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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分59 用样本估计总体


开卷速查(五十九)

用样本估计总体

A 级 基础巩固练 1.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分的 人数是 15,则该班的学生人数是( )

A.45

B.50

/>C.55

D.60

解析: 根据频率分布直方图, 低于 60 分的同学所占频率为: (0.005 15 +0.01)×20=0.3,故该班的学生人数为0.3=50,故选 B. 答案:B 2.某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图, 其中甲班学生成绩的众数 是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x+y 的值为( )

A.7

B.8

C.9

D.10

解析:由茎叶图可知,甲班学生成绩的众数是 85,所以 x=5.乙班

学生成绩的中位数是 83,所以 y=3,所以 x+y=5+3=8. 答案:B 3 . 在 某 次 测 量 中 得 到 的 A 样 本 数 据 如 下 :

82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都 加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 解析:由 s= B.平均数 D.标准差 ?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2 ,可知 B 样 n )

本数据每个变量增加 2, 平均数也增加 2, 但(xn- x )2 不变, 故选 D 项. 答案:D 4.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为 可入肺颗粒物,下图是据北京某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地 浓度的中位数较低的是( )

A.甲、乙相等 C.乙

B.甲 D.无法确定

解析:由茎叶图可得甲地浓度的中位数为 0.066,乙地浓度的中位 数为 0.062,因此乙地浓度的中位数较低. 答案:C

5.如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而 绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40)、[40,45]的上网 人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为 ( )

A.0.04 B.0.06

C.0.2

D.0.3

解析:由频率分布直方图可知,年龄在[20,25)的频率为 0.01×5= 0.05, [25,30)的频率为 0.07×5=0.35, 又年龄在[30,35), [35,40), [40,45] 的频率成等差数列分布,所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为 0.2. 答案:C 6.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每次命中 的环数如下: 甲 乙 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 )

则下列判断正确的是(

A.甲射击的平均成绩比乙好 B.乙射击的平均成绩比甲好 C.甲比乙的射击成绩稳定 D.乙比甲的射击成绩稳定

解析:甲、乙的平均成绩分别为 x 甲=7, x 乙=7,故排除 A,B 1 2 2 2 项;甲、乙的成绩的方差分别为 s2 甲= 10[(7-7) +(8-7) +(7-7) +(9 -7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,s2 乙 1 =10[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+
2 (6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2,则 s甲 >s2 乙,所以乙比甲的射击成绩稳

定,故选 D. 答案:D 7.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均 数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值 为__________. 解 析 : 设 5 个 班 级 的 人 数 分 别 为 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , 则 x1+x2+x3+x4+x5 =7, 5 ?x1-7?2+?x2-7?2+?x3-7?2+?x4-7?2+?x5-7?2 =4, 5 即 5 个整数平方和为 20,最大的数比 7 大不能超过 3,否则方差 超过 4,故最大值为 10,最小值为 4. 答案:10 8 .如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶 图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为__________.

1 (注:方差 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2],其中 x 为

x1,x2,…,xn 的平均数) 8+9+10+13+15 解析:∵ x = =11, 5 ?8-11?2+?9-11?2+?10-11?2+?13-11?2+?15-11?2 ∴s = =6.8. 5
2

答案:6.8 9.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都 在 50 至 350 度之间,频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中 x 的值为__________; (2) 在 这 些 用 户 中 , 用 电 量 落 在 区 间 [100,250) 内 的 户 数 为 __________. 解析:(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为 1-(0.002 4 0.22 +0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)×50=0.22, 于是 x= 50 =0.004 4. (2)∵ 数 据 落 在 [100,250) 内 的 频 率 为 (0.003 6 + 0.006 0 + 0.004 4)×50=0.7, ∴所求户数为 0.7×100=70. 答案:(1)0.004 4 (2)70

10.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用

简单随机抽样,从这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学 成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年 级学生总人数, 并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分 及 60 分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1, x 2,估计 x 1- x 2 的值. 解析:(1)设甲校高三年级学生总人数为 n. 30 由题意知, n =0.05,即 n=600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5.据此估计甲校 5 5 高三年级此次联考数学成绩及格率为 1-30=6. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为 x ′1, x ′2.根据样本茎叶图 可知, 30( x ′1 - x ′2) = 30 x ′1 - 30 x ′2 = (7 - 5) + (55 + 8 - 14) + (24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92 =15. 因此 x ′1- x ′2=0.5.

故 x 1- x 2 的估计值为 0.5 分. B 级 能力提升练

11.某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,…, 24 这 24 个整数中等可能随机产生. (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i =1,2,3). (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复 运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、 乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分)

运行次数 n 30 … 2 100

输出 y 的值为 1 的频数 14 … 1 027

输出 y 的值 为 2 的频数 6 … 376

输出 y 的值为 3 的频数 10 … 697

乙的频数统计表(部分) 运行次数 输出 y 的值为 输出 y 的值为 输出 y 的值为 n 30 … 2 100 1 的频数 12 … 1 051 2 的频数 11 … 696 3 的频数 7 … 353

当 n=2 100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自 输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一 位所编程序符合算法要求的可能性较大. 解析:(1)变量 x 是在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中随机产生的一 个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 1 的值为 1,故 P1=2; 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2, 1 故 P2=3; 1 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3=6. 1 1 所以,输出 y 的值为 1 的概率为2,输出 y 的值为 2 的概率为3, 1 输出 y 的值为 3 的概率为6. (2)当 n=2 100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频率如下:

输出 y 的值 为 1 的频率 甲 乙 1 027 2 100 1 051 2 100

输出 y 的值 为 2 的频率 376 2 100 696 2 100

输出 y 的值为 3 的频率 697 2 100 353 2 100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能 性较大.


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