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高中数学必修一 三角恒等变形总结(采百家之长版)


一、三角函数公式:
两角和与差的三角函数关系 S(α+β) C(α+β) 万能公式 T(α+β) sin( ? ? ? )=sin ? · cos ? ? cos ? · sin ? ==正余余正符号相同 cos( ? ? ? )=cos ? · cos ? ==余余正正符号相反
tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? ta

n ?

① sin 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

② cos 2? ?

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

sin ? · sin ?

2 tan ? ③ tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

tan 2 ? ④ sin ? ? 1 ? tan 2 ?
2

变形公式

⑤ cos 2 ? ?

1 1 ? tan 2 ?

tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β) 积化和差公式 1 sin ? · cos ? = [sin( ? + ? )+sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · sin ? = [sin( ? + ? )-sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · cos ? = [cos( ? + ? )+cos( ? - ? )] 2 1 sin ? · sin ? = - [cos( ? + ? )-cos( ? - ? )] 2 和差化积公式 sin ? +sin ? = 2 sin

???

2 2 ??? ??? sin sin ? -sin ? = 2 cos 2 2 ??? ??? cos cos ? +cos ? = 2 cos 2 2 ??? ??? sin cos ? -cos ? = - 2 sin 2 2 1 2 ? tan ? + cot ? = sin ? ? cos ? sin 2? tan ? - cot ? = -2cot2 ?

cos

???

概念:下面空格意义 可自己添加内容

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倍角公式 S2αC2αT2α : (正用化单角, 逆用 半角公式 降次) sin2 ? =2sin ? · cos ? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 2 cos2 ? =cos ? -sin2 ? =2cos2 ? -1=1-2sin2 ? , cos ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2 tan ? sin 2? tan 2? ? ; cos ? ? , 2 sin ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? = tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos? cos 2? ? sin? ? 2? ? ? 2 sin? ? ? ? cos? ? ? ? 2 ?2 ? ?4 ? ? 4 (后面两个不用判断符号 ? ,更加好用)

升幂公式 1+cos ? = 2 cos 2 1±sin ? =( sin

?
2

;1-cos ? = 2 sin

2

?
2

?
2

? cos

?
2

)

2

1+sin 2α=(sin α+cosα)2 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, 1=sin2 ? + cos2 ? ? ? sin ? = 2 sin cos 2 2

降幂公式 1 ? cos 2? sin2 ? ? 2 1 ? cos 2? cos2 ? ? 2 2 2 sin ? + cos ? =1 1 sin ? · cos ? = sin 2? 2

1 ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2

辅助角公式

变形公式
cos?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ?sin ? ? cos?, tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? ? tan? ? tan ?,

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin?? ? ? ?
其中辅助角 ? 与点 ( a, b) 在同一象限, 且
tan ? ? b a

tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ?, tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?。

a sin ? ? b cos ?
? π? ? =? sin α± cos α= 2sin?α± ? 4?

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辅 助 角 公 式 的 重 要 作 用 : 合 一 变 形 ? 把 形 如 a s i nx ? b c o sx 的 函 数 转 化 为
y ? As i nx ( ? ? ) 的函数,即:两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,

一次方”的 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式 三角形基本公式
(1)内角和定理:A+B+C=180°, sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, sin(2A+2B)=? cos cos(2A+2B)= ? 三倍角公式

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

C A? B C A? B =sin , sin =cos 2 2 2 2

(2)面积公式: S=

1 1 1 absinC= bcsinA= casinB 2 2 2

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tan 2? ?

2 tan ? tan ? ? tan ? ? ?? ???? tan?? ? ?? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?
相除 相除

S ? ?? ?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? sin 2? ? 2 sin ? cos ?
移项 ? ? 2?

? ?? ????

S ? ?? ? C ? ?? ? C ? ??
相加减

? 1 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2
2

变形

1 ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 sin ? cos ? ?


sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

?A ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? sin ? tan

A?B A?B cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B ? 2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? 2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? ?2 sin sin 2 2 sin A ? sin B ? 2 sin

以上是三角函数公式的关系图 二、三角恒等变换:一角二名三结构,对角、函数名、式子结构===化异为同
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 是:一角二名三结构。即首先 观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式, 角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。 常用的数学思想方法技巧如下:
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(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据 角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差 异,使问题获解,对角的变形如: (1) 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二 倍; ? 是
3? 是

3? ? ? ? ? 的二 倍; 是 的二倍; ? 2? 是 ? ? 的二倍。 2 2 4 3 6

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4

(2)

15o ? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ?

30o ; 2

(3) ? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ??? ? ? ? ? ? ; 1 α = [(α +β )+(α -β )] 2 (4) π π ?π ? +α = -? -α ? 4 2 ?4 ? 1 β = [(α +β )-(α -β )] 2 π ?π ? ; α = -? -α ?. 4 ?4 ?
4 ??) ? (

?? ? ?? ? ? ;? ? x x ?? ? ? ?? ?4 ? ?4 ? 2

(5) 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?

?
4

??);

2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ?
(6)

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正 余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有:
1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂 处理的方法。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 1 ? cos? 常用升幂化为有理式 (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
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三、三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次, 无理化有理,和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化。 化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少; ④尽量 使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 四、三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题 的关键在于“变角” ,如 ? ? ( ? ? ? ) ? ? , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的 式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所 求角的范围及函数的单调性求得角。 五、三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、 左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同” ; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入 法、消参法或分析法进行证明。 (3) 证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法: ①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。

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题型 1:两角和与差的三角函数 例 1.已知 sin ? ? sin ? ? 1 (? ? ?)的值。 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos 分析:因为 既可看成是 ?与?的和,也可以看作是 (? ? ?) 种解法。 解法一:由已知 sin ? +sin ? =1????①, cos ? +cos ? =0????②, ①2+②2 得 2+2cos (? ? ?) ? 1;

???
2

的倍角,因而可得到下面的两

?? ∴cos (? ? ?)

1 。 2

①2-②2 得 cos2 ? +cos2 ? +2cos( ? ? ? )=-1, 即 2cos( ? ? ? ) 〔 cos (? ? ?) ? 1 〕=-1。 解法二:由①得 2 sin ∴ cos?? ? ? ? ? ?1。

? 1 ????③ 2 2 ??? ??? cos ? 0 ????④ 由②得 2 cos 2 2 ??? ? 0, ④÷③得 cot 2 ??? ??? 1 ? tan2 cot2 ?1 2 ? 2 ? cos?? ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? tan cot ?1 2 2 cos

???

???

点评: 此题是给出单角的三角函数方程, 求复角的余弦值, 易犯错误是利用方程组解 sin ? 、 cos ? 、

sin ? 、cos ? ,但未知数有四个,显然前景并不乐观,其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的 关系 本题关键在于化和为积促转化, “整体对应”巧应用。
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wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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例 2.已知 tan ?, 求 tan ? 是方程x ? 5x ? 6 ? 0的两个实根根,
2

2sin2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ?? ? ? ?的值 。
分析:由韦达定理可得到 tan ? ? tan ? 及 tan ? ? tan ?的值, 进而可以求出 tan ?? ? ? ? 的值,再将 所求值的三角函数式用 tan ?? ? ? ? 表示便可知其值。

tan? ? tan ? ? 6 , 解法一:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5,

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所以 tan ?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? 5 ? ? ?1. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 6

2sin 2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ? 原式 ? sin 2 ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ? ? 2 tan 2 ?? ? ? ? ? 3tan ?? ? ? ? ? 1 2 ?1 ? 3 ? ? ?1? ? 1 ? ?3 tan 2 ?? ? ? ? ? 1 1?1

解法二:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, tan? ? tan ? ? 6 , 所以 tan ?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? 5 ? ? ?1. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 6

3 于是有? ? ? ?k ? ? ? ? k ?Z ?, 4

3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 1 ? ? 原式 ? 2sin 2 ? k? ? ? ? ? sin ? 2k? ? ? ? ? cos2 ? k? ? ? ? ? 1 ? ? ? 3 。 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? ?
点评:(1)本例解法二比解法一要简捷,好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构,从而寻找解 答本题的知识“最近发展区” 。 (2)在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结 构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点。 (3)对公式的逆用公式,变形式也要熟悉 题型 2:二倍角公式 例 3.化简下列各式: (1)

? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? ? ? , (2) 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 。 ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

分析: (1)若注意到化简式是开平方根和 2 ?是?的二倍, ?是 突破口; (2)由于分子是一个平方差,分母中的角 得到解题的切入点。 解析: (1)因为

?
2

的二倍, 以及其范围不难找到解题的

?
4

?? ?

?
4

?? ?

?
2

,若注意到这两大特征, ,不难

3? 1 1 ? ? ? 2?,所以 ? cos2? ? cos? ? cos? , 2 2 2
所以,原式= sin

又因

3? ? 1 1 ? ? ? ? ?,所以 ? cos? ? sin ? sin , 4 2 2 2 2 2

? 。 2

(2)原式=

cos 2? cos 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2 tan? ? ? ? cos2 ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? cos? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?

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=

cos 2? cos 2? ? ? 1。 ?? ? cos 2? sin ? ? 2? ? ?2 ?

点评: (1)在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于 2 ? 是 ? 的二倍,要熟悉多种形式的两 个 角 的 倍 数 关 系 , 同 时 还 要 注 意 2?, ? ?, ? ? 三 个 角 的 内 在 联 系 的 作 用 ,

?

?

4

4

?? ? ?? ? ?? ? (2)化简题一定要找准解题的 cos 2? ? sin? ? 2? ? ? 2 sin? ? ? ? cos? ? ? ? 是常用的三角变换。 ?2 ? ?4 ? ?4 ?
突破口或切入点,其中的降次,消元,切割化弦,异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧。 例 4.若 cos?

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 ? x? ? , ? ? x ? ? ,求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12
?? ? ? ?? ? ? ? x ? ? ,及2 x ? 2 ? ? x ? ? 的两变换,就有以下的两种解法。 ?4 ? 4 ?4 ? 2

分析:注意 x ? ? 解法一:由

17 7 5 ? ? ? x ? ?,得 ? ? x ? ? 2? , 12 4 3 4

4 ?? ? 3 ?? ? 又因cos ? ? x ? ? , sin ? ? x ? ? ? . 5 ?4 ? 5 ?4 ?

?? ? ? 2 ? ?? ?? ? ?? ? ? cos x ? cos ?? ? x ? ? ? ? cos ? ? x ? cos ? sin ? ? x ? sin ? ? , 4 4 10 ? 4? ?4 ? ?4 ? ?? 4
从而 sin x ? ? 7 2 , tan x ? 7. 10
2

? 7 2? ? ? 7 2? 2? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? 10 10 10 ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x 28 ? ? ? ? ? 原式 ? ? ?? . 1 ? tan x 1? 7 75
解法二: 原式 ?

2sin x cos x ?1 ? tan x ? ?? ? ? sin 2 x ? tan ? ? x ? , 1 ? tan x ?4 ?

? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? 7 而sin 2 x ? sin ?2 ? ? x ? ? ? ? ? cos 2 ? ? x ? ? ? ?2cos2 ? ? x ? ? 1? ? ?4 ? ? 4 ? ? 25 ? ? 4 ? 2? ?

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?? ? sin ? ? x ? ?? ? ?4 ? ? ? 4, tan ? ? x ? ? 3 ?4 ? cos ? ? ? ' x ? ? ? ?4 ?
点评:此题若将 cos ?

所以,原式 ?

7 ? 4? 28 ?? ? ? ? ? . 25 ? 3 75 ?

? ? 3 ?? ? 3 ? x ? ? 的左边展开成 cos ? cos x ? sin sin x ? 再求 cosx,sinx 的值,就很 4 4 5 ?4 ? 5

繁琐, 把

?

?? ? ? ? x作为整体 , 并注意角的变换 2?? ? x ? ? ? 2 x, 运用二倍角公式, 问题就公难为易, 4 ?4 ? 2

化繁为简 所以在解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联 系,一般方法是拼角与拆角,
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如, ? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ??? ? ? ? ? ?

2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
题型 3:辅助角公式

a sin
例 5.已知正实数 a,b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5
b a

?

? b cos

?

分析: 从方程的观点考虑, 如果给等式左边的分子、 分母同时除以 a, 则已知等式可化为关于 的方 程,从而可求出由 助角求解。

b ,若注意到等式左边的分子、分母都具有 a sin ? ? b cos ? 的结构,可考虑引入辅 a

b ? 8 cos sin ? 5 a 5 ? 15 ? 解法一:由题设得 ? b ? 8 cos ? sin cos ? 5 a 5 15 sin ?
8 ? 8 ? sin ? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin b ? 15 5? ? 15 5 15 5 ? ? ? tan ? 3. 8 ? 8 ? ?? a 3 ?8 cos ? ? cos ? sin ? ? sin cos? ? ? ? 15 5 15 5 5? ? 15 sin
解法二: 因为a sin

?

?
5

? b cos

?

?? ? ? a 2 ? b2 sin ? ? ? ?, 5 5 ? ?

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b ?? ? ? a 2 ? b 2 cos ? ? ? ?,其中 tan ? ? , 5 5 a ?5 ? 8? ?? ? 由题设得 tan ? ? ? ? ? tan . 15 ?5 ? ? 8 ? 所以 ? ? ? k? ? ?,即? ? k? ? , 5 15 3 b ?? ? ? 故 ? tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3. a 3? 3 ? a cos ? b sin

?

?

? b tan ? 8 解法三: 原式可变形为: 5 a ? tan ?, b ? 15 1 ? tan a 5
tan ? tan ? b 8 ?? ? 5 令 tan ? ? ,则有 ? tan ? ? ? ? ? tan ?, ? a 15 ?5 ? 1 ? tan ? ? tan 5 ? 8 ? 由此可? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 所以? ? k? ? , ?k ? Z ? 5 15 3 ?? ? b ? 故 tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3,即 ? 3 3? 3 a ?
点评: 以上解法中,方法一用了集中变量的思想,是一种基本解法; 解法二通过模式联想,引入辅助角, 技巧性较强;解法三利用了换元法,但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点,所以解法三最佳。 题型 4:三角函数式化简 例 6.求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。 解析:原式=

?

1 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos100°)+ (sin70°-sin30°) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



3 3 1 3 1 1 -sin70°sin30°+ sin70°= - sin70°+ sin70°= 。 2 2 4 4 2 4
?

点评:本题考查三角恒等式和运算能力。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 例 7.已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域;

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(Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ? 解析: (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x ? k? ? (Ⅱ)因为 tan ? ? ?

4 ,求 f (? ) 的值。 3

?

? ? (k ? Z ) ,故 f ( x) 在定义域为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? , 2 2 ?

4 4 3 ,且 ? 是第四象限的角, 所以 sin ? ? ? , cos ? ? , 3 5 5

2 2 ? sin 2? ? cos 2? ) 1 ? 2 sin(2? ? ) 1 ? 2( 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 2 4 ? ? 故 f ( x) ? cos ? cos ? cos ?

?

2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? 14 。 ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 5 cos ?

∴函数 y=cos(x+

? ? ) cos(x- )+ 3 sin2x 的值域是[-2,2],最小正周期是 π。 4 4

题型 5:三角函数综合问题 例 8.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ;

?
2

?? ?

?
2

.

(II)求 a ? b 的最大值。

解析: (1) a ? b, ? a b ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0 ? ? ? ?

?
4;

(2). a ? b ? (sin ? ? 1,cos ? ? 1) ? (sin ? ? 1) 2 ? (cos ? ? 1) 2
? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3 ? 2 2 sin(? ?
当 sin(? ?

?
4

)?3

?
4

) =1 时 a ? b 有最大值,此时 ? ?

?
4,

最大值为 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 。

点评:本题主要考察以下知识点:1、向量垂直转化为数量积为 0;2,特殊角的三角函数值;3、 三角函数的基本关系以及三角函数的有界性;4.已知向量的坐标表示求模,难度中等,计算量不大。

1.(2012· 重庆高考)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α+β)的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 tan α+tan β =-3. 1-tan αtan β

)

解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2,tan(α+β)=
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π? 3 ? π? 2.(2012· 南昌二模)已知 cos? ?x-6?=- 3 ,则 cos x+cos?x-3?的值是( 2 3 A.- 3 2 3 B.± 3 C .- 1 D.± 1 解析: 选 C

) π? cos x + cos ? ?x-3? =

π? 1 3 3 3 3 1 cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x= 3? cos x+ sin x?= 3cos? ?x-6?=-1. 2 2 2 2 2 ?2 ? π ? ?π 1 ? 3. (2012· 乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= ,那么 sin? ?4+α?sin?4-α?的值为( 2 1 A. 4 1 B.- 4 1 C. 2 D.- 1 2 解析:选 A )

π ? ?π ? 依 题 意 得 , sin ? ?4+α? sin ?4-α? =

π ? cos?π+α?=1sin?π+2α?=1cos 2α=1(1-2sin2α)=1. sin? ?4+α?· ?4 ? 2 ? 2 ? 2 2 4 4.已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 4,则函数 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π B.2,π )

C. 2,2π D. 3,2π

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x2+b,f′(1)=3+b=4,b=1.所以 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+6?,故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. 5. (2012· 东北三校联考)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 2 5 A. 25 2 5 B. 5 2 5 2 5 C. 或 25 5 D. 5 5 或 5 25 2 5 4 ,cos(α+β)=± 1-sin2?α+β?=± . 5 5 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β=( 5 5 )

解析:选 A 依题意得 sin α= 1-cos2α=

4 5 4 4 又 α、β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β),注意到 > >- ,所以 cos(α+β)=- . 5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 5 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- ? + ? = . 5 5 5 5 25 6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 5 D. 9 3 3 ,则 cos 2α=( 3 ) 3 两边平方, 3

解析:选 A 将 sin α+cos α=

1 2 5 可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- ,所以(-sin α+cos α)2=1-sin 2α= .因为 α 是第二象限角,所以 sin α 3 3 3 >0,cos α<0,所以-sin α+cos α=- 15 5 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· (cos α+sin α)=- . 3 3

π 4π 1 7π 7.(2012· 苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________.答案: 5 5 2 15
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4π ? 1 4π 4π 1 4π π 解析:由已知可得 cos cos x+sin sin x= ,即 cos? ? 5 -x?=2,又 x 是锐角,所以 5 -x=3 5 5 2 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · =________. 1-tan2?45° -α? cos2α-sin2α 1 1 sin 2α sin 2α 2 sin?90° -2α? 2 cos 2α 1 sin 2α 1 解析:原式=tan(90° -2α)· = · = · = . cos 2α cos?90° -2α? cos 2α sin 2α 2cos 2α 2 9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角 β 的 1 4 终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α=________. 3 5 1 4 解析:依题设及三角函数的定义得:cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 1 4 2 2 3+8 2 3 - ?+ ? ∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=- ?? = . 5 ? 3? 5 3 15 π? π? 1 ? 10.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. 1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = 2 1-tan2α 1 2? 2 4 sin α 1 = ,且 = ,即 cos α=2sin α, 1 3 cos α 2 1- 4

π? 5 2 5 又 sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,而 α∈? ?0,2?,∴sin α= 5 ,cos α= 5 . ∴sin 2α=2sin αcos α=2? 5 2 5 4 4 1 3 ? = ,cos 2α=cos2α-sin2α= - = , 5 5 5 5 5 5

π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin? ?2α+3?=sin 2αcos3+cos 2αsin3=5?2+5? 2 = 10 . π 4 π β- ?= . 11.已知:0<α< <β<π,cos? ? 4? 5 2 π α+ ?的值. (1)求 sin 2β 的值; (2)求 cos? ? 4?

π? π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos? ?β-4?=cos4cos β+sin β= 2 cos β+ 2 sin β=3, ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

π π 7 -2β?=2cos2?β- ?-1=- . 法二:sin 2β=cos? ?2 ? ? 4? 9 π? π π π 3 π 3π (2)∵0<α< <β<π,∴ <β<- < π, <α+β< ,∴sin? ?β-4?>0,cos(α+β)<0. 2 4 4 4 2 2 π? 1 4 3 ? π? 2 2 ∵cos? ?β-4?=3,sin(α+β)=5,∴sin?β-4?= 3 ,cos(α+β)=-5.
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π? 3 1 4 2 2 8 2-3 ? ? π?? ? π? ∴cos? ?α+4?=cos??α+β?-?β-4??=cos(α+β)cos?β-4?=-5?3+5? 3 = 15 . x? ? x? 12.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos? ?-2?+sin?π-2?,x∈R. π π 2 10 0, ?,求 tan?α+ ?的值. (1)求 f(x)的最小正周期;(2)若 f(α)= ,α∈? ? 2? ? 4? 5 x x x π x x 2π - ?+sin?π- ?=sin +cos = 2sin? + ?,故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 解:(1)f(x)=cos? ? 2? ? 2? ?2 4 ? 2 2 1 2 (2) 由 f(α) = α α 2 10 α α 2 10 8 2 10? 2 sin +cos ? 2 = ? , 得 sin + cos = ,则? , 即 1 + sin α = , 2 2 ? ? 5 2 2 5 5 ? 5 ? 9 4 sin α 3 1- = ,故 tan α= = , 25 5 cos α 4

π? 3 2 解得 sin α= ,又 α∈? ?0,2?,则 cos α= 1-sin α= 5 π 3 tan α+tan +1 4 4 π α+ ?= 所以 tan? = =7. ? 4? π 3 1-tan αtan 1- 4 4

1? π 1.若 tan α=lg(10a),tan β=lg? ?a?,且 α+β=4,则实数 a 的值为( A.1 1 B. 10 1 C.1 或 10 D . 1 或 10 解析: 选 C

) tan(α + β) = 1 ? tan α+tan β = 1-tan αtan β

1 =1?lg2a+lg a=0,所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 1 10 ? 1-lg?10a?· lg? ? a? π? π? 2? 2 2.化简 sin2? ?α-6?+sin ?α+6?-sin α 的结果是________. π? π? ? 1-cos? ?2α-3? 1-cos?2α+3? π π?? 1 2 ? 解析:原式= + -sin2α=1- ? cos?2α-3? ?+cos?2α+3??-sin α 2 2 2? ? π cos 2α 1-cos 2α 1 =1-cos 2α· cos -sin2α=1- - = . 3 2 2 2 1 答案: 2

1? lg?10a?+lg? ?a?

π? 3 5 ? π? 3 ?π π? 3.已知 sin α+cos α= ,α∈? ?0,4?,sin?β-4?=5,β∈?4,2?. 5 (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值;(2)求 cos(α+2β)的值. 9 9 4 解:(1)由题意得(sin α+cos α)2= ,即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5 5 π? 3 sin 2α 4 2 又 2α∈? ?0,2?,∴cos 2α= 1-sin 2α=5,∴tan 2α=cos 2α=3. π π? π ? π? ? π? 3 ? π? 4 (2)∵β∈? ?4,2?,β-4∈?0,4?,sin?β-4?=5, ∴cos?β-4?=5,
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π π π 24 β- ?=2sin?β- ?cos?β- ?= . 于是 sin 2? ? 4? ? 4? ? 4? 25

π 24 β- ?=-cos 2β,∴cos 2β=- , 又 sin 2? ? 4? 25

π ? 1+cos 2α 4? π?? 7 2 又∵2β∈? = ?α∈? ?2,π?,∴sin 2β=25,又∵cos α= ?0,4??, 2 5 24 2 5 5 2 5 5 7 - ?- ? =- ∴cos α= ,sin α= .∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β= ?? 25 ? ? 5 5 5 5 25 11 5 . 25

π ? 1.(2012· 北京西城区期末)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈? ?2,π?. (1)求 f(x)的零点;(2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x· ( 3sin x+cos x)=0,所以 sin x=0 或 tan x=- π ? 3 5π ?π ? 由 sin x=0,x∈? ?2,π?,得 x=π;由 tan x=- 3 ,x∈?2,π?,得 x= 6 . 5π 综上,函数 f(x)的零点为 ,π. 6 π ? π ?2π 5π? 因为 x∈? ?2,π?,所以 2x-3∈? 3 , 3 ?. (2)f(x)= π? 3 1 3 (1-cos 2x)+ sin 2x=sin? ?2x-3?+ 2 . 2 2 3 . 3

π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3; 3 3 2

π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2 β? π 1 ?α ? 2 2.已知 0<β< <α<π,且 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值; 2 α ? π π α π π β 解: ∵0<β< <α<π, ∴- < -β< , <α- <π.∴cos? ?2-β?= 2 4 2 2 4 2 β? sin? ?α-2?= β? 1-cos2? ?α-2?= 1?2 4 5 1-? ?-9? = 9 . α ? 1-sin2? ?2-β?= 2?2 5 1-? ?3? = 3 ,

α+β ? β? ?α ?? ∴cos =cos? ??α-2?-?2-β?? 2

β? ?α ? 1 5 4 5 2 7 5 ? β? ?α ? =cos? ?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β?=-9? 3 + 9 ?3= 27 . ∴cos(α+β)=2cos2 α+β 49?5 239 -1=2? -1=- . 2 729 729

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