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A011=2.8 函数模型及其应用


§2.8

函数模型及其应用 自主学习

基础知识

要点梳理 1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k 反比例函数模型 f(x)=x+b (k,b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a, c 为常

数, b, a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,b≠0, 指数函数模型 a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c(a, c 为常数, b, b≠0, 对数函数模型 a>0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数 y=ax (a>1)与幂函数 y=xn (n>0) 在区间(0,+∞),无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范 围内 ax 会小于 xn,但由于 y=ax 的增长速度快于 y=xn 的增 长速度,因而总存在一个 x0,当 x>x0 时有 ax>xn . ②对数函数 y=logax (a>1)与幂函数 y=xn (n>0) 对数函数 y=logax (a>1)的增长速度,不论 a 与 n 值的大小 如何总会慢于 y=xn 的增长速度,因而在定义域内总存在一 logax<xn . 个实数 x0,使 x>x0 时有 由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数, 但它们 的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞) ax>xn>logax . 上,总会存在一个 x0,使 x>x0 时有

2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化 为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

题型分类
题型一

深度剖析

一次函数、二次函数模型

例 1 某企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预 测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润和投资单位:万元).

(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系 式; (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A, B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资,才能使 该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 思维启迪
(1)根据函数模型,建立函数解析式.(2)根据 资金分配情况,建立利润解析式.



(1)设甲、乙两种产品分别投资 x 万元(x≥0),所获

利润分别为 f(x)、g(x)万元, 由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x, ∴根据图象可解得 f(x)=0.25x (x≥0), g(x)=2 x (x≥0). (2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6, ∴总利润 y=8.25(万元). ②设 B 产品投入 x 万元, 产品投入(18-x)万元, A 该企 业可获总利润为 y 万元,

1 则 y= (18-x)+2 x,0≤x≤18. 4 令 x=t,t∈[0,3 2], 1 1 34 2 2 则 y= (-t +8t+18)=- (t-4) + . 4 4 4 34 ∴当 t=4 时,ymax= =8.5,此时 x=16,18-x=2. 4 ∴当 A、B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使 该企业获得最大利润 8.5 万元.

探究提高

(1)在实际问题中, 有很多问题的两变量之间

的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变 量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0),构 建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解. (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问 题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用 二次函数图象与单调性解决. (3)在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.

变式训练 1 假设国家收购某种农产品的价格是 1.2 元 /kg,其中征税标准为每 100 元征 8 元(即税率为 8 个 百分点,8%),计划可收购 m kg.为了减轻农民负担, 决定税率降低 x 个百分点,预计收购可增加 2x 个百 分点. (1)写出税收 y(元)与 x 的函数关系; (2) 要 使 此 项 税 收 在 税 率 调 节 后 不 低 于 原 计 划 的 78%,确定 x 的取值范围.
解 (1)由题知, 调节后税率为(8-x)%, 预计可收购 m(1

+2x%) kg,总金额为 1.2m(1+2x%)元, ∴y=1.2m(1+2x%)(8-x)% 3m = (400-42x-x2) (0<x≤8). 12 500

(2)∵原计划税收 1.2m· 8%元, ∴1.2m(1+2x%)(8-x)%≥1.2m· 78%, 8%· 得 x2+42x-88≤0,-44≤x≤2, 又∵0<x≤8,∴x 的取值范围为 0<x≤2.

题型二

分段函数模型

例 2 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分 别在国内和国外上市销售, 并且价格根据销售情况不 断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及 销售利润进行了调研,结果如图所示,其中图①(一 条折线)、 图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场 的日销售量与上市时间的关系, 图③是每件样品的销 售利润与上市时间的关系. (1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的 关系及国内市场的日销售量 g(t)与上市时间 t 的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 于 6 300 万元?若有,请说明是上市后的第几天;若 没有,请说明理由.

思维启迪

第(1)问就是根据图①和②所给的数据, 运用

待定系数法求出各图象中的解析式; 第(2)问先求得总利 润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.

解 得

(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,
?2t, ? f(t)=? ?-6t+240, ?

0≤t≤30, 30<t≤40.

图②是一个二次函数的部分图象, 3 2 故 g(t)=- t +6t (0≤t≤40). 20 (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为
?3t,0≤t≤20, ? h(t)=? ?60,20<t≤40. ?

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为
? ? ? 3 2 ?3t?- t +8t?,0≤t≤20, ? ? ? 20 ? ? ? 3 2 F(t)=?60?-20t +8t?,20<t≤30, ? ? ? ? ? ? 3 2 ?60?-20t +240?,30<t≤40. ? ? ?

? ? 3 2 9 ?- t +8t?=- t3+24t2, 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t 20 20 ? ? ? 27 ? 27 2 ∴F′(t)=- t +48t=t?48-20t?≥0, 20 ? ?

∴F(t)在[0,20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. ? ? 3 2 当 20<t≤30 时,F(t)=60?-20t +8t?. ? ? 由 F(t)=6 300,得 3t2-160t+2 100=0, 70 解得 t= (舍去)或 t=30. 3 ? ? 3 2 当 30<t≤40 时,F(t)=60?-20t +240?. ? ? 由 F(t)在(30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万 元,为上市后的第 30 天.

探究提高

(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵

循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变 化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变 量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合 理不重不漏.

变式训练 2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本 为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一 年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销 1 2 ? ?10.8-30x ?0<x≤10?, 售收入为 R(x)万元,且 R(x)=? ?108-1 000 ?x>10?. 3x2 ? x (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中 所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)
解 (1)当 0<x≤10 时, x3 W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10; 30 1 000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x. 3x

x ? ?8.1x-30-10 ?0<x≤10?, ∴W=? ?98-1 000-2.7x ?x>10?. 3x ?
3

x2 (2)①当 0<x<10 时,由 W′=8.1- =0, 10 得 x=9,且当 x∈(0,9)时,W′>0; 当 x∈(9,10)时,W′<0, ∴当 x=9 时,W 取最大值, 1 3 且 Wmax=8.1×9- · -10=38.6. 9 30 ②当 x>10 时, ?1 000 ? W=98-? 3x +2.7x?≤98-2 ? ? 1 000 · 2.7x=38, 3x

1 000 100 当且仅当 =2.7x,即 x= 时, 3x 9 100 W=38,故当 x= 时,W 取最大值 38. 9 综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年 产量为 9 千件时, 该公司在这一品牌服装的生产中所获 年利润最大.
点评 分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上 的最值,然后再比较大小.另外在利用基本不等式求解 最值时,一定要检验等号成立的条件.也可通过函数的 单调性求解最值.

题型三 例3

指数函数、幂函数模型

某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为

1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精 确到 1 年); (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然 增长率应该控制在多少? (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127,lg 1.2≈0.079, lg 2≈0.301 0,lg 1.012≈0.005,lg 1.009≈0.003 9)

思维启迪:增长率问题是指数函数问题,利用指数函数 模型,构造函数.
解 (1)1 年后该城市人口总数为

y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) 2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)3. x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x.

(2)10 年后,人口总数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万人). (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人, 即 100×(1+1.2%)x=120, 120 x=log1.012 =log1.0121.20≈16(年). 100 (4)由 100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2, 两边取对数得 20lg(1+x%)≤lg 1.2=0.079, 0.079 所以 lg(1+x%)≤ =0.003 95, 20 所以 1+x%≤1.009,得 x≤0.9, 即年自然增长率应该控制在 0.9%.

变式训练 3 一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量 迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒 精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安 全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液 中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝 了少量酒后的驾驶员, 至少经过__________小时才能 5 开车.(精确到 1 小时)
解析 设至少经过 x 小时才能开车.

由题意得 0.3(1-25%)x≤0.09,∴0.75x≤0.3. x≥log0.750.3≈5.

作业

步步高课时规范训练
( §2.8)

p247—p248


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