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第三次练习题


第三次练习题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1. 已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? (? , ) 满足 f ?( x) cos x ? f ( x)

sin x ? 0 (其中 f ?( x) 2 2 是函数 f ( x) 的导函数) ,则下列不等式成立的是( )

? ?

? ? A. 2 f (? ) ? f (? ) 3 4
? C. f (0) ? 2 f ( ) 3
2.曲线 x ? A.

? ? B. 2 f ( ) ? f ( ) 3 4
? D. f (0) ? 2 f ( )
4

y ? 1与两坐标轴所围成图形的面积为(
B.

) D.

1 2

1 3

C.

1 6

1 8

3.若曲线 y ?

a ?( )
A. ?2 4.若复数

1 2 x 与曲线 y ? a ln x 在它们的公共点 P ? s, t ? 处具有公共切线,则实数 2e
B.

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 ( 1 ? 2i A. ? 6 B. ? 2 C. 4 D. 6 1 1 1 1 5. i 为虚数单位,则 ? 3 ? 5 ? 7 ? ( ) i i i i A.0 B.2 i C. ? 2i D. 4i

1 2

C. 1

D. 2 )

i ? i 2 ? i 3 ? ? ? i 2015 6.已知复数 z ? ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( ) 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 x 7. (2013?梅州二模)设点 P 在曲线 y=e 上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则|PQ|的最小值为 ( ) A. B. (1﹣ln2) C. D. (1+ln3) 8.函数 y ? x ? 2ax ? a 在 (0,1) 内有极小值,则实数 a 的取值范围为(
3



A. (0,3)

B. (??,3)

C. (0,??)

D. (0, )

3 2

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

9.已知

z ? 2 ? i ,则复数 z ? 1? i



10.如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到 阴影部分的概率为______.

y
e

y=ex

1 O 1
e

y=lnx

x

11.[2014·琼海模拟]如图所示,则由两条曲线 y=-x ,x =-4y 及直线 y=-1 所围 成图形的面积为________.

2

2

12.x、y∈R,

x y 5 ? ? ,则 xy=___ 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

___.

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

13.已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x .
2

(1)求函数 f ? x ? 在区间 [1, e] 上的最小值; (2)设 g ? x ? ? (1 ? a) x ,其中 0 ? a ? 1 ,判断方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [1, e] 上的解
试卷第 2 页,总 3 页

的个数(其中 e 为无理数,约等于 2.7182? 且有 e2 ? 2e ? e ? 1 ). 14.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取 值范围;

(3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) * ? ? ?? ? ( n? N 且n ?1) 3 4 5 n ?1 4

15.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为 O,半 径为 100m,并与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.A 为上半圆弧上一点,过点 A 作 l 的 垂线,垂足为 B.市园林局计划在△ABM 内进行绿化.设△ABM 的面积为 S(单位: m ),
2

?AON ? ? (单位:弧度) .

(I)将 S 表示为 ? 的函数; (II)当绿化面积 S 最大时,试确定点 A 的位置,并求最大面积.

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:令 g ? x ? ?

f ? x? ? ? ?? , x ?? ? , ? . cos x ? 2 2?

? g '? x? ?
立,

f ' ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? ? ?? ,? f ' ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? 0 在 ? ? , ? 上恒成 2 cos x ? 2 2?

f ? x? ? ? ? ? ? ? ?? 在 ? , ? 上单调递增. ? g ' ? x ? ? 0 在 ? ? , ? 上恒成立.? g ? x ? ? cos x ? ? 2 2? ? 2 2?
? ?? ? ?? ?g ?? ? ? g ?? ? , 即 ? 3? ? 4? ? ?? ? ?? ? 2 f ?? ? ? f ?? ?. ? 3? ? 4?
故 A 正确. 考点:1 用导数求函数的单调性;2 用单调性比较大小. 【思路点晴】本题属于用导数研究函数性质问题,难度中等.根据已知

? ?? ? ?? f ?? ? f ?? ? ? 3? ? ? 4? ? ?? ? ?? cos ? ? ? cos ? ? ? ? 3? ? 4?



? ?? ? ?? f ?? ? f ?? ? ? 3?? ? 4? 1 2 2 2



f ' ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ? 0 可联想到需构造函数 g ? x ? ?
得函数的增减区间.根据函数 g ? x ? ? 2. C 【解析】

f ? x? .根据函数 g ' ? x ? 的正负 cos x

f ? x? 的单调性再比较大小. cos x

试题分析: x ? 0, y ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 1 ,当 y ? 0 时, x ? 1 ,所以确定备积区间 ?0,1? , 备 积 函 数 是 y ? 1?

?

x
3

?

2

? 1? 2 x ? x 所 以 , 根 据 定 积 分 的 公 式

? ?1 - 2
1 0

x ? x dx ? x ?

?

4 2 1 21 1 x ? x 0 ? ,故选 C . 3 2 6

考点:1.定积分的定义;2.定积分的应用. 3.C 【解析】 试题分析:根据题意可知: y? ?

1 a x, y? ? ,两曲线在点 P ? s, t ? 处由公共的切线,所以 e x
答案第 1 页,总 6 页

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s2 1 a s ? 即: s ? ae ,代入 ? a ln s 解得: a ? 1 ,所以答案为 C. e s 2e
考点:1.利用求导求切线斜率;2.解方程. 4. A 【解析】 5.A
2 7 3 5 【解析】解:因为? i ? ?1, i ? i ? ?i, i ? i,? ?

a ? 3 i ( a? 3 i) (1 ? 2 i ) a? 6 ? 3 a 2 a?6 3 ? 2a ? 0, ? 0,? a ? ?6 所以 ? ? ? i, 5 5 1 ? 2i (1 ? 2 i ) (1 ? i2 ) 5 5
1 1 1 1 ? ? ? ?i ? i ? i ? i ? 0 ,故选 A i i3 i5 i7

6.B 【解析】
2 2015 ? i ? i 2 ? i 3 ? ?1 , 所 以 试 题 分 析 : 由 于 i 4 n ? k ? i k (n ? Z ) , 所 以 i ? i ? ? ? i

z?

?1 ? (1 ?i ) 1 1 1 1 ? ? ? ? i ,对应点 (? , ) ,在第二象限,故选 B. 2 2 1? i ( 1 ? i )? (i 1 ) 2 2

考点:复数的运算与几何意义. 7.A 【解析】 x 试题分析:解:∵y=e 与 y=lnx 互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称, ∴可先求点 P 到直线 y=x 的最近距离 d, x 设曲线 y=e 上斜率为 1 的切线为 y=x+b, x x ∵y′=e ,由 e =1,得 x=0, ∴切点坐标为(0,1) ,即 b=1 ∴d= = ,

∴丨 PQ 丨的最小值为 2d=2×

=

故选:A. 考点:指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 8.D 【解析】 试题分析:对于函数 y ? x ? 2ax ? a ,求导可得 y? ? 3x ? 2a ,∵函数 y ? x ? 2ax ? a
3
2

3

2 3 x 2 ? 2a ? 0 在 (0, 1) 内有极小值, ∴ y? ? 3x ? 2a ? 0 , 则其有一根在 (0, 1) 内, a>0 时,

两根为 ?

2 2 3 a, a<1 , 3x 2 ? 3a ? 0 若有一根在 (0, 1) 内, 则 0< 即 0< a< . a=0 时, 2 3 3

2 (0, 1) 两根相等,均为 0,f(x)在 内无极小值. a<0 时,3x ? 3a ? 0 无根,f(x)在(0,

答案第 2 页,总 6 页

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1)内无极小值,综合可得, 0< a< ,故答案为 (0, ) . 考点:函数在某点取得极值的条件. 9. 【解析】略 10.

3 2

3 2

2 e2

【解析】 试题分析:由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同.

S ? 2? (e ? e x )dx ? 2(ex ? e x ) 1 0 ? 2 .所以落到阴影部分的概率为 P ?
0

1

2 . e2

考点:1.几何概型.2.定积分. 11.

4 3

? y ? ? x2 【解析】 由图形的对称性, 知所求图形的面积是位于 y 轴右侧图形面积的 2 倍. 由? ? y ? ?1
得 C(1,-1). 同理,得 D(2,-1). 故所求图形的面积 S=2{

?

1

0

[-

2 2 1 3x x2 x2 2 dx - -(-x )]dx+ ? [- -(-1)]dx}=2[ ? 0 4 1 4 4

?

2

1

2 ? x2 ? x3 1 x3 4 ] = 2[ - ( -x) ]= . ? 1 dx ? ? 3 4 0 12 1 ? 4 ?

12.5 【解析】略 13. (1) a ? 1 时,[ f ( x)]min ? f (1) ? ?2a ,1 ? a ? e 时,[ f ( x)]min ? f (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a , a ? e 时, [ f ( x)]min ? f (e) ? e2 ? 2ae ? e ? a ; (2)方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [1,e] 上存在唯一解. 【解析】 试题分析: (1)先求出 f ?( x) 并进行因式分解得到 f ?( x) ?

? x ? a ?? 2 x ? 1?
x

,然后分 a ? 1 、

( 2 )设 1 ? a ? e 、 a ? e 三类进行讨论函数在 [1, e] 的单调性,从而确定函数的最小值;

h ? x? ? f ? x? ? g? x ? ,进而通过求导 h?( x) ,由 0 ? a ? 1 确定函数 h ? x ? 在 [1, e] 的单调性,
进 而 判 断 两 端 点 函 数 值 是 正 数 还 是 负 数 , 最 终 确 定 函 数 h( x ) 零 点 的 个 数 即 方 程

f ? x ? ? g ? x ? 在 [1, e] 上的解的个数.

答案第 3 页,总 6 页

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2 a 2 x ? ? 2a ? 1? x ? a ? x ? a ?? 2 x ? 1? ? ? 0, 试题解析: (1)由 f ?( x) ? 2 x ? ? 2a ? 1? ? ? x x x

得 x ? a或 x ?

1 2

①当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以故 f ? x ? 在 [1 ,e] 上是增函数,所以 [ f ( x)]min ? f (1) ? ?2a ②当 1 ? a ? e 时, x ? ?1, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ?1, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 所以, f ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a, e ? 上是增函数,故 [ f ( x)]min ? f (a) ? ?a2 ? a ? a ln a ③当 a ? e 时,f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在 [1,e] 上是减函数, 故 [ f ( x)]min ? f (e) ? e2 ? 2ae ? e ? a . 综上所述: a ? 1 时, [ f ( x)]min ? f (1) ? ?2a
1 ? a ? e 时, [ f ( x)]min ? f (a) ? ?a2 ? a ? a ln a

a ? e 时, [ f ( x)]min ? f (e) ? e2 ? 2ae ? e ? a
(2)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x2 ? ? a ? 2? x ? a ln x 由 h? ? x ? ? 2 x ? ? a ? 2 ? ?

? x ? 0?

2 a 2 x ? ? a ? 2 ? x ? a ? 2 x ? a ?? x ? 1? ? ? 0 ,解得; x ?1 或 ? x x x

x?

a 2
a ?1 2

由 0 ? a ? 1, 知

故当 x ? ?1, e ? 时, h? ? x ? ? 0 ,则 h ? x ? 在 [1, e] 上是增函数 又 h ?1? ? ?1 ? a ? 0 ; h ? e? ? e2 ? ? a ? 2? e+a =e ? 2e ? (e ?1 )a ? ? e ? 1? ?
2

? e2 ? 2e ? ? a? ? e ?1 ?

由已知 e ? 2e ? e ?1 ? 0 得:
2

e 2 ? 2e e2 ? 2e ? 1 ,所以 ? a ? 0 ,所以 h ? e ? ? 0 e ?1 e ?1

故函数 h ? x ? 在 [1,e] 上有唯一的零点,即方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [1,e] 上存在唯一解. 考点:1.函数的最值与导数;2.方程的解与函数的零点. 【答案】 (14 分) (1) 当k ? 0时 f ( x)在 ?1, ??? 上为增函数;

1? ? ? 1 ? 当k ? 0时 f ( x)在 ?1,1 ? ? 上为增函数;在 ?1 ? , ?? ? 上为减函数; k? ? ? k ?
答案第 4 页,总 6 页

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(2)易知 k>0,则 f ( x) max ? f (1 ? ) ? 0 即 k ? 1 ; (3)令 k ? 1 则 ln( x ? 1) ? x ? 2 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立 即: ln x ? x ? 1 对 x ? ? 0, ??? 恒成立

1 k

ln n n ? 1 ? , (n ? 2) n ?1 2 ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) ? ? ?? ? 3 4 n ?1 2
取 x ? n ,则 2ln n ? n ? 1 即
2
2

【解析】略 15. (Ⅰ) S =5000(sin?+sin? cos? ),? ? (0,? ).(Ⅱ) 150m . 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , 确 定 直 角 三 角 形 两 直 角 边 长 BM=AOsin?= 100sin? , 即得到 S 表示为 ? 的函数. (Ⅱ)通过“求导数,求驻点,研究区间导数值的正负,确定极值,最值”.“表解法”形 象直观,易于理解. 100sin? , 试题解析: (Ⅰ)如图, BM=AOsin?= l

B M
北 京

A

O

N



AB=MO+AOcos?= 100+ 100cos?,? ? (0,? ) .

3分

100cos? ) 则 S= MB ? AB= ?100sin? ? (100+
=5000(sin?+sin? cos? ),? ? (0,? ). 6分
(Ⅱ) S?= 令 S?=0 , 5000(2cos ?+cos?- 1)=5000(2cos?- 1)(cos?+ 1).
2

1 2

1 2

得 cos ? = 此时 ? =

当 ? 变化时,S′,S 的变化情况如下表:

? . 3

1 或 cos ? =-1(舍去), 2
8分

答案第 5 页,总 6 页

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?
S?

? ?? ? 0, ? ? 3?
+ ?

? 3
0 极大值

?? ? ? ,? ? ?3 ?


S
所以,当 ? ?

?

3 边 l 的距离为 150m .

150m ,即点 A 到北京路一 时,S 取得最大值 Smax =3750 3m2 ,此时 AB=
13 分

考点:三角函数定义,三角形面积公式,应用导数研究函数的最值.

答案第 6 页,总 6 页


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