥6;当 b=0

时,g(x)=5 不合题意,当 b<0 时,g(x)在[1,4]上的值域为[2b+
? ?2b+5≤-1, 5,5-b], 只需? ? ?5-b≥3,

∴b≤-3.综上知 b 的取值范围是

b≥6 或 b≤-3.

第一章

1.4

1.4.3

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课时作业
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第一章

1.4

1.4.3


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