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2013年高三第一轮复习理科数学


等差数列 考纲要求 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数的关系。 命题规律 数列在历年高考都占有很重要的地位,对于本节来讲,客观性题目主要考察数列、等差 数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用,对基本的

计算技能要求比较高。 题型既有灵活考察基础知识的选择、填空,又有关于数列推导能力或解决生产、生活中 的实际问题的解答题。 知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题,还可 能涉及部分考察证明的推理题。 考点解读 考点 1 等差数列 (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于一 个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an ?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 (2)等差数列的通项为 an=a1+(n-1)d 推广:an=am+(n-m)d. a ? a1 a n ? a m 变式:d= n = ,由此联想点列(n,an)所在直线的斜率. n ?1 n?m 说明:等差数列的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 (3)等差中项 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ?

a?b 。 2 n(a1 ? an ) n(n ? 1) (4)等差数列的前 n 项和公式 Sn ? ? na1 ? d。 2 2 d d 可以整理成 Sn= n2+ (a1 ? )n 。当 d≠0 时是 n 的一个常数项为 0 的二次式。 2 2

a?b 2

a , A , b 成等差数列 ? A ?

a1 ? a n S n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n d d = = =a1+(n-1) · =an+(n-1)(- ) · n 2 2 2 n (5)等差数列的判定方法:
变式:
?定义法: a n ?1

? a n ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?a n ?是等差数列; ? a n ? a n ?2 ( n ? N ? ) ? ?a n ?是等差数列;
? An ? B 或前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn

?中项法: 2a n ?1

?函数法:通过数列的通项 an

考点 2 等差数列的性质 (1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 如: a1 , a3 , a5 ,

a7 ,??; a3 , a8 , a13 , a18 ,??;
(3)在等差数列 ?an ? 中, 对任意 m ,n ? N? ,an ? am ? (n ? m)d ,d ?

an ? am ( m ? n) ; n?m

(4)在等差数列 ?an ? 中,若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (5)设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d 若项数为偶数,设共有 2n 项,则① S 奇 ? S 偶 ? nd ②

S奇 a ? n ; S偶 an ?1
S奇 n ? 。 S偶 n ? 1

若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则① S 偶 ? S 奇 ? an ? a中 ; ② (6)设数列 {an } 是等差数列,前 n 项和公式为 S n , n ? m ?若 an ? m, am ? n ,则 am?n ? ?若 S n ? m, S m ? n ,则 S m?n ? ?若 S n ? S m ,则 S m?n ? 考点 3 等差数列前 n 项和最值问题

(1) “临界项法”令 ?

?a n ? 0 ?a n ? 0 或? 解出 n 的范围便可知; ?a n ?1 ? 0 ?a n ?1 ? 0
2

(2) a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最小值; (3)若已知 S n ? An ? Bn ,可用二次函数最值的求法( n ? N? ) 。 考点突破 考点 1 等差数列的相关概念与性质

典例 1 在等数列 ?a n ? 中, a8 ? 8, a40 ? 24, 求 a88 解题思路 用待定系数法求通项公式去分析考虑 解题过程 解:

9 1 9 1 ,公差 d ? 得 a88 ? ? (88 ? 1) ? 48 2 2 2 2 方法二,利用 a8 , a16 , a24 ? a88 构成新的等差数列,首项 b1 ? a8 ? 8, 公差 d ? ? 4,
方法一,设求其首项 a1 ?

b11 ? a88 ? 8 ? (11 ? 1) ? 4 ? 48,
方法三,直接用通项公式的变形处理 d ?

a40 ? a8 24 ? 8 1 ? ? , 40 ? 8 32 2

a88 ? a8 ? (88 ? 8)

1 ? 8 ? 40 ? 48 2

方法四,函数法设 an ? An ? B ,代入解之 A ?

1 1 , B ? 4,? a88 ? 88 ? ? 4 ? 48 2 2

错点拨 看似一道很常规很简单的题目,但若对知识融汇贯通后便可从多角度灵活求解。 变式 1 三个数成等差数列,首末两项之积为中间项的 5 倍,后两项的和为第一项的 8 倍, 求此三数。 点拨 可直接设首项和公差,也可利用技巧设三数为 a ? d , a, a ? d 答案 三个数是 3,9,15 或 0,0,0 考点 2 通项公式与求和公式 典例 1 数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 100 n ? n (n ? N )
2

(1)

?a n ?是什么数列?

(2)设 bn ? a n , 求数列?bn ? 的前 n 项和。

解题思路 本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前 n 项和的求法.在求和前前首 先要确定,从哪一项开始该项的值为负,然后将和分段表示. 解题过程 解:(1)

a n ? S n ? S n?1 ? (100 n ? n 2 ) ? [100 (n ? 1) ? (n ? 1) 2 ] ? 101 ? 2n(n ? 2)
? a1 ? S1 ? 100 ? 1 ? 12 ? 99 ? 101 ? 2 ? 1? 数列?a n ? 的通项为a n ? 101 ? 2n(n ? N ? )
又 a n?1 ? a n ? ?2为常数,? 数列?a n ?是首项为a1 ? 99, 公差d ? ?2的等差数列. (2)令 a n ? 101 ? 2n ? 0得, n ? 50.5,? n ? N ? ,? n ? 50(n ? N ? ) ①当 1 ? n ? 50时a n ? 0, 此时bn ? a n ? a n ,所以 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? 100 n ? n 2 ? ②当 n ? 51时a n ? 0, 此时bn ? a n ? ?a n , 由 b51

? b52 ? ? ? bn ? ?(a51 ? a52 ? ? ? an ) ? ?( S n ? S 50 ) ? S 50 ? S n

得数列 ?bn ?的前 n 项和为:

? S n ? S 50 ? ( S 50 ? S n ) ? 2S 50 ? S n ? 2 ? 2500 ? (100 n ? n 2 ) ? 5000 ? 100 n ? n 2

? 100 n ? n 2 (n ? N ? ,1 ? n ? 50 ) ? 由①②得数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ? ? 2 ? ?5000 ? 100 n ? n (n ? N , n ? 51)
易错点拨 含绝对值的数列前 n 项和, 关键是找到从哪一项开始该项的值为负,必须写成分段 函数的形式。

变式 1

数列的前 n 项的和 Sn ? 2n ? n ? 1 ;求通项公式。
2

点拨 讨论:当 n ? 1 时和当 n ? 2 时 ,然后再验证。 答案
?4 an ? ? ? 4n ? 1 ( n ? 1) ( n ? 2)

考点 3 等差数列的性质及应用

典例 1 等差数列 ?a n ?的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260 解题思路 考查等差数列的基本知识,及灵活运用等差数列解决问题的能力 解题过程 解:答案:C



m(m ? 1) ? ma1 ? d ? 30 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? , ?2ma ? 2m( 2m ? 1) d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d

?

40 10(m ? 2) , , a1 ? 2 m m2

∴ S 3m

? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 。 2 m2 2 m2

解法二: 设前 m 项的和为 b1 , m ? 1 到 2m 项之和为 b2 , 2m ? 1 到 3m 项之和为 b3 , 第 第 则 b1 , b2 , b3 也成等差数列。 于是 b1 ? 30 , b2 ? 100 - 30 ? 70 ,公差 d ? 70 ? 30 ? 40 。 ∴ b3 ? b2 ? d ? 70 ? 40 ? 110 ∴前 3m 项之和 S3m ? b1 ? b2 ? b3 ? 210 . 解法三:取 m ? 1 ,则 a1 ? S1 ? 30 , a2 ? S 2 ? S1 ? 70 ,从而 d ? a2 ? a1 ? 40 。 于是 a3 ? a2 ? d ? 70 ? 40 ? 110 .∴ S3m ? a1 ? a2 ? a3 ? 210 。 错误点拨 本题考查等差数列的基本知识,及灵活运用等差数列解决问题的能力,解法二中 是利用构造新数列研究问题,等比数列也有类似性质.解法三中,从题给选择支获得的信 息可知,对任意变化的自然数 m ,题给数列前项的和是与 3m 无关的不变量,在含有某 种变化过程的数学问题,利用不变量的思想求解,立竿见影。 变式 1 设 ?a n ?(n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列 结论错误的是( ) .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 点拨 利用等差数列的公式的变形及性质。 答案 C 考点 4 等差数列中的最值 典例 1 已知数列 ?a n ? 是递减的等差数列,且 ?

?a 3 ? a8 ? 51 ,试求数列的前 n 项之和最大 ?a 4 ? a 7 ? 630

时的值。 解题思路 由 ?a n ? 是递减的等差数列知,所有正数项及零项之和最大,为此只需求出通项 找到“临界项”即可。 解题过程 解:由等差数列中项推广的性质可知: a3 ? a8 ? a 4 ? a7 由已知 ?

?a 3 ? a8 ? 51 ?a 4 ? a 7 ? 51 得? ?a 4 ? a 7 ? 630 ?a 4 ? a 7 ? 630

? a 4 , a7 是方程 x 2 ? 51x ? 630 ? 0 的两根 30,21 。 ? ?a n ? 是递减的 ? a 4 ? 30 a 7 ? 21 又? a 7 ? a 4 ? 3d ? d ? ?3 ? an ? a4 ? (n ? 4)d ? ?3n ? 42 ?? 3n ? 42 ? 0 设 a n ? 0 且 a n ?1 ? 0 即 ? ?? 3n(n ? 1) ? 42 ? 0 即 a14 ? 0 ? 13 ? n ? 14 ?数列的前 13 项或前14 项之和最大 易错点拨 等差数列前 n 项之和的最大值问题一般是转化为找通项的“临界项”或分析其和
? 3n 2 ? 81 的关于 n 的不含常数项的二次函数的最值问题(此题 sn ? ) 。 2

变式 1 设等差数列的前 n 项之和为 S n ,已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 , (1)求公差 d 的取值范围。
(2)指出 S1 , S 2 , S 3 ,?, S n 中哪一个值最大,并说明理由。 点拨 求等差数列 S n 最值有三法: 借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点, 用配方法求解; 借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解(经过原点) 。 答案 (1) ? 综合突破 突破 1 数列与向量交汇的综合题
? ?

24 ? d ? ?3 (2)最大项是 S 6 7

典例 1 已知S n 为数列?an ? 的前n项和, = ?S n ,1? , b = ? 1,2a n ? 2 a (1)求证: ? (2)若 bn ?

?

n ?1

?, a ? b
?

?

? an ? 为等差数列; n ? ?2 ?
n ? 2011 a n ,问是否存在 n0 , 对于任意 k ( k ? N ? ) ,不等式 bk ? bn0 成立。 n ?1
? ?

解题思路 此题形式是向量问题,但本质还是对数列用等差数列的性质解决问题。 解题过程 解(1)? a ? b

? ? S n ? 2a n ? 2 n ?1 ? 0

? S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 n ? 2 ? 0
? a n ?1 ? 2a n ? 2 n ?1

?

a n ?1 a n ? ?1 2 n ?1 2 n

?a ? ? ? n ? 为等差数列 n ?2 ?

(2)?

an ? ?2 ? (n ? 1) ? ?(n ? 1) 2n ? bn ? ?2 0 1 1 n ?2 n ?
令bn ?1 ? bn n ? 2009 bn的最大值为b2 0 1 ? b2 0 0 9 0 ? n0 ? 2 0 0 或2 0 1 0 9

?2 0 1 0 n ?2 n ?1 ? ?2 0 1 1 n ?2 n ? ?

易错点拨 对向量的坐标运算要熟悉, 有一定的综合性。 还在考查构造等差数列和解不等式。 突破 2 数列与函数交汇的综合题 典例 2 已知 f ( x) ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,若 2, f (a1 ), f (a 2 ), f (a3 ), (1)求数列 ?a n ? ( 1 ? m ? n , m, n ? N )的通项公式;
?

?? f (a n ),2n ? 4(n ? N ? ) 成等差数列。

(2)令 C n ? a n ? lg a n ,问是否存在 a ,使得 ?C n ? 中每一项恒小于它后面的项?若存 在,请求出 a 的范围;若不存在,请说明理由。 解题思路 此题形式是函数问题,实质是对数列通项的研究。 解题过程 解: (1)设等差数列的公差为 d ,则 2n ? 4 ? 2 ? (n ? 1)d 恒成立,得 d ? 2

? f (a1 ) ? 4 , f (an ) ? 4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2 ,
又 f (a n ) ? log a a n ? 2n ? 2 (2) C n ? (2n ? 2)a
2n? 2

? an ? a 2n?2
2n?2

lg a , C n ?1 ? (2n ? 4)a 2 n ? 4 lg a

? a 2 n? 4 ? C n ? C n ?1 总成立 ②当 0 ? a ? 1 时,若 C n ? C n ?1 即 C n ?1 ? C n ? 0 得
①当 a ? 1 时, lg a ? 0,2n ? 2 ? 2n ? 4, a

?(n ? 2)a

2

? (n ? 1) 2a 2 n ? 2 lg a 〉0
2 只要 (n ? 2)a ? (n ? 1) ? 0 得 a ?
2

?

n ?1 恒成立 n?2 6 2 n ?1 1 1 2 而 ? 1? ? 1 ? ? ,所以只要 a 2 ? 即 0 ? a ? 3 3 n?2 n?2 3 3 6 综上,当 0 ? a ? 或 a ? 1 时,数列 ?C n ? 中每一项恒小于它后面的项 3

? lg a ? 0

易错点拨 此题综合性较强,关于对数运算、解不等式的相关知识要熟练。存在性问题的研 究方法以及用函数最值解决不等式恒成立问题的方法要熟练掌握。

快乐训练 1、(2012 重庆理)在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5, 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 =( A.7 B.15 C.20 D.25 ) )

2、(2012 福建理)等差数列 {a n } 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 {a n } 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4

3、(2012 江西理)设数列 {a n } , {bn } 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 , 则 a5 ? b5 = 4、(2012 北京理)已知 {an } 等差数列 S n 为其前 n 项和。若 a1 ? 5、若 lg 2, lg(3 ? 1), lg(3 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于
x x

1 , S2 ? a3 ,则 a2 = 2

6、等差数列 {an } 的通项公式 an ? 16 ? 2n ,则其前 n 项和 sn 取得最大值的 n 是 7、(2012 江西理)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ? 值为 8 。 (1)确定常数 k ,并求 an ; (2)求数列 {

1 2 ,且 n ? kn (其中 k ? N ? ) S n 的最大 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 。 2n

8、(2012 湖北理)已知等差数列 {an } 前三项的和为 ? 3 ,前三项的积为 8 . (1)求等差数列 {an } 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 a n 的前 n 项的和。

? ?

提高训练

1、等差数列{an}中,a10<0,a11>0 且 a11>|a10|,Sn 为其前 n 项和,则( A. S1 , S 2 ,?, S10 都小于 0 , S11 , S12 ,?都大于 0 B. S1 , S 2 ,?, S19 都小于 0 , S 20 , S 21 ,?都大于 0 C. S1 , S 2 ,?, S 5 都小于 0 , S 6 , S 7 ,?都大于 0 D. S1 , S 2 ,?, S 20 都小于 0 , S 21 , S 22 ,?都大于 0



2、(2012 全国理)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 { 的前 100 项和为( A. ) B.

1 } an an ?1

100 101

99 101

C.

99 100

D.

101 100
)

3、 (2012 辽宁理)在等差数列 {an } 中, 已知 a4 ? a8 ? 16 , 则该数列前 11 项和 S11 =( A.58 B.88 C.143 D.176

4、 等差数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a2 ? a4 ? a15 的值是一个确定的常数, 若 则数列 ?S n ? 中也为常数的项是( A.S7 ) B.S8 C.S13
2

D.S15

5、(2012 广东理)已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? ________ 6、 ?a n ? 是等差数列,且 a1 ? a 4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,则 a 3 ? a13 = 7、已知 ?a n ? 为等差数列,前 10 项的和 S10=100,前 100 项的和 S100=10,则前 110 项的和 S110= 8、数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn=npan(n∈N*)且 a1≠a2, (1)求常数 p 的值; (2)证明:数列{an}是等差数列.

超越训练

1、(2012 四 川 理 ) 设 函 数 f ( x)? 2 x ?

, c o s {an } 是 公 差 为 x )
2

? 的等差数列, 8

2 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a3 ? (

A. 0

B.

1 2 ? 16

C. ?

1 8

D.

13 2 ? 16

2、(2012 浙江理)设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误 .. 的是( )

A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 3、数列 ?a n ? 和 ?bn ? 均为等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

a5 ?5 b5

Tn ? n 2 ? 3n , S n 中二次项系数是 6 ,则其一次项系数是
4、(2012 四川理)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 an ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 最大值。

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的 an


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